Aby obliczyć wartość tego wyrażenia wystarczy podstawić w miejsce \(x\) liczbę \(\sqrt{3}+3\). W tym zadaniu skorzystamy przy okazji ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:

$$(\sqrt{3}+3)^2-6\cdot(\sqrt{3}+3)+9= \           ,\
=3+6\sqrt{3}+9-6\sqrt{3}-18+9= \           ,\
=12-18+9=3$$

Znajdujące się w mianowniku \(36^{10}\) możemy rozpisać jako \((6^{2})^{10}=6^{20}\). Naszą liczbę będziemy więc mogli zapisać jako \(\begin{split}\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{6^{20}}\end{split}\).

Chcąc skorzystać z działań na potęgach musimy mieć jednakowe podstawy potęg lub jednakowe wykładniki, a niestety nie mamy ani jednego, ani drugiego. Możemy jednak sprytnie rozbić iloczyn znajdujący się w liczniku w następujący sposób:
$$\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{6^{20}}=\frac{2^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}\cdot3^{20}}{6^{20}}= \           ,\
=\frac{2^{20}\cdot3^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}}{6^{20}}=\frac{6^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}}{6^{20}}=2^{30}\cdot3^{20}$$

Do rozwiązania tego logarytmu można podejść na różne sposoby. Najprościej będzie skorzystać z definicji logarytmu z której wynika, że:
$$log_{5}\sqrt{125}=x \quad\Leftrightarrow\quad 5^x=\sqrt{125}$$

Z działu pierwiastków wiemy, że \(\sqrt{125}=\sqrt[2]{5^3}=5^{\frac{3}{2}}\), zatem:
$$5^x=\sqrt{125} \           ,\
5^x=5^{\frac{3}{2}} \           ,\
x=\frac{3}{2}$$

Jeżeli cenę \(x\) obniżono o \(20\%\), to nowa cena jest równa \(0,8x\).

Teraz chcemy podwyższyć cenę w taki sposób, by ponownie towar kosztował \(x\), zatem podwyżka musi wynieść \(x-0,8x=0,2x\). To oznacza, że ta podwyżka będzie o \(\frac{0,2x}{0,8x}=0,25=25\%\).

Wymnażając poszczególne liczby otrzymamy:
$$3(1-x)\gt2(3x-1)-12x \           ,\
3-3x\gt6x-2-12x \           ,\
3-3x\gt-6x-2 \           ,\
3x\gt-5 \           ,\
x\gt-\frac{5}{3}$$

To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(\left(-\frac{5}{3};+\infty\right)\).

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera (iksa przed nawiasem także przyrównujemy do zera):
$$x(x-3)(x+2)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x+2=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich rozwiązań.
Zgodnie z poleceniem musimy jeszcze zsumować wszystkie rozwiązania, zatem:
$$0+3+(-2)=1$$

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, a to oznacza, że współczynnik \(a\) jest na pewno ujemny. Dokładną wartość tego współczynnika możemy poznać na różne sposoby, ale najprościej będzie podstawić do wzoru funkcji \(f(x)=a(x-1)(x-3)\) współrzędne wierzchołka \(W=(2;1)\). Otrzymamy wtedy:
$$1=a(2-1)(2-3) \           ,\
1=a\cdot1\cdot(-1) \           ,\
1=-a \           ,\
a=-1$$

Kiedy funkcja ma ramiona skierowane do dołu, to swoją największą wartość będzie przyjmować w wierzchołku (co zresztą widać na rysunku). Z rysunku wynika, że wierzchołek paraboli mieści się w naszym przedziale \(\langle1,4\rangle\), zatem to tam będzie przyjmowana największa wartość. Z osi \(OY\) odczytujemy zatem, że największą wartością tej funkcji w określonym przedziale jest wartość równa \(1\).

Oś symetrii paraboli to prosta równoległa do osi \(OY\), która przechodzi przez wierzchołek. Z tego też względu poszukiwaną osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=2\).

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) po prawej stronie równania możemy zapisać, że:
$$x(x-2)=(x-2)^2 \           ,\
x^2-2x=x^2-4x+4 \           ,\
-2x=-4x+4 \           ,\
2x=4 \           ,\
x=2$$

Równanie ma zatem jedno rozwiązanie i jest to \(x=2\).

Krok 1. Analiza wartości współczynnika \(a\).
Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca. To oznacza, że współczynnik \(a\) będzie na pewno liczbą ujemną, czyli możemy zapisać, że \(a\lt0\).

Krok 2. Analiza wartości współczynnika \(b\).
Własności współczynnika \(b\) związane są z miejscem przecięcia się funkcji z osią \(OY\). Widzimy, że funkcja przecina oś dla \(y=1\). Stąd też możemy być pewni, że \(b=1\).

Krok 3. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Z proponowanych odpowiedzi tylko ostatni wariant jest prawidłowy, bowiem mnożąc ujemną wartość \(a\) przez \(1\) otrzymamy liczbę mniejszą od zera.

Podstawiając \(x=\frac{1}{2}\) do wzoru naszej funkcji otrzymamy:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=4^{-\frac{1}{2}}+1$$

Z własności potęg wiemy, że ujemnej potęgi możemy się pozbyć poprzez odwrócenie liczby potęgowanej. Odwrotnością \(4\) jest \(\frac{1}{4}\) zatem otrzymamy:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}+1$$

Teraz przydadzą nam się własności pierwiastków. Wykładnik potęgi w postaci ułamka możemy zamienić na pierwiastek w następujący sposób:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt[2]{\frac{1}{4}^{1}}+1 \           ,\
f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}}+1$$

Tak jak pierwiastek z \(4\) to \(2\), tak pierwiastek z \(\frac{1}{4}\) to \(\frac{1}{2}\). Otrzymamy zatem:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+1 \           ,\
f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$$

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe \(a\) są sobie równe. Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=m-2\) natomiast druga ma współczynnik \(a=\frac{3}{4}\). Skoro te współczynniki mają być sobie równe, to:
$$m-2=\frac{3}{4} \           ,\
m=2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\) oraz \(a_{4}\).
Aby móc poznać wartość poszukiwanej różnicy, musimy obliczyć wartość piątego i czwartego wyrazu. Podstawiając zatem odpowiednio \(n=5\) oraz \(n=4\) otrzymamy:
$$a_{5}=2\cdot5^2 \           ,\
a_{5}=2\cdot25 \           ,\
a_{5}=50 \           ,\
\quad \           ,\
a_{4}=2\cdot4^2 \           ,\
a_{4}=2\cdot16 \           ,\
a_{4}=32$$

Krok 2. Obliczenie różnicy \(a_{5}-a_{4}\).
Znając wartość piątego i czwartego wyrazu obliczenie różnicy jest już tylko formalnością:
$$a_{5}-a_{4}=50-32 \           ,\
a_{5}-a_{4}=18$$

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego oraz trzeciego wyrazu.
Skoro czwarty wyraz naszego ciągu jest jest równy \(a_{4}=3\), a różnica ciągu wynosi \(r=5\), to trzeci wyraz będzie równy:
$$a_{3}=a_{4}-r \           ,\
a_{3}=3-5 \           ,\
a_{3}=-2$$

Analogicznie obliczymy wartość drugiego i pierwszego wyrazu:
$$a_{2}=a_{3}-r \           ,\
a_{2}=-2-5 \           ,\
a_{2}=-7 \           ,\
\quad \           ,\
a_{1}=a_{2}-r \           ,\
a_{1}=-7-5 \           ,\
a_{1}=-12$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\).
Na koniec została już formalność, czyli zsumowanie wszystkich czterech wyrazów:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=-12+(-7)+(-2)+3=-18$$

Aby poznać wartość współczynnika \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, zatem:
$$-1=3\cdot\frac{1}{3}+b \           ,\
-1=1+b \           ,\
b=-2$$