Do zadania można podejść na różne sposoby (można nawet zamienić pierwiastki na potęgi i wykonać działania na potęgach). Nie mniej jednak można to obliczyć znacznie szybciej - wystarczy zauważyć, że \(\sqrt[3]{64}\) to po prostu \(4\), natomiast \(\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}\). Skoro tak, to:
$$\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}=8\sqrt{2}:4=2\sqrt{2}$$

Warto pamiętać, że każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi zerowej, daje wynik równy \(1\). Do samego rozwiązania można podejść na różne sposoby. Mając w liczniku i mianowniku tylko mnożenie, możemy wręcz poskracać ze sobą pewne liczby. W tym celu trzeba byłoby rozpisać, że \(2^{-3}=2^{-1}\cdot2^{-2}\) oraz że \(3^{-4}=3^{-3}\cdot3^{-1}\). Całość wyglądałaby następująco:
$$\require{cancel}\frac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}= \           ,\
=\frac{\cancel{2^{-1}}\cdot2^{-2}\cdot\cancel{3^{-3}}\cdot1}{\cancel{2^{-1}}\cancel{\cdot3^{-3}}\cdot3^{-1}\cdot4^{-1}}= \           ,\
=\frac{2^{-2}}{3^{-1}\cdot4^{-1}}=\frac{2^{-2}}{12^{-1}}= \           ,\
=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{12}}=\frac{1}{4}:\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\cdot12=3$$

Przy tak małych liczbach, nic też nie stoi na przeszkodzie by wręcz obliczyć wartości poszczególnych potęg:
$$\frac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}= \           ,\
=\frac{\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{27}\cdot1}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{4}}= \           ,\
=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{1}{648}}=\frac{1}{216}:\frac{1}{648}=\frac{1}{216}\cdot648=3$$

Dla przypomnienia - jeżeli logarytm nie ma zapisanej podstawy (a tak jest w naszym przypadku), to domyślnie podstawa logarytmu wynosi \(10\). Czyli przykładowo \(log3=log_{10}2\).

I sposób - zaczynając od obliczenia sumy logarytmów.
Do zadania możemy podejść na różne sposoby. Przykładowo, korzystając z działań na potęgach możemy obliczyć sumę logarytmów podanych w treści zadania:
$$log3+log2=log(3\cdot2)=log6$$

Liczba dwukrotnie większa od \(log6\) to \(2\cdot log6\). Przenosząc teraz dwójkę stojącą przed logarytmem do wykładnika potęgi liczby logarytmowanej, wyjdzie nam, że:
$$2log6=log6^2=log36$$

II sposób - zaczynając od wymnożenia logarytmów przez \(2\).
Możemy też zapisać, że liczba dwukrotnie większa od \(log3+log2\) to:
$$2\cdot(log3+log2)=2log3+2log2$$

Teraz, korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$log3^2+log2^2=log9+log4$$

Aby dodać do siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie, wystarczy wymnożyć liczby logarytmowane, stąd też:
$$log9+log4=log(9\cdot4)=log36$$

\(30\%\) liczby \(x\) to \(0,3x\). Z treści zadania wynika więc, że \(0,3x\) jest o \(2730\) mniejsze od \(x\), czyli:
$$0,3x=x-2730 \           ,\
-0,7x=-2730 \           ,\
x=3900$$

Celem zadania jest poprawne uproszczenie podanego wyrażenia. Zwróć uwagę, że mnożąc nawiasy możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$5-(4+2a)(4-2a)=5-(4^2-(2a)^2)= \           ,\
=5-(16-4a^2)=5-16+4a^2= \           ,\
=4a^2-11$$

Podana w treści zadania nierówność jest nierównością czwartego stopnia i to taką, której raczej nie umiemy samodzielnie rozwiązać. Zadanie polega tak naprawdę na podstawieniu po kolei każdej odpowiedzi do wyrażenia \(x^4-3x^3+3\) i sprawdzeniu, kiedy otrzymamy wynik większy od zera. Sprawdźmy zatem po kolei każdą z możliwości:

Dla \(x=1\):
\(x^4-3x^3+3=1^4-3\cdot1^3+3=1-3+3=1\)

Dla \(x=-1\):
\(x^4-3x^3+3=(-1)^4-3\cdot(-1)^3+3=1-(-3)+3=1+3+3=7\)

Dla \(x=2\):
\(x^4-3x^3+3=2^4-3\cdot2^3+3=16-24+3=-5\)

Dla \(x=-2\):
\(x^4-3x^3+3=(-2)^4-3\cdot(-2)^3+3=16-(-8)+3=16+24+3=43\)

Wynik mniejszy od zera otrzymaliśmy jedynie dla \(x=2\), stąd też to właśnie będzie jedna z liczb, która spełnia naszą nierówność.

Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej na pewno przechodzi przez wierzchołek i jest równoległa do osi \(OY\). Trzeba byłoby więc poznać pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli (zwyczajowo zapisywaną jako \(p\)). W tym celu możemy skorzystać ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Podstawiając współczynniki \(a=2\) oraz \(b=5\), otrzymamy:
$$p=\frac{-5}{2\cdot2} \           ,\
p=-\frac{5}{4}$$

Tak na marginesie - współrzędną \(p\) można było też próbować odczytać z rysunku. Widzimy, że współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli przyjmuje wartość około \(p\approx-1\), a patrząc się na proponowane odpowiedzi jesteśmy w stanie wywnioskować, że \(p=-\frac{5}{4}\).

To z kolei prowadzi nas do wniosku, że poszukiwaną osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-\frac{5}{4}\).

Z działu przesunięć i przekształceń wiemy, że gdy \(g(x)=f(-x)\) to funkcje są symetryczne względem osi \(Oy\) i właśnie z taką sytuacją mamy tutaj do czynienia. Co prawda nie widać tego minusa przy \(x^2\) (bo \((-x)^2\) to ciągle \(x^2\)), no ale ten minus jest już widoczny przy wyrazie \(-5x\) i to właśnie on naprowadza nas na trop prawidłowej odpowiedzi.

Nie mniej jednak samo zadanie jest dość nietypowe, więc pewnie najbezpieczniej byłoby naszkicować wykres funkcji \(g(x)\) i sprawdzić z jakim przesunięciem lub przekształceniem mamy tutaj do czynienia. Idąc tym tokiem rozwiązywania zadania, całość wyglądałaby następująco:


Widzimy wyraźnie, że wykres funkcji \(g(x)\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem osi \(Oy\).

Aby wyrażenie \((x^2-27)(x^2+16)\) było równe \(0\), to albo pierwszy nawias musi być równy \(0\), albo drugi. Postępujemy więc tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x^2-27=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \           ,\
x^2=27 \quad\lor\quad x^2=-16$$

Z równania \(x^2=27\) otrzymamy dwa rozwiązania:
$$x=\sqrt{27} \quad\lor\quad x=-\sqrt{27}$$

Z równania \(x^2=-16\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny.

Z tego też względu całe równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste.

Celem zadania jest obliczenie wartości \(f(2)\) oraz \(f(-2)\), a następnie obliczenie różnicy między otrzymanymi wartościami. W związku z tym:
$$f(2)=\frac{4}{2}-4 \           ,\
f(2)=2-4 \           ,\
f(2)=-2$$

$$f(-2)=\frac{4}{-2}-4 \           ,\
f(-2)=-2-4 \           ,\
f(-2)=-6$$

To oznacza, że różnica \(f(2)-f(-2)\) będzie równa:
$$f(2)-f(-2)=-2-(-6)=-2+6=4$$

Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), wystarczy skorzystać z informacji o tym, że punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu funkcji. Podstawiając współrzędne tego punktu do podanego wzoru, otrzymamy:
$$-2=5\cdot3+b-4 \           ,\
-2=15+b-4 \           ,\
-2=11+b \           ,\
b=-13$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja kwadratowa zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Z takiej postaci możemy wprost odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\), czyli: \(p=1\) oraz \(q=3\).

Krok 2. Wyznaczenie przedziału w którym funkcja jest rosnąca.
Współczynnik \(a\) tej funkcji jest ujemny, więc ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Sytuacja z treści zadania wygląda więc następująco:


Funkcja kwadratowa zawsze jest rosnąca od wierzchołka lub do wierzchołka (w zależności od ułożenia ramion paraboli). Z rysunku jasno wynika, że w takim razie funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\infty,1\rangle\).

Zapis \(f(x)=-1\) oznacza, że szukamy argumentów \(x\) dla których funkcja przyjmuje wartość \(-1\). Zerkamy więc na wykres funkcji (biorąc pod uwagę wskazany przedział) i szukamy miejsc, w których funkcja przyjmuje wartość \(-1\). Widzimy, że takie miejsca są dwa: pierwsze jest dla \(x\approx-3,5\), a drugie dla \(x=4,5\). Równanie \(f(x)=-1\) ma więc dwa rozwiązania.

Aby wyznaczyć wartość piątego wyrazu ciągu, wystarczy do wzoru ciągu podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=\frac{5-2}{2\cdot5^2} \           ,\
a_{5}=\frac{3}{2\cdot25} \           ,\
a_{5}=\frac{3}{50}$$

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że:
$$a_{8}=a_{4}+4r$$

Wartość \(a_{8}=48\) podana jest w treści zadania, podobnie jak różnica \(r=2\), zatem:
$$48=a_{4}+4\cdot2 \           ,\
48=a_{4}+8 \           ,\
a_{4}=40$$

Ze wzorów redukcyjnych zapisanych w tablicach wiemy, że \(cos(90°-\alpha)=sin\alpha\). To prowadzi nas do wniosku, że wyrażenie z treści zadania, czyli \(cos^2(90°-\alpha)\) to po prostu \(sin^2\alpha\).

Skoro wartość \(sin\alpha=\frac{2}{3}\), to \(sin^2\alpha=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\).