Przypadek 1 — dokładamy kulę białą. W pudełku jest wtedy 4 kule białe i 5 czarnych, razem 9:

\(p_1=\dfrac{4}{9}\).

Przypadek 2 — usuwamy kulę czarną. W pudełku zostaje 3 kule białe i 4 czarne, razem 7:

\(p_2=\dfrac{3}{7}\).

Porównanie. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika \(63\):

\(p_1=\dfrac{28}{63}\), \(\ p_2=\dfrac{27}{63}\), a więc \(p_1>p_2\).

Odpowiedź: bardziej prawdopodobne jest wylosowanie kuli białej po dołożeniu kuli białej.

Rozwiązujemy nierówność

\(\dfrac{n+2}{3n+1}>\dfrac12\).

Dla \(n\ge1\) mianownik \(3n+1>0\), więc możemy pomnożyć obie strony przez \(2(3n+1)>0\):

\(2(n+2)>3n+1\),

\(2n+4>3n+1\),

\(3>n\).

W zbiorze liczb naturalnych dodatnich daje to \(n=1\) lub \(n=2\).

Odpowiednie wyrazy:

\(a_1=\dfrac{1+2}{3+1}=\dfrac34\), \(\ a_2=\dfrac{2+2}{6+1}=\dfrac47\).

Sprawdzenie: \(\tfrac34=0{,}75>0{,}5\) i \(\tfrac47\approx0{,}571>0{,}5\), natomiast \(a_3=\tfrac{5}{10}=0{,}5\) — nie jest większy. ✅

a) Z twierdzenia Bézouta wielomian jest podzielny przez \(x+2\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(-2)=0\):

\((-2)^3+k\cdot(-2)^2-4=0\),

\(-8+4k-4=0\), czyli \(4k=12\), skąd \(k=3\).

b) Mamy \(W(x)=x^3+3x^2-4\). Dzielimy przez \(x+2\):

\(x^3+3x^2-4=(x+2)(x^2+x-2)\).

Trójmian \(x^2+x-2\) ma \(\Delta=1+8=9\), więc \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\).

Stąd

\(W(x)=(x+2)^2(x-1)\).

Pierwiastki: \(x=-2\) (pierwiastek podwójny) oraz \(x=1\).

Oznaczmy przez \(x\) liczbę płyt na półce górnej, a przez \(z\) — na dolnej. Ciąg \((x,\ 24,\ z)\) jest geometryczny i rosnący.

Warunek geometryczności: \(24^2=xz\), czyli \(xz=576\).

Warunek sumy: \(x+24+z=76\), czyli \(x+z=52\).

Liczby \(x\) i \(z\) są więc pierwiastkami równania

\(t^2-52t+576=0\).

\(\Delta=2704-2304=400\), \(\sqrt{\Delta}=20\), skąd \(t=\dfrac{52-20}{2}=16\) lub \(t=\dfrac{52+20}{2}=36\).

Ponieważ ciąg jest rosnący, mamy \(x=16\) i \(z=36\).

Odpowiedź: na półce górnej stoi 16 płyt, a na dolnej 36 płyt (iloraz ciągu wynosi \(1{,}5\)).

Oznaczmy przez \(x\) liczbę złotych, o którą obniżono cenę (\(x\ge0\)).

Wtedy:

• cena sprzedaży: \(160-x\) zł, zysk z jednej kurtki: \(160-x-100=60-x\) zł,

• liczba sprzedanych kurtek: \(40+x\).

Miesięczny zysk:

\(f(x)=(60-x)(40+x)=-x^2+20x+2400\).

Jest to funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

\(x_w=-\dfrac{20}{2\cdot(-1)}=10\).

Cena sprzedaży wynosi wtedy \(160-10=150\) zł, a zysk \(f(10)=50\cdot50=2500\) zł.

Odpowiedź: sprzedawca powinien ustalić cenę 150 zł.

Zbiór \(A\).

\(|x+2|\lt 3\ \Longleftrightarrow\ -3\lt x+2\lt 3\ \Longleftrightarrow\ -5\lt x\lt 1\).

Zatem \(A=(-5,1)\).

Zbiór \(B\). Rozwijamy lewą stronę ze wzoru skróconego mnożenia:

\((2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1\).

Nierówność przyjmuje postać

\(8x^3-12x^2+6x-1\le 8x^3-13x^2+6x+3\).

Po redukcji wyrazów \(8x^3\) oraz \(6x\):

\(-12x^2-1\le -13x^2+3\),

\(x^2\le4\), czyli \(-2\le x\le2\).

Zatem \(B=\langle-2,2\rangle\).

Działania na zbiorach.

\(A\cap B=(-5,1)\cap\langle-2,2\rangle=\langle-2,1)\),

\(B-A=\langle-2,2\rangle\setminus(-5,1)=\langle1,2\rangle\).

a) Diagram słupkowy: nad wartościami \(1,2,3,4\) na osi poziomej rysujemy słupki o wysokościach odpowiednio \(5,\ 10,\ 15,\ 10\) (liczba uczniów).

b) Średnia. Liczba wszystkich uczniów:

\(n=5+10+15+10=40\).

Średnia ważona:

\(\bar{x}=\dfrac{1\cdot5+2\cdot10+3\cdot15+4\cdot10}{40}=\dfrac{5+20+45+40}{40}=\dfrac{110}{40}=2{,}75\).

c) Wariancja i odchylenie standardowe.

\((1-2{,}75)^2\cdot5=3{,}0625\cdot5=15{,}3125\),

\((2-2{,}75)^2\cdot10=0{,}5625\cdot10=5{,}625\),

\((3-2{,}75)^2\cdot15=0{,}0625\cdot15=0{,}9375\),

\((4-2{,}75)^2\cdot10=1{,}5625\cdot10=15{,}625\).

Suma: \(37{,}5\), zatem

\(\sigma^2=\dfrac{37{,}5}{40}=0{,}9375\approx0{,}94\),

\(\sigma=\sqrt{0{,}9375}\approx0{,}9682\approx0{,}97\).

1) Pole czworokąta. Czworokąt \(ABCD\) jest opisany na okręgu, więc sumy długości przeciwległych boków są równe:

\(|AB|+|CD|=|AD|+|BC|=6{,}3+10=16{,}3\) (dm).

Obwód wynosi więc \(2\cdot16{,}3=32{,}6\) dm, a połowa obwodu \(p=16{,}3\) dm.

Dla wielokąta opisanego na okręgu \(S=p\cdot r\), zatem

\(S_{ABCD}=16{,}3\cdot3=48{,}9\ \text{dm}^2\).

2) Pole serwetki (koła).

\(S_k=\pi r^2=9\pi\approx28{,}2743\ \text{dm}^2\).

3) Część niewykorzystana.

\(S_r=48{,}9-28{,}2743\approx20{,}6257\ \text{dm}^2\).

4) Procent.

\(\dfrac{S_r}{S_{ABCD}}\cdot100\%=\dfrac{20{,}6257}{48{,}9}\cdot100\%\approx42{,}18\%\).

Uwaga: przy zaokrąglaniu pola koła już na wcześniejszym etapie (np. do \(28{,}27\) dm²) otrzymuje się \(\approx42{,}19\%\) — CKE uznaje obie wartości.

Oznaczmy przez \(x\) kwotę wpłaconą dla dziecka ośmioletniego, a przez \(y\) — dla dziesięcioletniego.

Dziecko ośmioletnie odbierze pieniądze po \(21-8=13\) latach, dziesięcioletnie po \(21-10=11\) latach.

Przy kapitalizacji rocznej i stopie 5% otrzymujemy układ równań:

\(\begin{cases}x+y=84100\\ x\cdot1{,}05^{13}=y\cdot1{,}05^{11}\end{cases}\)

Dzieląc drugie równanie przez \(1{,}05^{11}>0\):

\(x\cdot1{,}05^{2}=y\), czyli \(y=1{,}1025x\).

Podstawiamy do pierwszego równania:

\(x+1{,}1025x=84100\),

\(2{,}1025x=84100\), skąd \(x=\dfrac{84100}{2{,}1025}=40000\).

Zatem \(y=84100-40000=44100\) zł.

Sprawdzenie: \(44100\cdot1{,}05^{11}=40000\cdot1{,}05^{2}\cdot1{,}05^{11}=40000\cdot1{,}05^{13}\) — obie wypłaty są równe. ✅

Odpowiedź: dla dziecka ośmioletniego należy przeznaczyć 40 000 zł, a dla dziesięcioletniego 44 100 zł.

Oznaczmy ostrosłup przez \(ABCDW\), a przez \(K\) i \(L\) — środki przeciwległych krawędzi podstawy. Odcinki \(WK\) i \(WL\) to właśnie wysokości przeciwległych ścian bocznych, czyli \(|WK|=|WL|=h\), a \(|\sphericalangle KWL|=2\alpha\).

1) Przekrój. Punkty \(K,L,W\) leżą w jednej płaszczyźnie — jest to przekrój ostrosłupa przechodzący przez środki przeciwległych krawędzi podstawy. Trójkąt \(KWL\) jest równoramienny, a jego wysokość \(WO\) (gdzie \(O\) jest środkiem odcinka \(KL\), a zarazem środkiem podstawy) jest wysokością ostrosłupa.

2) Wysokość ostrosłupa. W trójkącie prostokątnym \(WOL\) kąt przy \(W\) wynosi \(\alpha\), a przeciwprostokątna to \(h\):

\(H=|WO|=h\cos\alpha\).

3) Krawędź podstawy. Odległość między środkami przeciwległych boków kwadratu jest równa długości jego boku, więc

\(a=|KL|=2\cdot h\sin\alpha=2h\sin\alpha\).

4) Objętość. Pole podstawy:

\(P_p=a^2=4h^2\sin^2\alpha\),

\(V=\tfrac13P_pH=\tfrac13\cdot4h^2\sin^2\alpha\cdot h\cos\alpha=\dfrac{4}{3}h^3\sin^2\alpha\cos\alpha\).

Uwaga: korzystając ze wzoru \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) można zapisać też \(V=\dfrac{2}{3}h^3\sin\alpha\sin2\alpha\).