LekcjeRazem

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie ilorazu ciągu geometrycznego

   W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz $q$. Iloraz obliczamy ze wzoru:

   $$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$
2. Krok 2: Obliczenie trzeciego wyrazu ciągu

   Korzystamy z zależności $a_3 = a_2 \cdot q$:

   $$a_3 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$$
3. Krok 3: Obliczenie czwartego wyrazu ciągu

   Korzystamy z zależności $a_4 = a_3 \cdot q$:

   $$a_4 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$$

   Można to również obliczyć bezpośrednio ze wzoru ogólnego $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:

   $$a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$$
4. Krok 4: Analiza odpowiedzi

   Dla porządku sprawdzamy wszystkie odpowiedzi:

   • Odpowiedź A) $\dfrac{1}{3}$ — błędna. To byłby piąty wyraz ciągu: $a_5 = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
   • Odpowiedź B) $1$ — poprawna. Zgodnie z obliczeniami $a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 1$.
   • Odpowiedź C) $3$ — błędna. To jest trzeci wyraz ciągu: $a_3 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$.
   • Odpowiedź D) $729$ — błędna. Wynik $729 = 27 \cdot 27 = 27^2$ sugerowałby iloraz $q = 3$, co jest odwrotnością właściwego ilorazu (pomylenie kolejności: $q = \frac{a_1}{a_2}$ zamiast $q = \frac{a_2}{a_1}$).

Wynik końcowy: Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $\boldsymbol{1}$. Poprawna odpowiedź to B.