Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Lokaty bankowe, VAT i podatki
Odsetki od lokaty
Oprocentowanie zawsze podaje się w skali roku, nawet gdy lokata trwa krócej:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}\cdot\frac{\text{liczba miesięcy}}{12}$$
Lokata półroczna na $6\%$ daje faktycznie $3\%$, kwartalna na $8\%$ — $2\%$.
Podatek od zysków kapitałowych
Bank pobiera $19\%$ od odsetek — nigdy od wpłaconego kapitału.
$$\text{odsetki netto}=\text{odsetki brutto}\cdot0{,}81$$
Przykład: $2000$ zł na $5\%$ daje $100$ zł odsetek, podatek to $19$ zł, więc na konto trafia $2081$ zł.
Cena netto i brutto
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{\text{VAT}}{100}\right)$$
Przy stawce $23\%$ mnożnikiem jest $1{,}23$:
$$\text{netto}=\frac{\text{brutto}}{1{,}23}$$
Najczęstszy błąd przy VAT
Aby z ceny brutto $123$ zł otrzymać netto, dzielimy przez $1{,}23$ i dostajemy $100$ zł. Odjęcie $23\%$ od $123$ zł daje błędne $94{,}71$ zł — bo podatek liczony jest od netto, a nie od brutto.
Stawki VAT w Polsce
Podstawowa $23\%$, obniżone $8\%$ (m.in. usługi budowlane) i $5\%$ (książki, część żywności), a niektóre towary są zwolnione.
Porównywanie ofert
Oferty sprowadzamy do wspólnego okresu — zwykle do roku. Bank dający $1{,}2\%$ kwartalnie daje w roku $4{,}8\%$, czyli więcej niż konkurent z $4\%$ rocznie.
Przy porównaniach z podatkiem liczy się kwota po opodatkowaniu. Lokata $5\%$ obciążona podatkiem $19\%$ daje efektywnie $4{,}05\%$ — mniej niż zwolniona z podatku obligacja na $4{,}2\%$.
Zadania odwrotne
Gdy znamy odsetki po opodatkowaniu, cofamy się o dwa kroki. Kwota $81$ zł to $81\%$ odsetek brutto, więc brutto wynosiło $100$ zł, a przy kapitale $2000$ zł daje to oprocentowanie $5\%$.
Podatek od podatku
Przy paliwie VAT nalicza się od kwoty zawierającej już akcyzę. Dla ceny netto $4$ zł i akcyzy $1{,}50$ zł podstawą jest $5{,}50$ zł, a VAT wynosi $1{,}265$ zł — cena końcowa to około $6{,}77$ zł.
Na co uważać
Nie zapomnij przeliczyć stopy rocznej na faktyczny okres. Nie obciążaj podatkiem kapitału. I nie odejmuj procentu VAT od ceny brutto.
Reguła mnożenia i zliczanie możliwości
Reguła mnożenia
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Mając $3$ koszulki i $4$ pary spodni, ubierzemy się na $3\cdot4=12$ sposobów.
Mnożyć czy dodawać
Mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie).
Dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie — na przykład deser: albo jedno z $3$ ciast, albo jeden z $2$ lodów, czyli $3+2=5$ możliwości.
Wystarczy przeczytać treść i znaleźć spójnik.
Z powtórzeniami i bez
Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9\cdot9\cdot9=729$.
Liczby dwucyfrowe z cyfr $1,2,3,4$ bez powtórzeń: $4\cdot3=12$ — na drugiej pozycji zostaje o jedną możliwość mniej.
Zero na pierwszej pozycji
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem. Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest więc:
$$9\cdot9\cdot8=648$$
Pierwsza pozycja: $9$ możliwości (bez zera). Druga: znowu $9$, bo zero wraca do gry, ale jedna cyfra jest zużyta. Trzecia: $8$.
Zaczynaj od najostrzejszego warunku
Szukając liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach, zaczynamy od końca:
$$5\cdot8\cdot8=320$$
Ostatnia cyfra: $5$ możliwości (nieparzyste). Pierwsza: $8$ (bez zera i bez cyfry użytej na końcu). Środkowa: $8$. Gdybyśmy zaczęli od przodu, trzeba by rozbijać zadanie na przypadki.
Ustawienia w rzędzie
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1$$
Cztery książki ustawimy na $4!=24$ sposoby.
Prawdopodobieństwo klasyczne
$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$
Wzór działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Przy dwóch kostkach wszystkich wyników jest $6\cdot6=36$. Suma większa od $9$ zdarza się w $6$ przypadkach, więc $P=\frac{6}{36}=\frac16$.
Kostki są rozróżnialne
Wyniki $(1,6)$ i $(6,1)$ liczymy osobno — inaczej nie wszystkie zdarzenia byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.
Na co uważać
Nie dodawaj, gdy trzeba mnożyć. Pilnuj zakazu zera na pierwszej pozycji. I sprawdzaj, czy w zadaniu elementy mogą się powtarzać.
Długość okręgu i pole koła
Dwa różne wzory
$$L=2\pi r=\pi d \qquad\text{(długość okręgu)}$$
$$P=\pi r^2 \qquad\text{(pole koła)}$$
Nie myl ich. Długość zależy od promienia liniowo, a pole od jego kwadratu. To najczęstsza pomyłka w tym dziale.
Okrąg a koło
Okrąg to sama linia (brzeg), koło to linia wraz z wnętrzem. Długość mierzymy dla okręgu, pole — dla koła.
Liczba pi
$$\pi\approx3{,}14\approx\frac{22}{7}$$
To liczba niewymierna — stosunek długości okręgu do jego średnicy, jednakowy dla każdego okręgu.
Zadania odwrotne
$$r=\frac{L}{2\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}$$
Z pola $49\pi$ odczytujemy $r^2=49$, więc $r=7$ — pierwiastkowanie bywa zbędne, gdy wynik podano z $\pi$.
Jak zmienia się pole
Podwojenie promienia zwiększa długość okręgu dwukrotnie, ale pole czterokrotnie, bo $\pi(2r)^2=4\pi r^2$.
Figury złożone
Półkole ma pole $\frac{\pi r^2}{2}$, ćwiartka $\frac{\pi r^2}{4}$. Pierścień to różnica pól dwóch kół współśrodkowych. Koło wpisane w kwadrat ma promień równy połowie boku.
Na co uważać
Sprawdzaj, czy dana jest średnica, czy promień. W obliczeniach z bieżnią czy kołem rowerowym „jeden obrót” to długość okręgu.
Zapis dziesiątkowy liczb naturalnych (klasa 4 SP)
System dziesiątkowy
Liczby zapisujemy dziesięcioma cyframi: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Wartość cyfry zależy od miejsca (pozycji), na którym stoi.
Wartość miejsca
Kolejne pozycje od prawej to jedności, dziesiątki, setki, tysiące. W liczbie $3572$ mamy $3$ tysiące, $5$ setek, $7$ dziesiątek i $2$ jedności.
Rozwinięcie liczby
$$3572=3\cdot1000+5\cdot100+7\cdot10+2$$
Na co uważać
Zero „trzyma" puste miejsce i zmienia wartość: $50$ to inna liczba niż $5$.
Oś liczbowa (klasa 4 SP)
Co to jest oś liczbowa
Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym punktem $0$, obraną jednostką i zwrotem. Każdej liczbie odpowiada dokładnie jeden punkt osi.
Jednostka
Odcinek między $0$ a $1$ to jednostka. Kolejne liczby $2,3,4,\ldots$ odkładamy co jednostkę, idąc w prawo.
Porównywanie na osi
Im dalej w prawo, tym większa liczba. Punkt liczby $5$ leży na prawo od punktu liczby $3$, dlatego $5>3$.
Zastosowanie
Oś liczbowa pomaga porównywać liczby oraz zaznaczać i odczytywać wyniki.
Porównywanie liczb naturalnych (klasa 4 SP)
Znaki porównania
Używamy znaków: $<$ (mniejsze), $>$ (większe) oraz $=$ (równe). Na przykład $7>4$ oraz $3<9$.
Jak porównywać
Większa jest liczba, która ma więcej cyfr. Przy tej samej liczbie cyfr porównujemy od lewej pierwszą różniącą się cyfrę.
Przykład
$$253<261$$ bo setki są równe ($2=2$), a wśród dziesiątek $5<6$.
Na osi liczbowej
Liczba większa leży dalej w prawo na osi liczbowej.
Zaokrąglanie liczb naturalnych (klasa 4 SP)
Po co zaokrąglamy
Zaokrąglenie zastępuje liczbę bliską wartością „okrągłą", wygodniejszą w szacowaniu i szybkich rachunkach.
Reguła zaokrąglania
Patrzymy na cyfrę na pozycji niższej niż zaokrąglana. Cyfry $0,1,2,3,4$ zaokrąglają w dół, a $5,6,7,8,9$ — w górę.
Przykłady
$$47\approx50\ (\text{do dziesiątek}),\qquad 430\approx400\ (\text{do setek})$$
Uwaga
Zawsze zaokrąglamy do wskazanego rzędu: dziesiątek, setek, tysięcy.
Dodawanie i odejmowanie pisemne (klasa 4 SP)
Jak podpisujemy liczby
Zapisujemy liczby jedną pod drugą: jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Działanie wykonujemy od prawej strony.
Przeniesienie
Gdy suma cyfr w kolumnie jest równa co najmniej $10$, przenosimy jedną dziesiątkę do następnej kolumny w lewo.
Pożyczka
Przy odejmowaniu, gdy cyfra u góry jest za mała, pożyczamy dziesiątkę z sąsiedniej kolumny.
Sprawdzenie
Odejmowanie sprawdzamy dodawaniem: jeśli $a-b=c$, to $c+b=a$.
Pojęcie ułamka zwykłego (klasa 4 SP)
Czym jest ułamek
Ułamek $\frac{a}{b}$ opisuje część całości. Licznik $a$ mówi, ile części bierzemy, a mianownik $b$ — na ile równych części podzielono całość.
Przykład
$\frac{3}{4}$ to trzy z czterech równych części — tort pokrojony na $4$ kawałki, z których bierzemy $3$.
Mianownik
Mianownik nie może być zerem. Im większy mianownik, tym drobniejsze części.
Cała całość
Ułamek $\frac{b}{b}=1$, na przykład $\frac{4}{4}$ to jedna cała.
Zapis ułamka dziesiętnego (klasa 4 SP)
Co to jest ułamek dziesiętny
Ułamek dziesiętny zapisujemy z przecinkiem, np. $0{,}7$ lub $3{,}25$. Cyfry po przecinku oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne.
Związek z ułamkiem zwykłym
$$0{,}7=\frac{7}{10},\qquad 0{,}25=\frac{25}{100}$$
Pozycje po przecinku
Pierwsza cyfra po przecinku to części dziesiąte, druga — setne. W liczbie $3{,}25$ są $2$ dziesiąte i $5$ setnych.
Zastosowanie
Ułamki dziesiętne spotykamy w cenach i pomiarach, np. $2{,}50$ zł.
Porównywanie ułamków zwykłych (klasa 4 SP)
Ten sam mianownik
Gdy mianowniki są równe, większy jest ułamek o większym liczniku: $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$.
Ten sam licznik
Gdy liczniki są równe, większy jest ułamek o mniejszym mianowniku, bo części są większe: $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$.
Różne mianowniki
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem porównujemy liczniki.
Odniesienie do całości
$\frac{b}{b}=1$. Ułamek mniejszy od $1$ ma licznik mniejszy od mianownika.
Punkt, prosta, półprosta i odcinek (klasa 4 SP)
Punkt i prosta
Punkt oznaczamy wielką literą, np. $A$. Prosta jest nieograniczona w obie strony i nie ma końców.
Półprosta
Półprosta ma początek (jeden koniec) i biegnie nieskończenie w jedną stronę.
Odcinek
Odcinek $AB$ ma dwa końce i określoną długość, którą można zmierzyć linijką.
Wzajemne położenie prostych
Dwie proste mogą być równoległe (nie przecinają się) albo przecinać się w jednym punkcie.
Prostokąt i kwadrat (klasa 4 SP)
Prostokąt
Prostokąt ma cztery kąty proste. Przeciwległe boki są równe i równoległe.
Kwadrat
Kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe — ma $4$ równe boki i $4$ kąty proste.
Obwód
Obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$: $2\cdot(a+b)$. Obwód kwadratu o boku $a$: $4\cdot a$.
Pole
Pole prostokąta: $P=a\cdot b$. Pole kwadratu: $P=a\cdot a=a^2$.
Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych (klasa 4 SP)
Zasada
Ułamki dziesiętne dodajemy i odejmujemy pisemnie, podpisując przecinek pod przecinkiem. Wtedy jedności stoją pod jednościami, a części dziesiąte pod dziesiątymi.
Wyrównanie miejsc
Gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku, dopisujemy zera na końcu, np. $3{,}5=3{,}50$.
Przykład
$$3{,}50+1{,}25=4{,}75$$
Na co uważać
Przecinek w wyniku stawiamy dokładnie pod przecinkami składników.
Koło i okrąg (klasa 4 SP)
Okrąg
Okrąg to linia zamknięta — zbiór punktów jednakowo odległych od środka. Ta odległość to promień $r$.
Koło
Koło to okrąg wraz z jego wnętrzem. Brzegiem koła jest okrąg.
Promień i średnica
Promień $r$ łączy środek z okręgiem, a średnica $d$ przechodzi przez środek. Zachodzi $d=2r$.
Cięciwa
Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu; najdłuższą cięciwą jest średnica.
Mierzenie kątów (klasa 4 SP)
Miara kąta
Kąty mierzymy w stopniach. Pełny obrót to $360^\circ$, kąt półpełny $180^\circ$, a kąt prosty $90^\circ$.
Kątomierz
Do mierzenia używamy kątomierza: środek przykładamy do wierzchołka kąta, a podstawę do jednego z ramion.
Rodzaje kątów
Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$, prosty równo $90^\circ$, a rozwarty od $90^\circ$ do $180^\circ$.
Przykład
Kąt $45^\circ$ to połowa kąta prostego.
Porównywanie ułamków dziesiętnych (klasa 4 SP)
Jak porównywać
Porównujemy cyfry na tych samych miejscach, zaczynając od najważniejszego: części całkowite, potem dziesiąte, setne.
Wyrównanie
Możemy dopisać zera, aby ułamki miały tyle samo cyfr po przecinku: $0{,}5$ i $0{,}50$ to ta sama liczba.
Przykład
$$0{,}7>0{,}65$$ bo wśród części dziesiątych $7>6$.
Uwaga
Więcej cyfr po przecinku nie oznacza większej liczby: $0{,}5>0{,}45$.
Potęgowanie liczb naturalnych (klasa 4 SP)
Czym jest potęga
Potęga to skrócony zapis mnożenia jednakowych czynników: $a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$ ($n$ czynników).
Nazwy
W zapisie $a^n$ liczba $a$ to podstawa, a $n$ to wykładnik. $a^2$ czytamy „a do kwadratu", $a^3$ „a do sześcianu".
Przykłady
$$2^3=2\cdot2\cdot2=8,\qquad 5^2=25$$
Przypadki szczególne
Każda liczba do potęgi pierwszej równa się sobie: $a^1=a$.
Zamiana jednostek długości i masy (klasa 4 SP)
Jednostki długości
$1\,\text{cm}=10\,\text{mm}$, $1\,\text{m}=100\,\text{cm}$, $1\,\text{km}=1000\,\text{m}$.
Jednostki masy
$1\,\text{dag}=10\,\text{g}$, $1\,\text{kg}=1000\,\text{g}$, $1\,\text{t}=1000\,\text{kg}$.
Jak zamieniać
Na jednostki mniejsze mnożymy, a na większe dzielimy. Np. $3\,\text{m}=300\,\text{cm}$.
Przykłady
$2\,\text{kg}=2000\,\text{g}$, a $500\,\text{cm}=5\,\text{m}$.
Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach (klasa 5 SP)
Wspólny mianownik
Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, sprowadzamy je najpierw do wspólnego mianownika.
Rozszerzanie
Rozszerzamy ułamki tak, by miały ten sam mianownik, np. $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ oraz $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.
Przykład
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$
Skracanie wyniku
Otrzymany ułamek w razie potrzeby skracamy do postaci nieskracalnej.
Dzielenie ułamków zwykłych (klasa 5 SP)
Reguła
Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.
Odwrotność
Odwrotność ułamka $\frac{a}{b}$ to $\frac{b}{a}$ — zamieniamy licznik z mianownikiem.
Przykład
$$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$$
Na co uważać
Odwracamy tylko dzielnik (drugi ułamek), a nie dzielną.
Kolejność wykonywania działań z potęgami (klasa 5 SP)
Kolejność działań
Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykład
$$2+3\cdot2^2=2+3\cdot4=2+12=14$$
Nawiasy
Nawiasy zmieniają kolejność: $(2+3)^2=5^2=25$.
Na co uważać
Potęgę obliczamy przed mnożeniem: w $3\cdot2^2$ najpierw $2^2=4$.
Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych (klasa 5 SP)
Reguła znaków
Iloczyn i iloraz liczb o tych samych znakach są dodatnie, a o różnych znakach — ujemne.
Przykłady mnożenia
$$(-3)\cdot(-4)=12,\qquad (-3)\cdot4=-12$$
Przykłady dzielenia
$$(-12):(-3)=4,\qquad 12:(-3)=-4$$
Zero
Iloczyn z zerem jest zerem, a przez zero nie dzielimy.
Działania łączne na ułamkach dziesiętnych (klasa 5 SP)
Kolejność działań
Stosujemy tę samą kolejność co dla liczb naturalnych: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykład
$$2{,}5+0{,}5\cdot4=2{,}5+2=4{,}5$$
Nawiasy
Działania w nawiasach wykonujemy najpierw: $(1{,}2+0{,}8)\cdot3=2\cdot3=6$.
Na co uważać
Pilnuj przecinka i kolejności — mnożenie wykonujemy przed dodawaniem.
Strona 12 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.