📄 Treść zadania
Równanie \(\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:
A
jedno rozwiązanie
B
dwa rozwiązania
C
trzy rozwiązania
D
cztery rozwiązania
Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka znalazła się niewiadoma \(x\), dlatego koniecznie musimy zapisać stosowne założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem:
$$x^2-49\neq0 \ ,\
x^2\neq49 \ ,\
x\neq7 \quad\lor\quad x\neq=-7$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Dopiero po zapisaniu założeń, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony równania przez wartość z mianownika, zatem:
$$\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-49) \ ,\
x^2-7x=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam proste równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście zastosować tutaj deltę (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale to zadanie da się rozwiązać jeszcze prościej. Wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias, dzięki czemu otrzymamy:
$$x^2-7x=0 \ ,\
x(x-7)=0$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które przypomina klasyczną postać iloczynową. Postępowanie jest tutaj standardowe, czyli musimy odpowiednie wartości przyrównać do zera, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad x-7=0 \ ,\
x=0 \quad\lor\quad x=7$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na sam koniec musimy jeszcze zweryfikować otrzymane odpowiedzi. Z rozwiązania równania kwadratowego wyszło nam, że pasują nam dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=7\). Niestety to drugie rozwiązanie musimy odrzucić ze względu na założenia zapisane w pierwszym kroku. Z tego też względu całe równanie ma tylko jedno rozwiązanie należące do zbioru liczb rzeczywistych i będzie nim \(x=0\).