Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych (klasa 7 SP)
Dodawanie
Opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne: $(2x+3)+(x-1)=3x+2$.
Odejmowanie
Przed nawiasem z minusem zmieniamy znaki wszystkich wyrazów: $(2x+3)-(x-1)=2x+3-x+1=x+4$.
Przykład
$$(3a-2b)-(a-2b)=3a-2b-a+2b=2a$$
Na co uważać
Najczęstszy błąd to niezmienienie znaku wyrazu po minusie.
Mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną (klasa 7 SP)
Prawo rozdzielności
Jednomian mnożymy przez każdy wyraz sumy: $a(b+c)=ab+ac$.
Przykład
$$2x(x+3)=2x\cdot x+2x\cdot3=2x^2+6x$$
Znaki
Uważamy na znaki: $-3(x-2)=-3x+6$.
Wyłączanie przed nawias
Operacja odwrotna: $2x^2+6x=2x(x+3)$ — wyłączamy wspólny czynnik.
Działania na pierwiastkach (klasa 7 SP)
Iloczyn i iloraz
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ oraz $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ dla $a,b\ge0$ i $b\neq0$.
Wyłączanie czynnika
$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}$.
Kwadrat pierwiastka
$(\sqrt{a})^2=a$ dla $a\ge0$.
Na co uważać
Pierwiastka sumy nie rozkładamy: $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
Liczby wymierne — działania (klasa 7 SP)
Liczby wymierne
To liczby, które można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych ($q\neq0$) — dodatnie, ujemne oraz zero.
Reguła znaków
Iloczyn i iloraz o zgodnych znakach są dodatnie, o różnych — ujemne: $\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4)=2$.
Dodawanie
Sprowadzamy do wspólnego mianownika i uwzględniamy znaki: $-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$.
Wartość bezwzględna
$\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$.
Kąty i ich własności (klasa 7 SP)
Rodzaje kątów
Ostry (mniej niż $90^\circ$), prosty ($90^\circ$), rozwarty (od $90^\circ$ do $180^\circ$), półpełny ($180^\circ$), pełny ($360^\circ$).
Kąty przyległe i wierzchołkowe
Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$, a wierzchołkowe są równe.
Przy prostych równoległych
Kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe.
Suma kątów
W trójkącie kąty sumują się do $180^\circ$, a w czworokącie do $360^\circ$.
Pierwiastek kwadratowy (klasa 7 SP)
Definicja
Pierwiastek kwadratowy z liczby $a\ge0$ to taka liczba nieujemna, której kwadrat równa się $a$. Zapis $\sqrt{a}=b$ oznacza $b^2=a$ oraz $b\ge0$.
Przykłady
$\sqrt{9}=3$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{0}=0$.
Własności
$(\sqrt{a})^2=a$ oraz $\sqrt{a^2}=|a|$.
Na co uważać
W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej.
Notacja wykładnicza (klasa 7 SP)
Co to jest
Notacja wykładnicza zapisuje liczbę jako iloczyn liczby z przedziału od $1$ do $10$ oraz potęgi dziesiątki: $a\cdot10^n$.
Przykłady
$3000=3\cdot10^3$, a $0{,}002=2\cdot10^{-3}$.
Zastosowanie
Jest wygodna dla bardzo dużych i bardzo małych liczb, np. w fizyce i astronomii.
Na co uważać
Współczynnik $a$ musi spełniać warunek $1\le a<10$.
Potęga potęgi (klasa 7 SP)
Reguła
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ — podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy.
Przykład
$(2^3)^2=2^6=64$.
Powiązane wzory
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ oraz $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
Na co uważać
Nie myl mnożenia wykładników (potęga potęgi) z ich dodawaniem (iloczyn potęg).
Redukcja wyrazów podobnych (klasa 7 SP)
Wyrazy podobne
Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $2x$ i $5x$.
Redukcja
Dodajemy współczynniki wyrazów podobnych, a część literową zostawiamy: $2x+5x=7x$.
Przykład
$3a+2b-a+4b=2a+6b$.
Na co uważać
Wyrazów o różnej części literowej ($x$ i $x^2$) nie łączymy.
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias (klasa 7 SP)
Reguła
$ab+ac=a(b+c)$ — wspólny czynnik wynosimy przed nawias.
Przykłady
$6x+9=3(2x+3)$, a $2x^2+4x=2x(x+2)$.
Zastosowanie
Upraszcza wyrażenia i pomaga rozwiązywać równania.
Sprawdzenie
Wymnażamy nawias z powrotem, aby potwierdzić poprawność rozkładu.
Równania równoważne (klasa 7 SP)
Co to znaczy
Dwa równania są równoważne, gdy mają dokładnie ten sam zbiór rozwiązań.
Przekształcenia
Równanie pozostaje równoważne, gdy do obu stron dodamy tę samą liczbę lub obie strony pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera.
Przykład
$x+3=7$ jest równoważne równaniu $x=4$.
Na co uważać
Pomnożenie obu stron przez zero niszczy równoważność.
Równania sprzeczne i tożsamościowe (klasa 7 SP)
Równanie sprzeczne
Nie ma rozwiązań, bo prowadzi do fałszywej równości, np. $0\cdot x=5$.
Równanie tożsamościowe
Spełnia je każda liczba, bo sprowadza się do prawdziwej równości, np. $0\cdot x=0$ lub $2x=2x$.
Przykład
$x+1=x+2$ jest sprzeczne — po redukcji otrzymujemy fałsz $1=2$.
Jak rozpoznać
Po redukcji: fałszywa równość oznacza równanie sprzeczne, prawdziwa — tożsamościowe.
Zadania tekstowe prowadzące do równań (klasa 7 SP)
Metoda
Szukaną wielkość oznaczamy literą, zapisujemy warunki zadania równaniem, rozwiązujemy je i sprawdzamy wynik.
Przykład
„Liczba powiększona o swoją połowę daje $9$": $x+\frac{1}{2}x=9$, czyli $\frac{3}{2}x=9$, więc $x=6$.
Kroki
1. Wprowadź niewiadomą. 2. Ułóż równanie z treści. 3. Rozwiąż. 4. Sprawdź i zapisz odpowiedź.
Na co uważać
Odpowiedź musi mieć sens — liczba osób czy przedmiotów jest liczbą naturalną.
Średnia arytmetyczna (klasa 7 SP)
Definicja
Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
Przykład
Średnia liczb $2,4,6$ to $\frac{2+4+6}{3}=4$.
Suma ze średniej
Jeśli średnia $n$ liczb wynosi $\bar{x}$, to ich suma równa się $n\cdot\bar{x}$.
Zastosowanie
Średnią liczymy np. dla ocen, temperatur czy wyników pomiarów.
Odczytywanie danych statystycznych (klasa 7 SP)
Źródła danych
Dane odczytujemy z tabel oraz diagramów słupkowych, kołowych i wykresów liniowych.
Diagram kołowy
Cały okrąg odpowiada $100\%$ (czyli $360^\circ$); część danych to odpowiedni wycinek.
Przykład
Jeśli jeden słupek pokazuje $12$, a drugi $8$, to łącznie mamy $20$.
Na co uważać
Zwracaj uwagę na jednostki i skalę osi — może zaczynać się od wartości innej niż zero.
Czworokąty i ich własności (klasa 7 SP)
Podział
Do czworokątów należą m.in. kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez. Każdy ma cztery boki i cztery kąty.
Suma kątów
Suma miar kątów wewnętrznych każdego czworokąta wynosi $360^\circ$.
Własności
W równoległoboku przeciwległe boki są równe i równoległe, a przekątne dzielą się na połowy. W prostokącie przekątne mają równą długość.
Trapez
Trapez ma dokładnie jedną parę boków równoległych, zwanych podstawami.
Diagramy i wykresy (klasa 7 SP)
Rodzaje
Dane przedstawiamy na diagramach słupkowych, kołowych oraz wykresach liniowych.
Diagram słupkowy
Wysokość słupka odpowiada wartości — ułatwia porównywanie kategorii.
Diagram kołowy
Cały okrąg to $100\%$ (czyli $360^\circ$); wielkość wycinka odpowiada udziałowi danej części.
Wykres liniowy
Najlepiej pokazuje zmiany wielkości w czasie.
Pola figur płaskich (klasa 7 SP)
Prostokąt i kwadrat
Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$: $a\cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $a^2$.
Trójkąt
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ gdzie $a$ to podstawa, a $h$ wysokość.
Równoległobok i romb
Pole równoległoboku: $a\cdot h$. Pole rombu: $\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$.
Trapez
$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$ gdzie $a,b$ to podstawy.
Trójkąty — rodzaje i własności (klasa 7 SP)
Podział ze względu na boki
Równoboczny (trzy równe boki), równoramienny (dwa równe boki) i różnoboczny.
Podział ze względu na kąty
Ostrokątny, prostokątny (jeden kąt $90^\circ$) i rozwartokątny.
Suma kątów
Kąty wewnętrzne trójkąta sumują się do $180^\circ$.
Pole
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$
Zastosowania twierdzenia Pitagorasa (klasa 7 SP)
Twierdzenie
W trójkącie prostokątnym $a^2+b^2=c^2$, gdzie $c$ to przeciwprostokątna.
Wyznaczanie boku
Znając dwa boki, obliczamy trzeci: $c=\sqrt{a^2+b^2}$ albo $a=\sqrt{c^2-b^2}$.
Przykład
Dla $a=6$ i $b=8$: $c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
Zastosowania
Przekątna prostokąta, wysokość, odległości — wszędzie, gdzie pojawia się kąt prosty.
Liczby wymierne (klasa 8 SP)
Definicja
Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych, gdzie $q\neq0$.
Przykłady
$\frac{1}{2}$, $-3$, $0{,}25$ oraz $\frac{7}{3}$ — wszystkie są wymierne.
Rozwinięcie dziesiętne
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe.
Działania
Działania wykonujemy jak na ułamkach, pamiętając o regule znaków.
Liczby na osi liczbowej (klasa 8 SP)
Oś liczbowa
To prosta z punktem $0$, jednostką i zwrotem. Liczby dodatnie leżą na prawo, a ujemne na lewo od zera.
Porównywanie
Liczba położona bardziej na prawo jest większa: $-2<1$ oraz $-5<-3$.
Wartość bezwzględna
$|a|$ to odległość liczby $a$ od zera, np. $|-4|=4$.
Liczby przeciwne
Liczby przeciwne, np. $3$ i $-3$, leżą symetrycznie względem zera.
Cechy przystawania trójkątów (klasa 8 SP)
Przystawanie
Trójkąty przystające mają równe odpowiednie boki i kąty — są identyczne co do kształtu i wielkości.
Trzy cechy
bok-bok-bok (bbb), bok-kąt-bok (bkb), kąt-bok-kąt (kbk).
Zastosowanie
Wystarczy sprawdzić jeden z trzech zestawów danych, aby wykazać przystawanie w dowodzie.
Oznaczenie
Przystawanie zapisujemy symbolem $\cong$.
Nierówność trójkąta (klasa 8 SP)
Zasada
W każdym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od trzeciego boku.
Zapis
Dla boków $a,b,c$ zachodzi $a+b>c$, $a+c>b$ oraz $b+c>a$.
Kiedy trójkąt istnieje
Trójkąt o danych bokach istnieje tylko wtedy, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.
Przykład
Z odcinków $2,3,10$ nie zbudujemy trójkąta, bo $2+3<10$.
Strona 14 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.