Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Prawdopodobieństwo klasyczne — definicja i obliczenia
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ — liczba przypadków sprzyjających / liczba wszystkich równie możliwych.
Warunki: zdarzenia elementarne jednakowo prawdopodobne, skończona przestrzeń.
$P(\emptyset)=0$, $P(\Omega)=1$, $P(A')=1-P(A)$.
Zdarzenia wykluczające się: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
Ogólnie: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Rzut dwiema kostkami. $A$ = suma = 7: pary $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ → $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Wyjęcie karty czerwonej lub króla: $P=\frac{26+4-2}{52}=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$.
Liczenie przypadków = kombinatoryka: permutacje, wariacje, kombinacje.
Kombinacje — wybór bez kolejności
$\binom{n}{k}=C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — liczba sposobów wyboru $k$ elementów z $n$, gdy kolejność NIE ma znaczenia.
Czytamy: „$n$ nad $k$" lub „$n$ po $k$".
Własności: $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$; $\binom{n}{1}=n$; $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
Wzór Pascala: $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ (trójkąt Pascala).
Kombinacje z powtórzeniami: $\overline{C}_n^k=\binom{n+k-1}{k}$.
Komisja 3-osobowa z 7 kandydatów: $\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\cdot4!}=35$ sposobów.
Loto 6/49: $\binom{49}{6}=13\,983\,816$ — tyle kombinacji (prawdopodobieństwo: $\approx1\text{ do }14$ mln).
Kombinacje vs permutacje: {A,B,C} i {B,C,A} to TA SAMA kombinacja, ale RÓŻNE permutacje. Klucz: „czy kolejność ma znaczenie?"
Ciąg geometryczny — definicja i własności
- Procent składany (kapitalizacja): $K_n = K_0 \cdot (1+p)^n$
- Wzrost/zanik wykładniczy (populacja, promieniotwórczość)
- Skale muzyczne: każda oktawa podwaja częstotliwość
- Ułamek dziesiętny okresowy jako suma nieskończona
- $q = 1{,}05$, $b_1 = 1000$
- $b_4 = 1000 \cdot 1{,}05^3 = 1000 \cdot 1{,}157625 \approx 1157{,}63$ zł
Czworokąty szczególne — własności
- Trapez: jedna para boków równoległych (podstawy)
- Równoległobok: dwie pary boków równoległych i równych; przeciwne kąty równe
- Prostokąt: równoległobok z kątami prostymi; przekątne równe
- Romb: równoległobok z wszystkimi bokami równymi; przekątne prostopadłe i dwusieczne kątów
- Kwadrat: prostokąt i romb jednocześnie; 4 równe boki, 4 kąty proste
- Trapez: $P = \dfrac{(a+b)\cdot h}{2}$, gdzie $a, b$ — podstawy, $h$ — wysokość
- Równoległobok: $P = a \cdot h$
- Prostokąt: $P = a \cdot b$
- Romb: $P = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$ (przekątne) lub $P = a \cdot h$
- Kwadrat: $P = a^2$
Dwumian Newtona
$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$
$k$-ty wyraz (licząc od $k=0$): $W_k=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
Trójkąt Pascala podaje współczynniki: wiersz $n$ to $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.
Wzory szczególne: $(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$; dla $x=1$: $2^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$.
Suma modułów naprzemiennych: $(1-1)^n=0$ → $\sum(-1)^k\binom{n}{k}=0$.
$(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$; współczynnik przy $x^2$: $\binom{4}{2}\cdot1^2\cdot2^2=6\cdot4=24$.
$99^3=(100-1)^3=10^6-3\cdot10^4+3\cdot10^2-1=970299$.
Wyraz ogólny: $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ — potęgi sumują się do $n$. Szukasz wyrazu z $x^m$: ustaw wykładnik $x$ = $m$ i wyznacz $k$.
Funkcja kwadratowa — postacie i wierzchołek
- Ogólna: $f(x) = ax^2 + bx + c$
- Kanoniczna (wierzchołkowa): $f(x) = a(x-p)^2 + q$, gdzie $W(p,q)$ — wierzchołek
- Iloczynowa (gdy $\Delta > 0$): $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$
- $\Delta > 0$: dwa miejsca zerowe
- $\Delta = 0$: jedno MZ (wierzchołek na osi OX)
- $\Delta \lt 0$: brak MZ (parabola nie przecina OX)
- $\Delta = 64 - 48 = 16$; $\sqrt{\Delta}=4$
- $x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 4}{4}$: $x_1=1$, $x_2=3$
- $p = \dfrac{1+3}{2} = 2$; $q = f(2) = 8-16+6 = -2$
- Postać kanoniczna: $f(x)=2(x-2)^2-2$
Układy równań — metody rozwiązywania (LO)
- Podstawiania: z jednego równania wyraź $x$ (lub $y$) i podstaw do drugiego
- Eliminacji (przeciwnych wsp.): pomnóż równania i dodaj stronami
- Wyznacznikowa (Cramera): $x=\dfrac{W_x}{W}$, $y=\dfrac{W_y}{W}$ — dla układów 2×2 i 3×3
- $W = 3\cdot(-1)-1\cdot2 = -5$
- $W_x = 8\cdot(-1)-1\cdot2 = -10$; $x = \frac{-10}{-5} = 2$
- $W_y = 3\cdot1-1\cdot8 = -5$; $y = \frac{-5}{-5} = 1$
Ułamki — definicja i rodzaje
- Skracanie: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ — podziel licznik i mianownik przez NWD
- Dodawanie: sprowadź do wspólnego mianownika (NWW), potem dodaj liczniki
- Mnożenie: licznik × licznik, mianownik × mianownik
- Dzielenie: mnóż przez odwrotność: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
- NWW(3,4) = 12
- $\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$
Rachunek prawdopodobieństwa — reguły dodawania i mnożenia
Reguła dodawania: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Zdarzenia wykluczające się: $P(A\cap B)=0\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
Reguła mnożenia: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$.
Zdarzenia niezależne: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
Prawdopodobieństwo warunkowe: $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ — prawdopodobieństwo $B$ pod warunkiem $A$.
Zdarzenie przeciwne: $P(\bar A)=1-P(A)$.
Dwie kostki: $P(\text{suma}\geq10)$: pary $(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)=6$ spośród $36$. $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Karta z talii 52: $P(\text{as lub kier})=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$.
OR → dodaj (odejmij część wspólną). AND → pomnóż. Niezależne zdarzenia: informacja o jednym NIE zmienia szansy drugiego.
Schemat Bernoulliego — próby niezależne
$n$ niezależnych prób, każda z prawdopodobieństwem sukcesu $p$ (i porażki $q=1-p$).
Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k q^{n-k}$.
$X\sim B(n,p)$ — rozkład dwumianowy.
Wartość oczekiwana: $E(X)=np$.
Wariancja: $\text{Var}(X)=npq$; odchylenie: $\sigma=\sqrt{npq}$.
Zastosowanie: rzuty monetą, kontrola jakości, ankiety (tak/nie).
5 rzutów monetą, $P(\text{dokładnie 3 orły})=\binom{5}{3}(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{2})^2=10\cdot\frac{1}{32}=\frac{5}{16}\approx31{,}25\%$.
Testy: 10 pytań, każde z $p=0{,}25$ na sukces. $E=10\cdot0{,}25=2{,}5$ poprawnych odpowiedzi.
Wymaga: $n$ prób niezależnych, stałe $p$, tylko 2 wyniki. Loto NIE spełnia warunku stałego $p$ (losowanie bez zwracania).
Procenty — definicja i obliczenia
- Obliczyć $p\%$ z $W$: wynik $= \frac{p}{100} \cdot W$
- Obliczyć, ile $\%$ liczba $x$ stanowi z $W$: wynik $= \frac{x}{W} \cdot 100\%$
- Obliczyć całość $W$, jeśli $x$ stanowi $p\%$: wynik $= \frac{x \cdot 100}{p}$
- Rabaty i ceny: $-15\%$ od ceny
- Podatki: VAT 23%
- Odsetki bankowe: lokata 4% w skali roku
- Wyniki ankiet i statystyki
- Rabat: $\frac{25}{100} \cdot 180 = 0{,}25 \cdot 180 = 45$ zł
- Cena po rabacie: $180 - 45 = 135$ zł
- Alternatywnie: $180 \cdot 0{,}75 = 135$ zł (mnożysz przez $1 - 0{,}25$)
Rozstęp i kwartyle — miary rozproszenia
Rozstęp: $R = x_{max} - x_{min}$ — najprostsza miara rozproszenia.
Kwartyle: $Q_1$ (25%), $Q_2 = Me$ (mediana, 50%), $Q_3$ (75%).
Rozstęp ćwiartkowy: $IQR = Q_3 - Q_1$ — odporna miara rozproszenia.
Wyznaczanie kwartyli: uporządkuj dane, podziel na cztery równe ćwiartki.
Wartości odstające (outliers): $x \lt Q_1 - 1{,}5\cdot IQR$ lub $x > Q_3 + 1{,}5\cdot IQR$.
Dane: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12. $Q_1=4$, $Q_2=7$, $Q_3=10$. $IQR=6$. $R=10$.
$IQR$ jest odporny na wartości odstające; rozstęp — bardzo wrażliwy.
Prawdopodobieństwo zdarzeń zależnych i niezależnych
Zdarzenia niezależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Zdarzenia zależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
$P(B|A)$ — prawdopodobieństwo warunkowe $B$ pod warunkiem $A$.
Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Dodawanie: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Urna: 4 białe, 3 czarne. Losujemy 2 bez zwracania. $P(\text{obie białe}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{2}{7}$.
Ze zwracaniem → niezależne; bez zwracania → zależne (skład urny się zmienia).
Funkcja wykładnicza — definicja i własności
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0, +\infty)$, $f(0)=1$, $f(1)=a$.
Równanie $a^x = b$ ma rozwiązanie: $x = \log_a b$ (dla $b > 0$).
- $a > 1$: rosnąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=0$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$
- $0 < a \lt 1$: malejąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=0$
Prawa działań: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$; $(a^m)^n=a^{mn}$.
- $8 = 2^3$, więc $2^{2x-1} = 2^3$
- $2x-1=3 \Rightarrow x=2$
Potęgi i notacja wykładnicza
Definicja
Potęga $a^n$ to skrócony zapis mnożenia liczby $a$ przez siebie $n$ razy. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ — wykładnikiem.
Działania na potęgach
Przy tej samej podstawie:
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n}$$
Przy tym samym wykładniku:
$$a^n\cdot b^n=(ab)^n,\qquad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$$
Przypadki szczególne
$$a^0=1\ (a\ne0),\qquad a^1=a,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną: $2^{-3}=\frac18$.
Notacja wykładnicza
Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujemy jako $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a\lt 10$:
$7\,500\,000=7{,}5\cdot10^6$, $\quad 0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$
Na co uważać
Wzory na mnożenie i dzielenie działają tylko przy identycznej podstawie — wyrażenia $2^3\cdot3^2$ nie da się zapisać jako jednej potęgi. Nie istnieje też wzór na $a^m+a^n$.
Prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa
Zdarzenia niezależne: $A \perp B \Leftrightarrow P(A|B) = P(A) \Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)$.
Wzór Bayesa: $$P(H_k|A) = \frac{P(A|H_k)\cdot P(H_k)}{\sum_{i=1}^n P(A|H_i)\cdot P(H_i)}$$ Aktualizuje prawdopodobieństwo hipotezy po zaobserwowaniu zdarzenia.
- $P(W) = 0{,}5\cdot0{,}02+0{,}3\cdot0{,}03+0{,}2\cdot0{,}05 = 0{,}01+0{,}009+0{,}01=0{,}029$
- $P(III|W) = \dfrac{0{,}2\cdot0{,}05}{0{,}029} = \dfrac{0{,}01}{0{,}029} \approx 34{,}5\%$
Proporcja i proporcjonalność
- Proporcja prosta: więcej towarów → więcej płacisz
- Proporcja odwrotna: więcej pracowników → krócej trwa praca
- Zapisz znane dane i szukane jako proporcję
- Wyznacz szukaną przez iloczyn krzyżowy
- Sprawdź, czy proporcja jest prosta czy odwrotna!
- $\frac{5}{15} = \frac{8}{x}$ (proporcja prosta)
- $x = \frac{8 \cdot 15}{5} = 24$ zł
Układ współrzędnych kartezjańskich
- I ćwiartka: $x > 0$, $y > 0$ (prawy górny)
- II ćwiartka: $x \lt 0$, $y > 0$ (lewy górny)
- III ćwiartka: $x \lt 0$, $y \lt 0$ (lewy dolny)
- IV ćwiartka: $x > 0$, $y \lt 0$ (prawy dolny)
Wielomiany — definicja, stopień i pierwiastki
Liczba $x_0$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$, jeśli $W(x_0) = 0$. Twierdzenie Bezouta: $(x - x_0) \mid W(x) \Leftrightarrow W(x_0) = 0$.
- Dodawanie/odejmowanie: zbierz wyrazy podobne (te same potęgi $x$)
- Mnożenie: każdy wyraz przez każdy (rozdzielność)
- Dzielenie: algorytm dzielenia wielomianów lub tw. Bezout
- Schemat Hornera: szybkie obliczanie wartości i dzielenie
- $W(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
- Dzielimy przez $(x-1)$: $W(x) = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3)$
- Pierwiastki: $x = 1, 2, 3$
Kombinatoryka — permutacje, wariacje, kombinacje
Permutacje (kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń): $P_n = n!$
Wariacje z powtórzeniami: $W_n^k = n^k$
Wariacje bez powtórzeń: $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Kombinacje (kolejność nie ma znaczenia): $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Ile słów z liter A,B,C,D? $P_4 = 24$. Ile 2-literowych? $V_4^2 = 12$. Ile par? $\binom{4}{2}=6$.
PIN 4-cyfrowy (0-9): $10^4 = 10000$ możliwości.
Pytanie kluczowe: czy kolejność ma znaczenie? (tak → wariacja/permutacja; nie → kombinacja).
Wykresy słupkowe — odczytywanie i tworzenie
- Porównywanie wyników z różnych miesięcy
- Zestawienie popularności produktów
- Wyniki głosowania lub ankiety
Funkcja logarytmiczna — definicja i własności
Funkcja odwrotna do $a^x$: $\log_a(a^x) = x$ i $a^{\log_a x} = x$.
Dziedzina: $(0,+\infty)$; zbiór wartości: $\mathbb{R}$; $f(1)=0$, $f(a)=1$.
- $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
- $\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
- $\log_a x^n = n\log_a x$
- Zmiana podstawy: $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a} = \dfrac{\ln x}{\ln a}$
- Warunek dziedziny: $2x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$
- $2x+1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 4$
- $x=4 > -\frac{1}{2}$ ✓
Liczby pierwsze i rozkład na czynniki
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki: Każda liczba naturalna > 1 daje się przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych w sposób jedyny (z dokładnością do kolejności czynników).
Liczby pierwsze do 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- $360 \div 2 = 180$; $180 \div 2 = 90$; $90 \div 2 = 45$
- $45 \div 3 = 15$; $15 \div 3 = 5$; 5 jest pierwsze
- $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$
Skala — przeliczanie na mapach i planach
- Odległość rzeczywista = odległość na mapie × mianownik skali
- Odległość na mapie = odległość rzeczywista ÷ mianownik skali
- $6 \text{ cm} \times 50\,000 = 300\,000 \text{ cm}$
- $300\,000 \text{ cm} = 3000 \text{ m} = 3 \text{ km}$
Strona 13 z 21 · 489 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.