Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od \(0\). To oznacza, że:
$$x-1\neq0 \           ,\
x\neq1$$

I tak prawdę mówiąc to już po wykonaniu tego kroku jesteśmy w stanie stwierdzić, że rozwiązaniem naszego równania na pewno nie jest liczba \(1\), bo nawet jak gdzieś wyszedłby nam \(x=1\), to tę jedynkę musielibyśmy odrzucić ze względu na założenia.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Gdybyśmy nie dostrzegli tego, że już jesteśmy w stanie wskazać prawidłową odpowiedź, to powinniśmy standardowo przystąpić do rozwiązania tego równania, mnożąc obie strony przez \(x-1\). Otrzymamy wtedy:

$$\frac{(x^2-2x-3)\cdot(x^2-9)}{x-1}=0 \quad\bigg/\cdot(x-1) \           ,\
(x^2-2x-3)\cdot(x^2-9)=0$$

Aby wartość tego równania była równa \(0\), to pierwszy lub drugi nawias musi być równy zero. To oznacza, że otrzymamy dwa równania:
$$x^2-2x-3=0\quad\lor\quad x^2-9=0$$

Równanie \(x^2-2x-3=0\) jest zapisane w postaci ogólnej, więc możemy je rozwiązać korzystając z delty:

Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4-(-12)=4+12=16 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-4}{2\cdot1}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+4}{2\cdot1}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Drugie równanie, czyli \(x^2-9=0\), jest jeszcze prostsze do policzenia, bo jesteśmy w stanie zrobić to w pamięci:
$$x^2-9=0 \           ,\
x^2=9 \           ,\
x=3\quad\lor\quad x=-3$$

Rozwiązaniami tego równania są więc liczby: \(-1\), \(3\) oraz \(-3\). Żadne z tych rozwiązań nie wyklucza się z założeniami. To oznacza, że jedyną liczbą spośród proponowanych, która nie jest rozwiązaniem tego równania, jest liczba \(1\).

To zadanie najprościej będzie rozwiązać obliczając oddzielnie \(log_{3}27\) oraz \(log_{3}\sqrt{27}\).
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego logarytmu.
Wartość logarytmu \(log_{3}27\) jesteśmy w stanie policzyć w pamięci, bo do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(27\)? Oczywiście do potęgi \(3\), gdyż \(3^3=27\). To oznacza, że:
$$log_{3}27=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego logarytmu.
Drugi logarytm jest nieco trudniejszy, ale obliczymy go tak jak każdy inny logarytm, czyli zamieniając postać logarytmu na postać potęgi:
$$log_{3}\sqrt{27}=x \Rightarrow 3^x=\sqrt{27}$$

Aby rozwiązać to równanie to będziemy musieli teraz sprowadzić \(\sqrt{27}\) do postaci potęgi o podstawie równej \(3\). Pamiętając o tym, że \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\) otrzymamy:
$$3^x=\sqrt{27} \           ,\
3^x=\sqrt[2]{3^3} \           ,\
3^x=3^\frac{3}{2} \           ,\
x=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
W liczniku otrzymaliśmy wartość równą \(3\), w mianowniku wyszło nam \(\frac{3}{2}\), w związku z tym:

$$\frac{log_{3}27}{log_{3}\sqrt{27}}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=3:\frac{3}{2}=3\cdot\frac{2}{3}=2$$

Najprościej będzie odpowiedzieć na to pytanie podstawiając po kolei każdą z proponowanych odpowiedzi:
Gdy \(x=-5\):
\((-5-6)\cdot (-5-2)^2\cdot (-5+4)\cdot (-5+10)= \           ,\
=-11\cdot(-7)^2\cdot(-1)\cdot5= \           ,\
=-11\cdot49\cdot(-1)\cdot5=2695\)

Gdy \(x=0\):
\((0-6)\cdot (0-2)^2\cdot (0+4)\cdot (0+10)= \           ,\
=-6\cdot(-2)^2\cdot4\cdot10= \           ,\
=-6\cdot4\cdot4\cdot10=-960\)

Gdy \(x=3\):
\((3-6)\cdot (3-2)^2\cdot (3+4)\cdot (3+10)= \           ,\
=-3\cdot1^2\cdot7\cdot13= \           ,\
=-3\cdot1\cdot7\cdot13=-273\)

Gdy \(x=5\):
\((5-6)\cdot (5-2)^2\cdot (5+4)\cdot (5+10)= \           ,\
=-1\cdot3^2\cdot9\cdot15= \           ,\
=-1\cdot9\cdot9\cdot15=-1215\)

Wartość większą od \(0\) osiągnęliśmy jedynie w pierwszym przypadku, stąd też \(x=-5\) jest liczbą spełniającą tę nierówność.

Tutaj też taka mała podpowiedź: W tym zadaniu akurat liczby były dość proste do wymnożenia (zwłaszcza z kalkulatorem). Można tutaj jednak było poradzić sobie bez szczegółowych obliczeń, wystarczyło pamiętać o tym, że jeżeli mamy nieparzystą ilość liczb ujemnych, to liczba na pewno będzie ujemna.

Krok 1. Zapisanie wyrażeń na podstawie treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy sobie, że \(x\) to jest liczba znajdująca się w liczniku, a \(y\) to będzie liczba znajdująca się w mianowniku to z treści zadania wynika, że:
$$a=\frac{x}{y} \           ,\
b=\frac{0,5\cdot x}{1,5\cdot y}$$

Krok 2. Podstawienie liczby \(a\) do liczby \(b\).
Rozpisując liczbę \(b\) i podstawiając w miejsce \(\frac{x}{y}\) wartość równą \(a\) otrzymamy:
\(b=\frac{0,5}{1,5}\cdot\frac{x}{y}=\frac{0,5}{1,5}\cdot a=\frac{1}{3}a\)

Miejsce zerowe tej funkcji to \(x=\frac{3}{4}\). W związku z tym podstawiając tego iksa do wzoru funkcji, powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\) (na tym właśnie polega istota miejsc zerowych, że po ich podstawieniu wartość funkcji przyjmuje wynik równy \(0\)). Musimy zatem rozwiązać proste równanie:
$$(a+1)\cdot\frac{3}{4}+11=0 \           ,\
\frac{3}{4}a+\frac{3}{4}+11=0 \           ,\
\frac{3}{4}a+11\frac{3}{4}=0 \           ,\
\frac{3}{4}a+\frac{47}{4}=0 \           ,\
\frac{3}{4}a=-\frac{47}{4} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \           ,\
a=-\frac{47}{3}$$

Jeżeli funkcja liniowa jest rosnąca to znaczy, że jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. W przypadku naszej funkcji współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy \(m\sqrt{5}-1\), zatem powstaje nam prosta nierówność:
$$m\sqrt{5}-1\gt0 \           ,\
m\sqrt{5}\gt1 \           ,\
m\gt\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Teoretycznie powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, ale wtedy nie dopasujemy się do proponowanych odpowiedzi. Musimy więc zostawić ten zapis w takiej postaci, czyli tym samym prawidłową będzie odpowiedź A.

Krok 1. Doprowadzenie równań do jednakowej postaci.
Mnożąc drugie równanie przez \(2\) otrzymamy:
\begin{cases}
2x-y=2 \           ,\
x+my=1 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}

\begin{cases}
2x-y=2 \           ,\
2x+2my=2
\end{cases}

Krok 2. Ustalenie dla jakiego parametru \(m\) równania mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Aby nasz układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań, to pierwsze i drugie równanie muszą być identyczne. Porównując do siebie te dwa równania widzimy, że aby tak się stało to liczby stojące przy igreku muszą być sobie równe. W pierwszym równaniu przed igrekiem mamy jedynie minus, czyli mamy tak jakby \(-1y\). W drugim równaniu mamy wartość \(2my\). Skoro wartości przed igrekami muszą być równe, to:
$$-1=2m \           ,\
m=-\frac{1}{2}$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę sprawdzenie dla jakich wartości \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(-1\). Z rysunku wynika, że ta wartość jest otrzymywana dla \(x=-2\), \(x=-\frac{1}{2}\) oraz dla \(x\in\langle2;4\rangle\). I to właśnie przez ten ostatni przedział mamy nieskończenie wiele rozwiązań równania \(f(x)=-1\), bo dla nieskończonej liczby argumentów nasza funkcja przyjmuje wartość równą \(1\).

Krok 1. Rozpisanie poszczególnych wyrazów ciągu.
Rozpiszmy drugi, dziewiąty oraz czwarty wyraz ciągu korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Otrzymamy wtedy, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \           ,\
a_{9}=a_{1}+8r \           ,\
a_{4}=a_{1}+3r$$

Krok 2. Podstawienie rozpisanych wyrazów do wyrażenia z treści zadania.
Podstawiając teraz wyznaczone przed chwilą wyrazy do wyrażenia z treści zadania otrzymamy:
$$a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k} \           ,\
a_{1}+r+a_{1}+8r=a_{1}+3r+a_{k} \           ,\
2a_{1}+9r=a_{1}+3r+a_{k} \           ,\
a_{k}=a_{1}+6r$$

Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu wiemy, że wartość \(a_{1}+6r=a_{7}\), więc wychodzi nam, że \(a_{k}=a_{7}\). To oznacza, że \(a_{k}\) jest siódmym wyrazem naszego ciągu, czyli \(k=7\).

Krok 1. Ustalenie wartości \(n\).
Z proponowanych odpowiedzi wynika, że szukamy wartości piątego wyrazu, czyli \(a_{5}\). W zapisanym wyrażeniu w treści zadania mamy po lewej stronie równania zapis \(a_{n+3}\), czyli w naszym przypadku \(n=2\), bo wtedy mamy \(a_{2+3}\), czyli właśnie \(a_{5}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{5}\)
Podstawiając \(n=2\) do wzoru ciągu otrzymamy:
$$a_{2+3}=-2\cdot 3^{2+1} \           ,\
a_{5}=-2\cdot 3^{3} \           ,\
a_{5}=-2\cdot27 \           ,\
a_{5}=-54$$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)= \           ,\
=9x^2-12x+4-(4x^2-9)= \           ,\
=9x^2-12x+4-4x^2+9= \           ,\
=5x^2-12x+13$$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(\cosα-\sinα)^2+2=cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+sin^2α+2$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2=1\). Dodatkowo z treści zadania wynika, że \(sinα\cdot cosα=-\frac{3}{8}\), zatem całość możemy rozpisać następująco:
$$cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+sin^2α+2 \           ,\
sin^2α+cos^2α-2\cdot cosα\cdot sinα+2 \           ,\
1-2\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)+2 \           ,\
1-\left(-\frac{3}{4}\right)+2 \           ,\
3+\frac{3}{4}=3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$$

W tym zadaniu musimy doprowadzić do sytuacji w której skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, czyli \(sin^2α+cos^2α=1\). Pomogą nam w tym wzory redukcyjne, a konkretnie to wzór \(sin(90°-α)=cosα\). Za jego pomocą możemy rozpisać wartość \(sin72°\) jako:
$$sin72°=sin(90°-18°)=cos18°$$

Skoro \(sin72°=cos18°\), to także \(sin^{2}72°=cos^{2}18°\). W związku z tym całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$2\sin^{2}18°+\sin^{2}72°+\cos^{2}18°= \           ,\
=2\sin^{2}18°+cos^{2}18°+\cos^{2}18°= \           ,\
=2\sin^{2}18°+2cos^{2}18°= \           ,\
=2\cdot(\sin^{2}18°+cos^{2}18°)= \           ,\
=2\cdot1=2$$

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CBS\).
Z rysunku wynika, że trójkąt \(BCS\) jest trójkątem równoramiennym (ramiona mają długość \(r\)), zatem kąty przy podstawie \(BC\) będą miały jednakową miarę. To oznacza, że:
$$|\sphericalangle CBS|=|\sphericalangle BCS|=34°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABS\).
Spójrzmy teraz na kąt \(ABS\), który jest kątem przyległym do obliczonego przed chwilą kąta \(CBS\). Suma kątów przyległych jest równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle ABS|=180°-34°=146°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ASB\). To także trójkąt równoramienny (ramiona mają długość \(r\)), którego kąt między ramionami ma \(146°\). Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to kąty przy podstawie \(AS\) mają łącznie:
$$180°-146°=34°$$

Skoro jest to trójkąt równoramienny to kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę, a to oznacza, że:
$$α=34°:2=17°$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych nasze współrzędne i połączmy je, tworząc trójkąt \(ABC\).


Obliczenie pola tego trójkąta w standardowy sposób może być nieco problematyczne. Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że nasz trójkąt jest prostokątny, więc wystarczyłoby poznać długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\) i z nich wyliczyć pole powierzchni. Jednak tak prawdę mówiąc to gdyby chcieć uczciwie rozwiązać takie zadanie (np. gdyby to było zadanie otwarte) to najpierw trzeba byłoby udowodnić, że jest to trójkąt prostokątny, bo nie jest to takie oczywiste. W tym celu trzeba byłoby obliczyć wszystkie długości boków tego trójkąta (ze wzoru na długość odcinka o znanych współrzędnych) i z Twierdzenia Pitagorasa należałoby wykazać, że zachodzi równość \(a^2+b^2=c^2\), co byłoby dowodem na to, że trójkąt jest prostokątny.

Nie mniej jednak można podejść do zadania jeszcze prościej i przede wszystkim bezpieczniej. Możemy skorzystać z takiej oto prostej metody:


Pole naszego trójkąta \(ABC\) to będzie pole tego dużego prostokąta, pomniejszone o pola trójkąta I, II oraz III. Pola tych małych trójkątów są bardzo proste do policzenia, bo są to trójkąty prostokątne o znanych nam przyprostokątnych.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni małych trójkątów.
Pole trójkąta I:
\(P_{I}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2 \           ,\
P_{I}=3\cdot2 \           ,\
P_{I}=6\)

Pole trójkąta II:
\(P_{II}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2 \           ,\
P_{II}=2\cdot2 \           ,\
P_{II}=4\)

Pole trójkąta III:
\(P_{III}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2 \           ,\
P_{III}=2\cdot2 \           ,\
P_{III}=4\)

Krok 3. Wyznaczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Nasz trójkąt \(ABC\) to będzie pole prostokąta o wymiarach \(4\times6\), pomniejszone o sumę pól małych trójkątów.

Pole prostokąta jest równe:
$$P_{pr}=4\cdot6 \           ,\
P_{pr}=24$$

Suma pól małych trójkątów jest równa:
$$P_{I,II,III}=6+4+4 \           ,\
P_{I,II,III}=14$$

W związku z tym pole trójkąta \(ABC\) jest równe:
$$P_{ABC}=24-14 \           ,\
P_{ABC}=10$$