Nie możemy ot tak skrócić sobie licznika z mianownikiem, bo między liczbami stoją znaki dodawania/odejmowania. Musimy tak naprawdę wymnożyć licznik i mianownik przez wartość \(\sqrt{5}+2\), pobywając się w ten sposób niewymierności w mianowniku. Zatem:
$$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{(\sqrt{5}+2)\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)}= \           ,\
=\frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}=9+4\sqrt{5}$$

$$|2x+3|=5 \           ,\
2x+3=5 \quad\lor\quad 2x+3=-5 \           ,\
2x=2 \quad\lor\quad 2x=-8 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=-4$$

Równanie jest przedstawione w formie iloczynowej, tak więc aby całość była równa zero, to tak naprawdę wyrażenie w którymś z nawiasów musi być równe zero:
$$(x+5)(x-3)(x^2+1)=0 \           ,\
x+5=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \           ,\
x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-1$$

Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba podniesiona do kwadratu, która dałaby wynik ujemny, to z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że to całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-5\) oraz \(x=3\).

Oczywiście możemy to zadanie policzyć na piechotę i sprawdzić po kolei każdą z odpowiedzi, obliczając po kolei \(1,5\%\) z \(45zł\), potem z \(2000zł\) itd. Najszybciej będzie jednak ułożyć prostą proporcję:
$$1,5\%\text{ z }x\text{ to }3000zł \           ,\
0,5\%\text{ z }x\text{ to }1000zł \           ,\
100\%\text{ z }x\text{ to }200\;000zł$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=4-(-12)=4+12=16 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-4}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+4}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 2. Wybór właściwego rysunku.
Tylko na rysunkach \(A\) oraz \(C\) parabola przechodzi przez wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe. Musimy jeszcze tylko ustalić, czy ramiona tej paraboli będą skierowane do góry czy do dołu. Z racji tego, że współczynnik kierunkowy \(a\gt0\) to ramiona paraboli będą skierowane do góry, czyli prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.

Krok 1. Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka (\(p\)).
Do obliczeń współrzędnych wierzchołka \(W=(p;q)\) przydadzą nam się współczynniki funkcji kwadratowej:
$$a=1,\;b=-4,\;c=4$$

Zgodnie ze wzorami z tablic matematycznych:
$$p=\frac{-b}{2a} \           ,\
p=\frac{-(-4)}{2\cdot1} \           ,\
p=\frac{4}{2} \           ,\
p=2$$

Tak naprawdę moglibyśmy już na tym skończyć obliczenia, bo już wiemy, że współrzędne naszego wierzchołka to \(W=(2;q)\), a taka sytuacja jest jedynie w czwartej odpowiedzi. W ramach ćwiczenia możemy obliczyć jeszcze drugą współrzędną.

Krok 2. Obliczenie drugiej współrzędnej wierzchołka.
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$

$$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\
q=\frac{-0}{4\cdot1}\           ,\
q=\frac{-0}{4}\           ,\
q=0$$

Współrzędne wierzchołka to w takim razie \(W=(2;0)\).

Skoro suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\), to na pewno suma miar dwóch poszukiwanych kątów musi być równa:
$$180°-54°=126°$$

Taka sytuacja jest w odpowiedzi pierwszej i trzeciej, ale w odpowiedzi pierwszej miara kąta mniejszego jest pięciokrotnie (a nie sześciokrotnie) mniejsza, więc już na podstawie tej prostej dedukcji możemy wybrać odpowiedź \(C\).

Chcąc policzyć to w bardziej matematyczny sposób możemy ułożyć proste równanie. Przyjmijmy, że \(x\) to miara mniejszego kąta, a tym samym \(6x\) to miara kąta większego:
$$x+6x+54°=180° \           ,\
7x=126° \           ,\
x=18°$$

Kąt mniejszy: \(18°\)
Kąt większy: \(6\cdot18°=108°\)

Krok 1. Obliczenie długości boku prostokąta.



Skorzystamy z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej z tangensa:
$$tg30°=\frac{6}{a} \           ,\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6}{a} \           ,\
\frac{\sqrt{3}}{3}a=6 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \           ,\
a=\frac{18}{\sqrt{3}}$$

Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Obliczona przed chwilą długość jest poprawna, ale nie mamy takiej odpowiedzi w proponowanych. Musimy więc jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\):
$$a=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \           ,\
a=\frac{18\sqrt{3}}{3} \           ,\
a=6\sqrt{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest sporządzenie dobrego rysunku pomocniczego.



Z rysunku bardzo wyraźnie wynika, że długość promienia obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie długości promienia.
$$3^2+4^2=r^2 \           ,\
9+16=r^2 \           ,\
r^2=25 \           ,\
r=5$$

Aby móc skorzystać z twierdzenia o kątach środkowych i wpisanych opartych na tym samym łuku potrzebujemy znać miarę kąta \(DOB\), bo to właśnie kąt środkowy \(DOB\) jest oparty na tym samym łuku co poszukiwany kąt \(BAD\).

Krok 1. Obliczenie miary kąta środkowego \(DOB\).
Skoro kąt pełny ma miarę \(360°\), to:
$$|\sphericalangle DOB|=360°-130°-60°=170°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta wpisanego \(BAD\).
Kąt wpisany na okręgu ma miarę dwa razy mniejszą od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Zatem:
$$|\sphericalangle BAD|=170°:2=85°$$

Trójkąty przystające to takie, które mają identyczne miary długości boków i kątów między tymi bokami (wbrew nazwie te trójkąty wcale nie muszą się ze sobą stykać). Spośród trójkątów wypisanych w odpowiedziach, trójkątem przystającym do trójkąta \(ECD\) jest tylko i wyłącznie trójkąt \(CAB\). Wynika to głównie z tego, że w pięciokącie foremnym wszystkie boki mają identyczną długość, zatem:
$$|ED|=|DC|=|AB|=|BC| \           ,\
\text{oraz} \           ,\
|EC|=|CA|$$

Równanie okręgu o środku \(O=(a;b)\) i promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(x-b)^2=r^2$$

Z rysunku musimy odczytać współrzędne środka okręgu oraz długość promienia (promień okręgu możemy obliczyć po kratkach). Zatem:
$$O=(2;1) \           ,\
r=3$$

Podstawiając te dane do wzoru otrzymamy:
$$(x-2)^2+(x-1)^2=3^2 \           ,\
(x-2)^2+(x-1)^2=9$$

Aby dodać do siebie dwa ułamki musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik i mianownik pierwszego ułamka wymnożymy przez \((x+3)\), a licznik i mianownik drugiego ułamka przez \((x-2)\). Warto sobie to wszystko pogrupować w nawiasy, by uniknać błędów rachunkowych:
$$\frac{3x+1}{x-2}-\frac{2x-1}{x+3}= \           ,\
=\frac{(3x+1)\cdot(x+3)}{(x-2)\cdot(x+3)}-\frac{(2x-1)\cdot(x-2)}{(x+3)\cdot(x-2)}= \           ,\
=\frac{(3x+1)\cdot(x+3)-(2x-1)\cdot(x-2)}{(x-2)\cdot(x+3)}= \           ,\
=\frac{3x^2+9x+x+3-(2x^2-x-4x+2)}{(x-2)\cdot(x+3)}= \           ,\
=\frac{3x^2+10x+3-(2x^2-5x+2)}{(x-2)\cdot(x+3)}= \           ,\
=\frac{3x^2+10x+3-2x^2+5x-2}{(x-2)\cdot(x+3)}= \           ,\
=\frac{3x^2-2x^2+10x+5x+3-2}{(x-2)\cdot(x+3)}= \           ,\
=\frac{x^2+15x+1}{(x-2)\cdot(x+3)}$$

Aby poznać wartość ósmego wyrazu (a patrząc na odpowiedzi wiemy, że właśnie tej wartości poszukujemy) musimy podstawić do wzoru ciągu \(n=8\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{8}=\sqrt{2\cdot8+4} \           ,\
a_{8}=\sqrt{16+4} \           ,\
a_{8}=\sqrt{20} \           ,\
a_{8}=\sqrt{4\cdot5} \           ,\
a_{8}=2\sqrt{5}$$

Jedną z ważniejszych własności ciągu geometrycznego jest następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając dane z treści zadania do powyższego wzoru otrzymamy:
$$4^2=2\sqrt{2}\cdot a \           ,\
16=2\sqrt{2}a \quad\bigg/:2 \           ,\
8=\sqrt{2}a \           ,\
a=\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$