Rozwiązanie
-
Krok 1: Przypomnienie definicji miejsca zerowego
Miejsce zerowe funkcji $f$ to takie $x_0$, dla którego $f(x_0) = 0$. Funkcja liniowa postaci $f(x) = ax + b$ nie ma miejsca zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy $a = 0$ (funkcja staje się funkcją stałą różną od zera).
-
Krok 2: Wyznaczenie warunku braku miejsca zerowego
Dany wzór funkcji:
$$f(x) = (3 - m)x - 4$$
Współczynnik kierunkowy wynosi $a = 3 - m$, a wyraz wolny wynosi $b = -4 \neq 0$.
Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego, gdy:
$$3 - m = 0$$
$$m = 3$$
Dla $m = 3$ funkcja przyjmuje postać $f(x) = 0 \cdot x - 4 = -4$, czyli jest funkcją stałą (poziomą), która nigdy nie przyjmuje wartości $0$.
-
Krok 3: Sprawdzenie pozostałych odpowiedzi
-
Odpowiedź A) $m = -3$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - (-3) = 6 \neq 0$, więc $f(x) = 6x - 4$ jest funkcją liniową rosnącą i posiada miejsce zerowe $x_0 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Odpowiedź błędna.
-
Odpowiedź B) $m = 0$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 0 = 3 \neq 0$, więc $f(x) = 3x - 4$ jest funkcją liniową rosnącą i posiada miejsce zerowe $x_0 = \frac{4}{3}$. Odpowiedź błędna.
-
Odpowiedź C) $m = 3$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 3 = 0$, więc $f(x) = -4$ jest funkcją stałą. Równanie $f(x) = 0$ przyjmuje postać $-4 = 0$, co jest sprzecznością — brak rozwiązań. Funkcja nie ma miejsca zerowego. Odpowiedź poprawna.
-
Odpowiedź D) $m = 4$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 4 = -1 \neq 0$, więc $f(x) = -x - 4$ jest funkcją liniową malejącą i posiada miejsce zerowe $x_0 = -4$. Odpowiedź błędna.
Wynik końcowy: Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m = 3$, ponieważ wówczas $f(x) = -4$ jest funkcją stałą, której wykres jest poziomą prostą nieprzechodzącą przez oś $OX$.
Poprawna odpowiedź: C)