Korzystając z działań na potęgach możemy tę liczbę rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{4^{\frac{1}{2}}\cdot4^{-1}}{4^0-0,5}=\frac{4^{\frac{1}{2}-1}}{1-0,5}= \           ,\
=\frac{4^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=\frac{(2^2)^{-\frac{1}{2}}}{2^{-1}}=\frac{2^{-1}}{2^{-1}}=1$$

Mamy jednakowe podstawy logarytmów, zatem możemy tę różnicę rozpisać jako:
$$log_{3}36-log_{3}4=log_{3}\frac{36}{4}=log_{3}9=2$$

Aby wybrać odpowiedni rysunek, to najpierw musimy rozwiązać tę nierówność, tak jak rozwiązuje się nierówności z wartością bezwzględną, czyli:
$$|x-1|\lt5 \           ,\
x-1\lt5 \quad\lor\quad x-1\gt-5 \           ,\
x\lt6 \quad\lor\quad x\gt-4 \           ,\
x\in(-4;6)$$

Zbiór rozwiązań tej nierówności został więc przedstawiony na drugim rysunku.

Po podwyżce o \(20\%\) stół kosztuje \(1,2\cdot320zł=384zł\).

Zgodnie z poleceniem musimy odjąć od siebie te wielomiany i uprościć cały zapis:
$$W(x)-M(x)=3x^3-2x^2+4-(x^3-2x^2+5)= \           ,\
=3x^3-2x^2+4-x^3+2x^2-5=2x^3-1$$

Miejsce zerowe równe \(2\) oznacza, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2;0)\). Aby sprawdzić jaki parametr \(m\) ma nasza prosta wystarczy podstawić do jej równania współrzędne tego miejsca zerowego, czyli podstawić \(x=2\) oraz \(y=0\).
$$f(x)=(m-1)x+5 \           ,\
0=(m-1)\cdot2+5 \           ,\
0=2m-2+5 \           ,\
0=2m+3 \           ,\
2m=-3 \           ,\
m=-1,5$$

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Tutaj pewną pułapką w zadaniu jest fakt, że nie podpisano nam na osi igreków wartości \(-4\), natomiast po kratkach możemy odczytać, że ta funkcja przyjmuje właśnie wartości od \(-4\) do \(2\). Ustalmy jeszcze jakie nawiasy powinny znaleźć się w zapisie. Dla wartości \(-4\) kropka jest zamalowana, więc nawias będzie domknięty. Dla wartości \(2\) nawias będzie także domknięty, bo funkcja jak najbardziej przyjmuje tę wartość (dla argumentu \(x=0)\). Stąd też możemy zapisać, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \(\langle-4,2\rangle\).

To równanie najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż:
$$\frac{x-6}{2x-4}=\frac{2}{3} \           ,\
3\cdot(x-6)=2\cdot(2x-4) \           ,\
3x-18=4x-8 \           ,\
-x=10 \           ,\
x=-10$$

Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Pierwiastki równania kwadratowego to nic innego jak rozwiązania równania. Aby rozpocząć obliczenia (czyli żeby zacząć liczyć deltę) musimy zapisać to równanie w postaci ogólnej, czyli takiej w której po prawej stronie znajdzie się \(0\). W związku z tym musimy do wyjściowego równania dodać obustronnie jedynkę, otrzymując w ten sposób:
$$x^2+6x+10=0$$

Krok 2. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=6,\;c=10\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot10=36-40=-4$$

Krok 3. Interpretacja ujemnej delty.
Wyszła nam ujemna delta, a to w przypadku równań kwadratowych oznacza, że takie równanie nie ma rozwiązań (czyli nie ma pierwiastków).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, czyli w bardzo łatwy sposób wyznaczymy jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera:
$$x-1=0 \quad\lor\quad x+2=0 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo gdybyśmy zaczęli wymnażać te nawiasy, to przed \(x^2\) nie stałby żaden minus. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i szkicujemy wykres paraboli.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości większych od zera, zatem rozwiązaniem naszej nierówności jest suma przedziałów: \(x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty)\).

Aby rozwiązać to zadanie wystarczy narysować parabolę i sprawdzić która prosta przecina ją w dwóch miejscach. Musimy ustalić tylko jak będzie wyglądać ta parabola. Wykres funkcji \(x^2\) umiemy rysować (jest to parabola o wierzchołku w miejscu początku układu współrzędnych). Skoro stoi przed nią minus, to na pewno będzie zwrócona ramionami do dołu. I skoro jeszcze mamy we wzorze \(+1\), to całość będzie przesunięta o jedną kratkę do góry. Całość zatem wyglądać będzie następująco:



Z rysunku dość jasno wynika, że jedynie prosta \(y=-1\) przecina naszą parabolę w dwóch miejscach.

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość drugiego wyrazu oraz wartość ilorazu ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \           ,\
-4=a_{1}\cdot\frac{1}{2} \           ,\
a_{1}=-8$$

Krok 2. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Znając wartość pierwszego wyrazu oraz wartość ilorazu ciągu możemy obliczyć wartość piątego wyrazu.
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1} \           ,\
a_{5}=a_{1}\cdot q^4 \           ,\
a_{5}=-8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4 \           ,\
a_{5}=-8\cdot\frac{1}{16} \           ,\
a_{5}=-\frac{1}{2}$$

Znając wartości dwóch wyrazów możemy obliczyć różnicę ciągu, dzięki której obliczymy wartość poszukiwanego trzeciego wyrazu. Możemy jednak postąpić nieco sprytniej i skorzystać z własności ciągów arytmetycznych, która związana jest z trzema kolejnymi wyrazami ciągu. Zazwyczaj z tej własności korzystamy przy pierwszych trzech wyrazach, natomiast mogą to być trzy dowolne (następujące po sobie) wyrazy. Między takimi wyrazami zachodzi następująca zależność:
$$a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2} \           ,\
a_{3}=\frac{-1+3}{2} \           ,\
a_{3}=\frac{2}{2} \           ,\
a_{3}=1$$

Trójkąt ma sumę kątów równą \(180°\).
Czworokąt ma sumę kątów \(360°\).
Pięciokąt ma sumę katów \(540°\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin^2α\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Znamy wartość cosinusa, zatem:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
sin^2α+\left(\frac{1}{3}\right)^2=1 \           ,\
sin^2α+\frac{1}{9}=1 \quad\bigg/-\frac{1}{9} \           ,\
sin^2α=\frac{8}{9}$$

Samego sinusa wyliczać już nie musimy, bo w naszym wyrażeniu mamy i tak \(sin^2α\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
$$sin^2α+cosα=\frac{8}{9}+\frac{1}{3}=\frac{8}{9}+\frac{3}{9}=\frac{11}{9}=1\frac{2}{9}$$

Otrzymana wartość jest więc większa od \(1\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dorysowując wysokość z drugiego wierzchołka otrzymamy następującą sytuację:



Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
Skorzystamy z trójkąta prostokątnego, który nam powstał na powyższym rysunku, a poszukiwaną wysokość obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+h^2=5^2 \           ,\
9+h^2=25 \           ,\
h^2=16 \           ,\
h=4 \quad\lor\quad h=-4$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(h=4\).