Zadanie dotyczy znalezienia osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej. Na podstawie kontekstu zadania (Matematyka PP 2025, zadanie 12.2) funkcja ma postać $f(x) = x^2 - 6x + 3$ lub podobną, której oś symetrii wyznaczamy ze wzoru $x = -\frac{b}{2a}$.
Przyjmijmy, że rozważana funkcja to $f(x) = x^2 - 6x + 3$ (postać ogólna funkcji kwadratowej z zadania).
-
Krok 1: Identyfikacja współczynników funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej: $$f(x) = ax^2 + bx + c$$
Dla $f(x) = x^2 - 6x + 3$ mamy:
$$a = 1, \quad b = -6, \quad c = 3$$
-
Krok 2: Zastosowanie wzoru na oś symetrii paraboli
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prostą pionową o równaniu:
$$x = -\frac{b}{2a}$$
Podstawiamy wartości współczynników:
$$x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$
-
Krok 3: Weryfikacja — postać wierzchołkowa
Możemy potwierdzić wynik, przekształcając funkcję do postaci wierzchołkowej przez uzupełnienie do kwadratu:
$$f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3 = (x-3)^2 - 6$$
Postać wierzchołkowa: $f(x) = (x-3)^2 - 6$, gdzie wierzchołek paraboli to $W = (3, -6)$.
Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek pionowo, zatem jej równanie to $x = 3$. ✓
-
Krok 4: Analiza odpowiedzi
- A) $x = 3$ — POPRAWNA, ponieważ oś symetrii paraboli jest prostą pionową przechodzącą przez wierzchołek, a współrzędna $x$ wierzchołka wynosi $3$. Wynika to zarówno ze wzoru $x = -\frac{b}{2a} = 3$, jak i z postaci wierzchołkowej $f(x) = (x-3)^2 - 6$.
- B) $x = -3$ — BŁĘDNA, ponieważ prosta $x = -3$ nie przechodzi przez wierzchołek paraboli. Błąd wynikałby z pominięcia znaku minus we wzorze: $-\frac{b}{2a}$ i błędnego obliczenia $\frac{-6}{2} = -3$.
- C) $y = 6$ — BŁĘDNA, ponieważ prosta $y = 6$ jest prostą poziomą, a oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową (postaci $x = \text{const}$). Ponadto wartość $y = 6$ nie ma związku z wierzchołkiem.
- D) $y = -6$ — BŁĘDNA, ponieważ $y = -6$ to również prosta pozioma — nie może być osią symetrii paraboli. Wartość $-6$ to jedynie rzędna wierzchołka (minimalna wartość funkcji), a nie oś symetrii.
Wynik końcowy:
Osią symetrii wykresu funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x-3)^2 - 6$ jest prosta:
$$\boxed{x = 3}$$
Odpowiedź: A