W tego typu zadaniach po lewej stronie nierówności znajdzie się wartość \(|x-a|\), gdzie \(a\) to środek między dwoma krańcowymi punktami przedziałów. Zazwyczaj ten środek musimy samodzielne policzyć, ale w przypadku tego zadania ten środek jest już wskazany i jest on równy \(a=7\). Zatem po lewej stronie nierówności znajdzie się zapis \(|x-7|\).

Od środka przedziału do jego końców mamy zarówno z lewej jak i z prawej strony odległość \(15\) jednostek (bo np. \(22-7=15\)). Zgodnie z rysunkiem widać, że w zaznaczonym przedziale znalazły się liczby których odległość od środka jest mniejsza niż \(15\) jednostek. Prawidłowa zatem będzie nierówność: \(|x-7|\lt15\).

Potęgowanie to zwielokrotnione mnożenie. Możemy więc \(2^{2014}\) zapisać jako \(2\cdot2^{2013}\), a tę dwójkę którą wyłączyliśmy możemy skrócić z ułamkiem \(\frac{1}{2}\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{1}{2}\cdot2^{2014}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2^{2013}=1\cdot2^{2013}=2^{2013}$$

Ewentualnie możemy zamienić ułamek \(\frac{1}{2}\) na potęgę \(2^{-1}\) i wykonać poprawnie działania na potęgach:
$$\frac{1}{2}\cdot2^{2014}=2^{-1}\cdot2^{2014}=2^{-1+2014}=2^{2013}$$

Zgodnie z definicją logarytmu:
$$\log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b$$

Podstawiając do tej definicji wartości z naszego zadania otrzymamy, że:
$$3^c=2$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) otrzymamy:
$$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+2\sqrt{15}= \           ,\
=(\sqrt{5})^2-2\cdot\sqrt{5}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{15}= \           ,\
=5-2\sqrt{15}+3+2\sqrt{15}= \           ,\
=5+3=8$$

\(x\) - tyle oszczędności miała Julia
\(0,5x\) - tyle oszczędności przeznaczyła Julia na prezent dla Maćka
\(x-0,5x=0,5x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupie prezentu
\(0,1\cdot0,5x=0,05x\) - tyle pieniędzy przeznaczyła Julia na prezent dla Dominiki
\(0,5x-0,05x=0,45x\) - tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupach dwóch prezentów

Julce zostało \(0,45x\) oszczędności, więc zostało jej \(45\%\).

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku nie może być równa zero. Stąd też:
$$7-x\neq0 \           ,\
x\neq7$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Najprościej będzie chyba tutaj zastosować tzw. "mnożenie na krzyż":
$$(x-5)\cdot3=1\cdot(7-x) \           ,\
3x-15=7-x \           ,\
4x=22 \           ,\
x=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}$$

Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, więc \(x=\frac{11}{2}\).

Naszym zadaniem jest przekształcenie tego równania, tak by wyznaczyć z niego wartość \(b\).
$$a=\frac{b}{c-b} \quad\bigg/(c-b) \           ,\
a\cdot(c-b)=b \           ,\
ac-ab=b \           ,\
ac=ab+b \           ,\
ac=b\cdot(a+1) \quad\bigg/:(a+1) \           ,\
b=\frac{ac}{a+1}$$

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(x\). Widzimy wyraźnie, że dziedziną funkcji będzie przedział \(x\in(-3;8\rangle\).

Zbiór wartości funkcji (a tym samym największą wartość funkcji) odczytujemy z osi \(y\). Krótko mówiąc - szukamy współrzędnej igrekowej punktu, który jest położony najwyżej na wykresie. Tą wartością będzie: \(y_{max}=3\).

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Mamy podaną funkcję w postaci iloczynowej, dzięki czemu w bardzo łatwy sposób możemy wyznaczyć jej miejsca zerowe.
$$(x-2)(x+4)=0 \           ,\
x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Nasza funkcja kwadratowa po wymnożeniu poszczególnych wyrazów będzie miała przy \(x^2\) współczynnik dodatni \(a=1\), więc ramiona paraboli będą skierowane ku górze.

To oznacza, żę szukamy funkcji, która ma miejsca zerowe \(x=2\) oraz \(x=-4\) i która ma ramiona skierowane do góry. Taka parabola znalazła się w czwartej odpowiedzi.

Krok 1. Określenie kiedy funkcja ma pożądany zbiór wartości.
Musimy się zastanowić kiedy nasza funkcja będzie miała przedział wartości \((-\infty,-3\rangle\).

a) Czy parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, czy do góry?
Jeśli parabola ma ramiona skierowane do góry, to funkcja zawsze dąży do plus nieskończoności. Nasza parabola musi kończyć się na wartości \(-3\), a więc na pewno ma ramiona skierowane do dołu. To oznacza, że współczynnik kierunkowy tej funkcji musi być mniejszy od zera (czyli przed \(x^2\) musi znaleźć się minus).

b) Czym jest liczba \(-3\), która znalazła się w przedziale?
Jest to tak naprawdę współrzędna \(y\) wierzchołka naszej paraboli.

Krok 2. Wskazanie wzoru poszukiwanej funkcji.
Funkcję kwadratową o współrzędnych wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$

Zgodnie z tym co zapisaliśmy w kroku pierwszym, szukamy funkcji która przed \(x^2\) będzie mieć wartość ujemną oraz taką, której \(q=-3\). Taka funkcja znalazła się jedynie w trzeciej odpowiedzi, czyli będzie to \(y=-(x-2)^2-3\).

Skoro funkcja liniowa ma być rosnąca, to na pewno \(a\gt0\).
Wiemy też, że funkcja ta ma dodatnie miejsce zerowe, musi więc wyglądać mniej więcej w taki sposób:



Widzimy wyraźnie, że skoro funkcja ma dodatnie miejsce zerowe i jest jednocześnie rosnąca, to na pewno przecina oś \(Oy\) w wartości ujemnej, czyli pod osią \(Ox\). To oznacza, że współczynnik \(b\lt0\).

Prawidłowa jest zatem odpowiedź \(a\gt0\) i \(b\lt0\).

Sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie wartości dziesiątego wyrazu tego ciągu. Z treści zadania wiemy, że \(S_{n}=35\), oraz że \(a_{1}=3\), zatem bez problemu wyznaczymy poszukiwaną wartość \(a_{10}\):
$$35=\frac{3+a_{10}}{2}\cdot10 \           ,\
35=(3+a_{10})\cdot5 \           ,\
35=15+5a_{10} \           ,\
20=5a_{10} \           ,\
a_{10}=4$$

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu ciągu.
Do wyznaczenia ilorazu ciągu geometrycznego przyda nam się znajomość dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu. Najprościej będzie więc wyznaczyć wartość pierwszego i drugiego wyrazu.
$$a_{1}=-\frac{3^1}{4}=-\frac{3}{4} \           ,\
a_{2}=-\frac{3^2}{4}=-\frac{9}{4}$$

Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu ciągu.
Iloraz ciągu będzie równy:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\
q=\frac{-\frac{9}{4}}{-\frac{3}{4}}=-\frac{9}{4}:\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{9}{4}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{9}{3}=3$$

Krok 1. Wyznaczenie wzoru na \(sinα\).
Pamiętając, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), możemy dokonać przekształcenia i spróbować wyznaczyć wzór na sinusa, który później podstawimy do jedynki trygonometrycznej.
$$3tgα=2 \           ,\
tgα=\frac{2}{3} \           ,\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3} \quad\bigg/\cdot cosα \           ,\
sinα=\frac{2}{3}cosα$$

Krok 2. Wyznaczenie dokładnej wartości \(cosα\).
Korzystając z jedynki trygonometrycznej i podstawiając równanie wyznaczone w pierwszym kroku możemy obliczyć dokładną wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{2}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{4}{9}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot9 \           ,\
4cos^2α+9cos^2α=9 \           ,\
13cos^2α=9 \           ,\
cos^2α=\frac{9}{13} \           ,\
cosα=\sqrt{\frac{9}{13}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{9}{13}} \           ,\
cosα=\frac{3}{\sqrt{13}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{\sqrt{13}}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie odrzucamy. Pozostaje nam więc \(cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}\). W tym zapisie możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(sinα\).
$$\require{cancel}
sinα=\frac{2}{3}cosα \           ,\
sinα=\frac{2}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}\sqrt{13}}{13} \           ,\
sinα=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα+cosα\).
Znając wartości sinusa i cosinusa bez problemu obliczymy poszukiwaną wartość naszego wyrażenia:
$$sinα+cosα=\frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{3\sqrt{13}}{13}=\frac{5\sqrt{13}}{13}$$

Zgodnie z własnościami okręgów opisanych na trójkącie równobocznym wiemy, że promień okręgu jest równy \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Zatem:
$$\frac{2}{3}h=R \           ,\
\frac{2}{3}h=8 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \           ,\
h=12$$