LekcjeRazem

Rozwiązanie – Zadanie 11

1. Krok 1: Wyznaczenie dziedziny funkcji $f$

   Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Analizujemy każdy przedział:

   • Pierwsza gałąź: $x \in [-4, -2]$ — przedział domknięty, zawiera krańce $-4$ i $-2$
   • Druga gałąź: $x \in (-2, 2]$ — przedział półotwarty
   • Trzecia gałąź: $x \in (2, 4)$ — przedział otwarty

   Suma tych przedziałów: $$[-4,-2] \cup (-2,2] \cup (2,4) = [-4, 4)$$ Punkt $x = -2$ należy do pierwszego przedziału (domkniętego), punkty $x = 2$ należą do drugiego, a prawa granica $x = 4$ nie jest osiągana.

   Dziedzina funkcji $f$ to przedział $[-4, 4)$.

2. Krok 2: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$

   Analizujemy wartości osobno dla każdej gałęzi:

   • Gałąź 1: $f(x) = x + 5$ dla $x \in [-4, -2]$
     Wartości: $f(-4) = -4+5 = 1$, $f(-2) = -2+5 = 3$
     Funkcja jest rosnąca, więc przyjmuje wartości z przedziału $[1, 3]$.
   • Gałąź 2: $f(x) = 3$ dla $x \in (-2, 2]$
     Funkcja stała — przyjmuje jedynie wartość $\{3\}$.
   • Gałąź 3: $f(x) = -3x + 9$ dla $x \in (2, 4)$
     Wartości: $f(2^+) = -3\cdot 2 + 9 = 3$ (granica, nieosiągana), $f(4^-) = -3\cdot 4 + 9 = -3$ (granica, nieosiągana)
     Funkcja jest malejąca, przyjmuje wartości z przedziału $(-3, 3)$.

   Łącząc wszystkie wartości: $$[1, 3] \cup \{3\} \cup (-3, 3) = (-3, 3]$$ Wartość $-3$ nie jest osiągana (granica otwarta z trzeciej gałęzi), wartość $3$ jest osiągana (np. $f(-2) = 3$).

   Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(-3, 3]$.

3. Krok 3: Wyznaczenie argumentów, dla których $f(x) > 0$

   Szukamy $x \in [-4, 4)$, dla których $f(x) > 0$.

   • Gałąź 1: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$
     Na przedziale $[-4, -2]$ warunek $x > -5$ jest spełniony dla wszystkich $x \in [-4, -2]$, bo $-4 > -5$.
     Zatem wszystkie $x \in [-4, -2]$ dają $f(x) > 0$.
   • Gałąź 2: $f(x) = 3 > 0$ — spełnione dla wszystkich $x \in (-2, 2]$.
   • Gałąź 3: $-3x + 9 > 0 \Rightarrow x < 3$
     Na przedziale $(2, 4)$ warunek jest spełniony dla $x \in (2, 3)$.

   Łącząc: $$[-4,-2] \cup (-2,2] \cup (2,3) = [-4, 3)$$

   Zbiorem wszystkich argumentów, dla których $f(x) > 0$, jest przedział $[-4, 3)$.

4. Krok 4: Wyznaczenie zbioru rozwiązań równania $f(x) = 3$

   Szukamy wszystkich $x$, dla których $f(x) = 3$:

   • Gałąź 1: $x + 5 = 3 \Rightarrow x = -2$
     Punkt $x = -2$ należy do $[-4, -2]$ ✓
   • Gałąź 2: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x \in (-2, 2]$
     Każdy argument z tego przedziału jest rozwiązaniem.
   • Gałąź 3: $-3x + 9 = 3 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2$
     Ale $x = 2$ nie należy do $(2, 4)$ — przedział otwarty, więc brak rozwiązania z tej gałęzi.

   Łącząc: $\{-2\} \cup (-2, 2] = [-2, 2]$

   Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $[-2, 2]$.

Odpowiedzi końcowe

• Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{[-4, 4)}$.
• Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{(-3, 3]}$.
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $\boldsymbol{[-4, 3)}$.
• Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $\boldsymbol{[-2, 2]}$.