Krok 1. Ustalenie wartości liczby odwrotnej.
Aby poznać liczbę odwrotną do liczby \(-4\frac{3}{5}\) musimy najpierw zamienić ją na ułamek niewłaściwy:
$$-4\frac{3}{5}=-\frac{23}{5}$$

Dopiero teraz możemy stwierdzić, że liczbą odwrotną jest \(-\frac{5}{23}\).

Krok 2. Ustalenie wartości liczby przeciwnej.
Aby poznać liczbę przeciwną do liczby \(\frac{18}{23}\) musimy po prostu postawić przed nią minusa, zatem liczbą przeciwną będzie \(-\frac{18}{23}\).

Krok 3. Obliczenie sumy liczb.
Suma liczby odwrotnej oraz liczby przeciwnej będzie zatem równa:
$$-\frac{5}{23}+\left(-\frac{18}{23}\right)=-1$$

Korzystając z działań na logarytmach i potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{1}{2}log_{3}15-log_{3}\sqrt{5}=log_{3}15^{\frac{1}{2}}-log_{3}\sqrt{5}= \           ,\
=log_{3}\sqrt{15}-log_{3}\sqrt{5}=log_{3}\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}= \           ,\
=log_{3}\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=log_{3}\sqrt{3}=\frac{1}{2}$$

Możemy rozwiązać każdą nierówność oddzielnie, ale możemy też rozwiązać to nieco bardziej matematycznie. Po lewej stronie nierówności będziemy mieć zawsze \(|x-a|\), gdzie \(a\) jest punktem leżącym idealnie po środku między krańcami przedziałów (w naszym przypadku między \(-11\) oraz \(7\)). To oznacza, że \(a=\frac{-11+7}{2}=-2\).

Po lewej stronie nierówności będziemy mieć zatem \(|x-(-2)|\), czyli \(|x+2|\).

Musimy jeszcze ustalić znak nierówności i liczbę po prawej stronie. Między punktem środkowym \(a=-2\) oraz punktami krańcowymi \(-11\) oraz \(7\) mamy dokładnie po \(9\) jednostek w lewo i w prawo. Nas interesują wszystkie te wartości, które są oddalone od punktu środkowego jeszcze więcej niż \(9\) jednostek (aż do nieskończoności), stąd też ostatecznym rozwiązaniem będzie \(|x+2|\gt9\).

Naszym zadaniem jest podstawienie do wskazanego wyrażenia podanych wartości \(k\) oraz \(m\) oraz wykonanie odpowiednich działań na potęgach i pierwiastkach:
$$k^2-12m=(2-3\sqrt{2})^2-12\cdot(1-\sqrt{2})= \           ,\
=4-12\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2-12+12\sqrt{2}= \           ,\
=4-12\sqrt{2}+18-12+12\sqrt{2}=4+18-12=10$$

Z treści zadania wiemy, że \(a=\frac{40}{100}b\), czyli \(a=\frac{2}{5}b\). Chcąc więc obliczyć wartość \(b\) musimy wymnożyć obie strony tego równania przez \(\frac{5}{2}\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$a=\frac{2}{5}b \quad\bigg/\cdot\frac{5}{2} \           ,\
b=\frac{5}{2}a \           ,\
b=2,5a$$

Z racji tego iż nie możemy dzielić przez \(0\), to wartość mianownika musi być różna od zera. To oznacza, że musimy sprawdzić kiedy \(x^3+4x=0\) i wykluczyć te rozwiązania z dziedziny funkcji.
$$x^3+4=0 \           ,\
x(x^2+4)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-4$$

Z racji tego, iż nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu da wynik ujemny, to jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=0\). W związku z tym dziedziną funkcji będzie zbiór liczb rzeczywistych oprócz zera, czyli \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\).

Krok 1. Zapisanie prostych w postaci kierunkowej.
Aby móc w ogóle przystąpić do obliczeń musimy pierwszą prostą doprowadzić do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Przenosimy więc igreki na jedną stronę, całą resztę na drugą, otrzymując:
$$-3y-mx+12=0 \           ,\
-mx+12=3y \quad\bigg/:3 \           ,\
y=-\frac{1}{3}mx+4$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości parametru \(m\).
Aby proste były prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{3}m\), druga prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=6\), zatem:
$$-\frac{1}{3}m\cdot6=-1 \           ,\
-2m=-1 \           ,\
m=\frac{1}{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie zwizualizować to zadanie. Narysujmy parabolę (jej ramiona będą skierowane do dołu, bo po wymnożeniu wszystkich wyrazów współczynnik kierunkowy \(a\) wyjdzie ujemny) i zobaczmy jak będzie wyglądać zbiór wartości funkcji. Z postaci iloczynowej możemy też szybko wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji, bo wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-4=0 \           ,\
x=-3 \quad\lor\quad x=4$$



Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Z rysunku wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności do współrzędnej igrekowej wierzchołka tej paraboli (zapisywanej w matematyce symbolem \(q\)).

Krok 2. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Współrzędną \(q\) możemy obliczyć ze wzoru: \(q=\frac{-Δ}{4a}\). Musimy zatem obliczyć deltę, a żeby obliczyć deltę to najpierw całe równanie musimy zapisać w postaci ogólnej, zatem wymnażając wszystkie wyrazy otrzymamy:
$$f(x)=-2(x+3)(x-4) \           ,\
f(x)=-2(x^2-4x+3x-12) \           ,\
f(x)=-2(x^2-x-12) \           ,\
f(x)=-2x^2+2x+24$$

Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(q\).
Najpierw obliczmy potrzebną deltę:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=2,\;c=24\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-2)\cdot24=4-(-192)=196$$

W związku z tym współrzędna \(q\) będzie równa:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\
q=\frac{-196}{4\cdot(-2)} \           ,\
q=\frac{-196}{-8} \           ,\
q=24\frac{1}{2}$$

Krok 4. Ustalenie zbioru wartości funkcji.
Zgodnie z naszym szkicowym rysunkiem i obliczeniami możemy zapisać, że zbiorem wartości naszej funkcji jest przedział:
$$y\in(-\infty,q\rangle \           ,\
y\in(-\infty,24\frac{1}{2}\rangle$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
To co możemy określić praktycznie od ręki to jest wartość (a w zasadzie znak) współczynnika kierunkowego \(a\). Parabola ma ramiona skierowane do dołu, a to oznacza że \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Spójrzmy na wierzchołek naszej paraboli. Współrzędna iksowa wierzchołka (oznaczana zazwyczaj jako \(p\)) jest na pewno dodatnia. Z własności wierzchołka paraboli wiemy, że \(p=\frac{-b}{2a}\). Ustaliliśmy już, że \(p\) musi być dodatnie i wiemy też, że mianownik \(2a\) jest ujemny, bo \(a\lt0\). To oznacza, że licznik \(-b\) musi być także ujemny, a skoro tak to \(b\) musi być większe od zera (bo przed \(b\) stoi już minus).

Jeżeli dwukrotnym pierwiastkiem (czyli po prostu rozwiązaniem) tego wielomianu jest liczba \(-1\), to na pewno częścią składową tego wielomianu zapisanego w postaci iloczynowej będzie wyrażenie \((x+1)^2\). Zostają nam więc już tak naprawdę tylko dwie odpowiedzi do wyboru - B oraz C.

Wiemy też, że wielomian jest stopnia czwartego (czyli najwyższa potęga przy iksie musi być równa \(4\)). To wyklucza nam odpowiedź B, bo tutaj po wymnożeniu wszystkich wyrazów będziemy mieć maksymalnie \(x^3\). Prawidłową odpowiedzią jest więc odpowiedź C.

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość \(x^2+2x\) musi być różna od zera. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+2x=0\) i wykluczyć te argumenty z naszego rozwiązania równania.
$$x^2+2x=0 \           ,\
x(x+2)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x+2=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
$$\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+2x}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2+2x) \           ,\
(x+3)(x^2-4)=0$$

Mamy wygodną postać iloczynową, zatem możemy przyrównać wartość każdego nawiasu do zera:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \           ,\
x=-3 \quad\lor\quad x^2=4 \           ,\
x=-3 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 3. Zapisanie rozwiązań równania.
Musimy teraz zweryfikować nasze rozwiązania i sprawdzić czy jakieś rozwiązanie nie wyklucza się z naszymi założeniami z kroku pierwszego. Okazuje się, że jedno rozwiązanie (\(x=-2\)) musimy wykluczyć ze względu właśnie na założenia, dlatego równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=2\).

Wiemy, że dla argumentu \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość \(y=5\). Podstawiając te informacje do naszego równania otrzymamy:
$$\left(-\frac{1}{3}m+2\right)\cdot0+\frac{3}{2}m-1=5 \           ,\
0+\frac{3}{2}m-1=5 \           ,\
\frac{3}{2}m=6 \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3} \           ,\
m=4$$

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając \(n=1\) otrzymamy:
$$b_{1}=(-1)^{2\cdot1+3}\cdot(1+1) \           ,\
b_{1}=(-1)^{5}\cdot2 \           ,\
b_{1}=-1\cdot2 \           ,\
b_{1}=-2$$

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
$$b_{2}=(-1)^{2\cdot2+3}\cdot(2+1) \           ,\
b_{2}=(-1)^{7}\cdot3 \           ,\
b_{2}=(-1)\cdot3 \           ,\
b_{2}=-3$$

Krok 3. Obliczenie sumy dwóch pierwszych wyrazów:
$$b_{1}+b_{2}=-2+(-3)=-5$$

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnica między siódmym i piątym wyrazem jest równa \(2r\). To oznacza, że możemy ułożyć następujące równanie:
$$a_{7}-a_{5}=2 \           ,\
14-8=2r \           ,\
2r=6 \           ,\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości dziesiątego wyrazu.
Nie musimy obliczać wartości pierwszego wyrazu by obliczyć wartość dziesiątego wyrazu. Możemy zapisać, że:
$$a_{10}=a_{7}+3r \           ,\
a_{10}=14+3\cdot3 \           ,\
a_{10}=14+9 \           ,\
a_{10}=23$$

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K=k\)
\(p=0,04:2=0,02\)
\(n=6\cdot2=12\)

Dlaczego \(p=0,02\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(4\%\), czyli \(0,04\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,04\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(2\) razy w roku (co pół roku), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,04:2=0,02\).

Dlaczego \(n=12\)?
Lokata jest na \(6\) lat, a odsetki naliczane są co pół roku czyli \(2\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(6\cdot2=12\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{12}=k\cdot(1+0,02)^{12}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy sobie poszczególne długości na naszym rysunku:



Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(ABE\) możemy zapisać, że:
$$|BE|^2+|AE|^2=|AB|^2 \           ,\
3^2+|AE|^2=8^2 \           ,\
9+|AE|^2=64 \&nb