Rozwiązanie
Należy uprościć wyrażenie $(3x+2)^2-(2x-3)^2$ i doprowadzić je do postaci zgodnej z jedną z podanych odpowiedzi.
Krok 1: Wyłuskanie wzoru skróconego mnożenia
Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:
$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$
gdzie $a = 3x+2$ oraz $b = 2x-3$.
Krok 2: Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów
$$\begin{aligned}
(3x+2)^2-(2x-3)^2 &= \bigl[(3x+2)+(2x-3)\bigr]\cdot\bigl[(3x+2)-(2x-3)\bigr]
\end{aligned}$$
Obliczamy każdy nawias:
- $(3x+2)+(2x-3) = 5x - 1$
- $(3x+2)-(2x-3) = 3x+2-2x+3 = x + 5$
Krok 3: Mnożenie nawiasów
$$\bigl(5x-1\bigr)\cdot\bigl(x+5\bigr)$$
Mnożymy każdy wyraz przez każdy:
$$= 5x \cdot x + 5x \cdot 5 + (-1)\cdot x + (-1)\cdot 5$$
$$= 5x^2 + 25x - x - 5$$
$$= 5x^2 + 24x - 5$$
Weryfikacja (Krok 4): Rozwinięcie metodą bezpośrednią
Rozwijamy każdy kwadrat osobno, korzystając ze wzoru $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$$\begin{aligned}
(3x+2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4\\
(2x-3)^2 &= 4x^2 - 12x + 9
\end{aligned}$$
Odejmujemy:
$$\bigl(9x^2 + 12x + 4\bigr) - \bigl(4x^2 - 12x + 9\bigr)$$
$$= 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9$$
$$= 5x^2 + 24x - 5$$
Wynik jest zgodny — obliczenia potwierdzone.
Analiza odpowiedzi
- Odpowiedź A) $5x^2 - 5$ — błędna. Brakuje członu $24x$. Błąd mógł powstać przez pominięcie wyrazów mieszanych przy rozwijaniu kwadratów.
- Odpowiedź B) $5x^2 + 13$ — błędna. Brakuje członu $24x$, a wyraz wolny jest nieprawidłowy. To wyrażenie nie wynika z żadnego poprawnego uproszczenia.
- Odpowiedź C) $5x^2 + 24x - 5$ — poprawna. Dokładnie odpowiada wynikowi uzyskanemu zarówno metodą różnicy kwadratów, jak i bezpośrednim rozwinięciem.
- Odpowiedź D) $5x^2 + 24x - 13$ — błędna. Człon liniowy $24x$ jest prawidłowy, lecz wyraz wolny wynosi $-13$ zamiast $-5$. Błąd mógł powstać przez nieprawidłowe obliczenie $4 - 9 = -13$ zamiast poprawnego $4 - 9 = -5$... a właściwie przez nieprawidłowe uwzględnienie znaku: $4 - (-9)$ zamiast $4 - 9$, co dałoby $13$, ale ze złym znakiem.
Wynik końcowy
$$\boxed{(3x+2)^2-(2x-3)^2 = 5x^2+24x-5}$$
Poprawna odpowiedź: C