Na początek ważne przypomnienie - aby dobrze rozwiązać to zadanie, musimy pamiętać o kolejności wykonywania działań. Wymnażając poszczególne pierwiastki przez liczby w nawiasach, otrzymamy:
$$\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})=2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1$$

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}=\left(7^{\frac{6}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}=7^{\frac{6}{4}\cdot\frac{2}{3}}=7^{\frac{12}{12}}=7^1$$

Powinniśmy dostrzec, że \(54\) to tak naprawdę \(18\cdot3\). Skoro tak, to:
$$log_{3}54=log_{3}(18\cdot3)$$

Teraz zadanie jest już proste, ponieważ ze wzoru na sumę logarytmów \(log_{a}b+log_{a}c=log_{a}(b\cdot c)\) wynika, że:
$$log_{3}(18\cdot3)=log_{3}18+log_{3}3=c+1$$

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena drukarki
\(0,8x\) - cena drukarki po pierwszej
\(0,9\cdot0,8x=0,72x\) - cena drukarki po drugiej obniżce

Skoro na początku drukarka kosztowała \(x\), a teraz kosztuje \(0,72x\) , to znaczy, że cena drukarki spadła o:
$$x-0,72x=0,28x$$

To oznacza, że spadek wyniósł \(28\%\).

W tym zadaniu nie chodzi o żadne podstawianie liczb, czy też rozwiązanie równania kwadratowego (bo to nie jest w ogóle równanie, gdyż nie mamy znaku "równa się"). Naszym celem jest po prostu uproszczenie podanego wyrażenia. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$(x-1)^2-(2-x)^2=x^2-2x+1-(4-4x+x^2)= \           ,\
=x^2-2x+1-4+4x-x^2=2x-3$$

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na początek, rozwiążmy obydwie podane nierówności. Przy okazji musimy pamiętać, że gdy zajdzie konieczność pomnożenia lub podzielenia obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, to trzeba będzie zmienić znak nierówności na przeciwny. W związku z tym:

Pierwsza nierówność:
$$0\lt7-3x \           ,\
3x\lt7 \           ,\
x\lt\frac{7}{3}$$

Druga nierówność:
$$7-3x\le5x-3 \           ,\
7-8x\le-3 \           ,\
-8x\le-10 \quad\bigg/:(-8) \           ,\
x\ge\frac{10}{8} \           ,\
x\ge\frac{5}{4}$$

Krok 2. Wybór właściwego rysunku.
Interesuje nas przedział liczb, które są jednocześnie mniejsze od \(\frac{7}{3}\) i większe lub równe \(\frac{5}{4}\). Taki przedział znajduje się na rysunku z odpowiedzi B.

Przenosząc "iksy" na jedną stronę oraz liczby na drugą, otrzymamy:
$$x\sqrt{3}+2=2x-8 \           ,\
x\sqrt{3}-2x=-8-2 \           ,\
x\sqrt{3}-2x=-10$$

Jak rozwiązać tego typu równanie? Musimy po lewej stronie wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Wspólnym czynnikiem \(x\sqrt{3}\) oraz \(-2x\) jest oczywiście \(x\), zatem:
$$x\sqrt{3}-2x=-10 \           ,\
x(\sqrt{3}-2)=-10 \           ,\
x=\frac{-10}{\sqrt{3}-2}$$

Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Obliczony przed chwilą wynik jest jak najbardziej poprawny, ale nie znalazł się on w proponowanych odpowiedziach. To dlatego, że powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(\sqrt{3}+2\) (uwaga na znaki!), dzięki czemu w mianowniku otrzymamy wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). W związku z tym:
$$x=\frac{-10}{\sqrt{3}-2} \           ,\
x=\frac{-10\cdot(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)\cdot(\sqrt{3}+2)} \           ,\
x=\frac{-10\sqrt{3}-20}{3-4} \           ,\
x=\frac{-10\sqrt{3}-20}{-1} \           ,\
x=10\sqrt{3}+20=10(\sqrt{3}+2)=10(2+\sqrt{3})$$

Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka znalazła się niewiadoma \(x\), dlatego koniecznie musimy zapisać stosowne założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem:
$$x^2-49\neq0 \           ,\
x^2\neq49 \           ,\
x\neq7 \quad\lor\quad x\neq=-7$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Dopiero po zapisaniu założeń, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony równania przez wartość z mianownika, zatem:
$$\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-49) \           ,\
x^2-7x=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam proste równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście zastosować tutaj deltę (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale to zadanie da się rozwiązać jeszcze prościej. Wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias, dzięki czemu otrzymamy:
$$x^2-7x=0 \           ,\
x(x-7)=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które przypomina klasyczną postać iloczynową. Postępowanie jest tutaj standardowe, czyli musimy odpowiednie wartości przyrównać do zera, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad x-7=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=7$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na sam koniec musimy jeszcze zweryfikować otrzymane odpowiedzi. Z rozwiązania równania kwadratowego wyszło nam, że pasują nam dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=7\). Niestety to drugie rozwiązanie musimy odrzucić ze względu na założenia zapisane w pierwszym kroku. Z tego też względu całe równanie ma tylko jedno rozwiązanie należące do zbioru liczb rzeczywistych i będzie nim \(x=0\).

Przeanalizujmy po kolei każdą z proponowanych odpowiedzi.
Odp A. - to zdanie jest nieprawdą, gdyż nasza funkcja ma tylko dwa miejsca zerowe: \(x=1\) oraz \(x=4,5\). Gdyby ostatnia kropka była zamalowana, to wtedy miejscem zerowym byłoby jeszcze \(x=7\).
Odp. B - to zdanie jest nieprawdą, gdyż nie zgadza się tutaj nawias przy liczbie \(1\). Owszem, po lewej stronie wykresu kropka jest niezamalowana, co mogłoby sugerować że wartość równa \(1\) nie jest przyjmowana, ale przecież wartość równa \(1\) jest przyjmowana chociażby dla argumentów \(x=5\) czy \(x=6\). Zbiorem wartości będzie więc tutaj \(\langle-1, 1\rangle\)
Odp. C. - to zdanie jest prawdą, bowiem faktycznie największą wartością przyjmowaną przez tę funkcję jest \(1\) (ta wartość jest przyjmowana dla wszystkich argumentów od \(x=5\) aż do \(x=6\) włącznie).
Odp. D. - to zdanie jest nieprawdą, gdyż ujemne wartości są przyjmowane dla argumentów ze zbioru \((1;4,5)\)

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Wzór funkcji zapisany jest w postaci iloczynowej, co znacząco ułatwia wyznaczenie miejsc zerowych tej funkcji. Chcąc poznać miejsca zerowe, musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli de facto rozwiązać równanie kwadratowe:
$$-3(x+4)(x-2)=0$$

Skoro jest to postać iloczynowa, to wystarczy przyrównać wartości z nawiasów do zera, zatem:
$$x+4=0 \quad\lor\quad x-2=0 \           ,\
x=-4 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spoglądając na wzór funkcji widzimy, że współczynnik kierunkowy \(a=-3\). Skoro jest on ujemny, to ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Zaznaczając na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe, otrzymamy zatem taką oto sytuację:


Krok 3. Ustalenie wartości \(p\) oraz \(q\).
Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że współrzędna \(p\) jest tak naprawdę średnią arytmetyczną miejsc zerowych. Możemy zatem zapisać, że:
$$p=\frac{-4+2}{2} \           ,\
p=\frac{-2}{2} \           ,\
p=-1$$

Z samego rysunku szkicowego jasno wynika, że funkcja przyjmuje w swoim wierzchołku wartość dodatnią (tak na marginesie, moglibyśmy ją nawet policzyć - w tym celu wystarczyłoby do wzoru funkcji podstawić \(x=-1\)).

To oznacza, że \(p\lt0\) i \(q\gt0\).

Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że miejsca zerowe są oddalone od osi symetrii o jednakową liczbę jednostek. Znane nam miejsce zerowe \(x=2\) jest oddalone od osi symetrii \(x=-2\) o \(4\) jednostki, wiec analogicznie poszukiwane miejsce zerowe także musi być o te \(4\) jednostki oddalone:


Oczywiście do tego samego wyniku możemy dojść w nieco bardziej matematyczny sposób, przy użyciu średniej arytmetycznej. Wiedząc, że oś symetrii znajduje się dokładnie między dwoma miejscami zerowymi, moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{x+2}{2}=-2 \           ,\
x+2=-4 \           ,\
x=-6$$

Wbrew pozorom nie musimy niczego tutaj wyliczać, ani też nie musimy wyznaczać wzoru funkcji. Skoro prosta \(x=-2\) jest osią symetrii, to wartość funkcji dla argumentu \(x=-4\) (czyli argumentu oddalonego od osi symetrii o \(2\) jednostki) musi być taka sama, jak wartość funkcji dla argumentu \(x=0\) (czyli także oddalonego od osi symetrii o \(2\) jednostki).

Z wykresu odczytujemy, że dla argumentu \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość \(y=3\) i taką samą przyjmie więc dla argumentu \(x=-4\).

Aby dowiedzieć się, który ciąg jest tym poszukiwanym, wystarczy podstawić do każdego z nich wartość \(n=10\). W ten sposób obliczymy wartość dziesiątego wyrazu każdego z tych ciągów:
$$a_{10}=20\cdot10+3 \           ,\
a_{10}=200+3 \           ,\
a_{10}=203$$

$$b_{10}=2\cdot10^2-3 \           ,\
b_{10}=2\cdot100-3 \           ,\
b_{10}=200-3 \           ,\
b_{10}=197$$

$$c_{10}=10^2+10\cdot10-2 \           ,\
c_{10}=100+100-2 \           ,\
c_{10}=198$$

$$d_{10}=\frac{10+187}{10} \           ,\
d_{10}=\frac{197}{10} \           ,\
d_{10}=19,7$$

Widzimy, że liczba \(197\) jest dziesiątym wyrazem ciągu \(b_{n}\).

Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \           ,\
a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$

Podstawiając te dane do równania z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}\cdot a_{2} \           ,\
a_{1}\cdot q^2=a_{1}\cdot a_{1}\cdot q \           ,\
q^2=a_{1}\cdot q \           ,\
a_{1}=q$$

Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z zależności między funkcjami trygonometrycznymi wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:
$$tgα=\sqrt{5} \           ,\
\frac{sinα}{cosα}=\sqrt{5}$$

Mnożąc obie strony przez \(cosα\), otrzymamy:
$$sinα=\sqrt{5}cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(cos^2\alpha\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Wiemy też, że \(sinα=\sqrt{5}cosα\). W związku z tym:
$$\left(\sqrt{5}cosα\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
5cos^2α+cos^2α=1 \           ,\
6cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=\frac{1}{6}$$