LekcjeRazem

Oznaczmy ostrosłup przez \(ABCDW\), a przez \(K\) i \(L\) — środki przeciwległych krawędzi podstawy. Odcinki \(WK\) i \(WL\) to właśnie wysokości przeciwległych ścian bocznych, czyli \(|WK|=|WL|=h\), a \(|\sphericalangle KWL|=2\alpha\).

1) Przekrój. Punkty \(K,L,W\) leżą w jednej płaszczyźnie — jest to przekrój ostrosłupa przechodzący przez środki przeciwległych krawędzi podstawy. Trójkąt \(KWL\) jest równoramienny, a jego wysokość \(WO\) (gdzie \(O\) jest środkiem odcinka \(KL\), a zarazem środkiem podstawy) jest wysokością ostrosłupa.

2) Wysokość ostrosłupa. W trójkącie prostokątnym \(WOL\) kąt przy \(W\) wynosi \(\alpha\), a przeciwprostokątna to \(h\):

\(H=|WO|=h\cos\alpha\).

3) Krawędź podstawy. Odległość między środkami przeciwległych boków kwadratu jest równa długości jego boku, więc

\(a=|KL|=2\cdot h\sin\alpha=2h\sin\alpha\).

4) Objętość. Pole podstawy:

\(P_p=a^2=4h^2\sin^2\alpha\),

\(V=\tfrac13P_pH=\tfrac13\cdot4h^2\sin^2\alpha\cdot h\cos\alpha=\dfrac{4}{3}h^3\sin^2\alpha\cos\alpha\).

Uwaga: korzystając ze wzoru \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) można zapisać też \(V=\dfrac{2}{3}h^3\sin\alpha\sin2\alpha\).