Rozwiązanie
-
Krok 1: Wyłączenie wspólnego czynnika w liczniku
W liczniku wyrażenia $5^{12} + 5^{13} + 5^{14}$ wyłączamy przed nawias czynnik $5^{12}$, korzystając z własności potęg ($5^{13} = 5^{12} \cdot 5^1$, $5^{14} = 5^{12} \cdot 5^2$):
$$5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12}\cdot(1 + 5 + 5^2) = 5^{12} \cdot (1 + 5 + 25)$$
-
Krok 2: Obliczenie sumy w nawiasie
Sumujemy wyrazy w nawiasie:
$$1 + 5 + 25 = 31$$
Licznik przyjmuje postać $5^{12} \cdot 31$.
-
Krok 3: Uproszczenie całego ułamka
Podstawiamy uproszczony licznik i skracamy ułamek przez $5^{12}$:
$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \frac{5^{12} \cdot 31}{5^{12}} = 31$$
Analiza odpowiedzi
- Odpowiedź A) 30 — BŁĘDNA. Wynik $30$ otrzymałby uczeń, który błędnie obliczył sumę $1 + 5 + 25$, np. pomijając jedynkę i licząc jedynie $5 + 25 = 30$.
- Odpowiedź B) 31 — POPRAWNA. Po wyłączeniu $5^{12}$ przed nawias i skróceniu ułamka otrzymujemy $1 + 5 + 25 = 31$.
- Odpowiedź C) $5^{12}$ — BŁĘDNA. Taki wynik sugerowałby, że cały licznik równa się $5^{24}$, co jest nieprawdą. Błąd polega na mylnym zastosowaniu działań na potęgach (np. dodawaniu wykładników zamiast wyłączania wspólnego czynnika).
- Odpowiedź D) $5^{27}$ — BŁĘDNA. Wynik $5^{27}$ mógłby powstać przez błędne dodanie wykładników: $\frac{5^{12+13+14}}{5^{12}} = \frac{5^{39}}{5^{12}} = 5^{27}$, jednak dodawanie wykładników jest dozwolone wyłącznie przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, nie przy ich dodawaniu.
Wynik końcowy
$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \boxed{31}$$
Poprawna odpowiedź: B)