$$9^{-10}\cdot3^{19}=(3^2)^{-10}\cdot3^{19}=3^{-20}\cdot3^{19}=3^{-20+19}=3^{-1}$$

Aby rozwiązać to zadanie, musimy skorzystać z jednej z własności logarytmów i zapisać składnik \(2log_{6}2\) jako \(log_{6}2^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$log_{6}9+2log_{6}2=log_{6}9+log_{6}2^2=log_{6}9+log_{6}4$$

Otrzymaliśmy teraz sumę logarytmów o jednakowej podstawie, zatem korzystając ze wzoru na sumę logarytmów możemy zapisać, że:
$$log_{6}9+log_{6}4=log_{6}(9\cdot4)=log_{6}36=2$$

Skoro \(x\) stanowi \(80\%\) liczby \(y\), to:
$$x=0,8y$$

Teraz dzieląc obydwie strony przez \(0,8\) (lub mnożąc przez odwrotność, czyli \(\frac{10}{8}\), otrzymamy że:
$$y=1,25x$$

To oznacza, że liczba \(y\) stanowi \(125\%\) liczby \(x\).

Zadanie polega jedynie na skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Trzeba tutaj pamiętać, że przykładowo \((3x)^2\) to \(9x^2\) i to jest chyba największa trudność tego zadania. Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$(3x+8y)^2=9x^2+48xy+64y^2$$

Do zadania możemy podejść na różne sposoby, możemy wręcz wszędzie podstawić \(x=-2\) i sprawdzić, kiedy lewa i prawa strona równania będą sobie równe. Spróbujmy jednak przeanalizować szybko każde z równań, bo są one dość proste:
Odp. A. Tutaj przenosząc \(4\) na drugą stronę otrzymalibyśmy równanie \(x^2=-4\), a więc widzimy, że to równanie nie ma w ogóle rozwiązań (bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik).
Odp. B. Mnożąc obydwie strony równania przez 2 otrzymamy \(x+2=2\), czyli \(x=0\).
Odp. C. Tutaj liczba \(-2\) na pewno nie jest rozwiązaniem, co wynika wprost z samych założeń - wartość w mianowniku musi być różna od zera, stąd też \(x+2\neq0\), czyli \(x\neq-2\).
Odp. D. Tutaj faktycznie otrzymamy interesujące nas rozwiązanie, a oto dowód:
$$x^2(x+2)+2(x+2)=0 \           ,\
(x^2+2)(x+2)=0 \           ,\
x^2+2=0 \quad\lor\quad x+2=0 \           ,\
x^2=-2 \quad\lor\quad x=-2$$

Z równania \(x^2=-2\) nie będziemy mieć rozwiązań, ale z \(x+2=0\) wyszło nam, że \(x=-2\) i właśnie dlatego odpowiedź D będzie tutaj poprawna.

Naszym celem jest po prostu rozwiązanie tej nierówności, choć czyha na nas tutaj sporo arytmetycznych trudności. Całość najlepiej zacząć od pomnożenia obydwu stron przez \(4\), pamiętając przy tym, że po lewej stronie mamy odejmowanie, czyli piątkę stojącą na początku także trzeba będzie przez tą czwórkę pomnożyć. Całość będzie wyglądać następująco:
$$5-\frac{2-6x}{4}\ge2x+1 \quad\bigg/\cdot4 \           ,\
20-(2-6x)\ge8x+4 \           ,\
20-2+6x\ge8x+4 \           ,\
18+6x\ge8x+4 \           ,\
-2x\ge-14 \quad\bigg/:(-2) \           ,\
x\le7$$

Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną \(-2\), trzeba było zmienić znak nierówności na przeciwny.

Wyszło nam, że rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby mniejsze lub równe \(7\), czyli interesującym nas przedziałem będzie \((-\infty,7\rangle\).

Przesunięcie funkcji o \(2\) jednostki w lewo sprawia, że aby poznać wzór nowo powstałej funkcji, musimy do wzoru funkcji \(f(x)\) podstawić \(x+2\) w miejsce \(x\). W związku z tym:
$$g(x)=-2\cdot(x+2)+4 \           ,\
g(x)=-2x-4+4 \           ,\
g(x)=-2x$$

Jeżeli miejscem zerowym naszej funkcji jest liczba \(-1\), to oznacza, że dla \(x=-1\) ta funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Skoro tak, to:
$$a\cdot(-1)+4=0 \           ,\
-a+4=0 \           ,\
a=4$$

Do zadania możemy podejść na dwa sposoby:

I sposób - analizując odpowiedzi.
Widzimy, że wykres naszej funkcji jest rosnący, czyli tym samym współczynnik \(a\) musi być dodatni - taki znajduje się jedynie w odpowiedziach A oraz D. Dodatkowo wykres funkcji przecina oś \(OY\) dla ujemnych wartości igreka, a to oznacza, że współczynnik \(b\) będzie ujemny. To sprawia, że odpowiedź D musimy wykluczyć i tym samym zostaje nam odpowiedź A, czyli \(y=x-5\).

II sposób - wyznaczając wzór samodzielnie.
Wzór funkcji liniowej zapisujemy jako \(y=ax+b\). Chcąc samodzielnie wyznaczyć wzór tej funkcji (czyli poznać wartości współczynników \(a\) oraz \(b\)), musimy skorzystać z dość rzadko stosowanego wzoru, który mówi nam o tym, że współczynnik \(a=tg\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem jaki tworzą wykres funkcji z osią \(OX\). W naszym przypadku \(\alpha=45°\), zatem:
$$a=tg45°$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(tg45°\) jest równy \(1\), zatem współczynnik \(a=1\). To oznacza, że naszą funkcję możemy zapisać jako \(y=1x+b\), czyli po prostu \(y=x+b\). Jak teraz poznać brakujący współczynnik \(b\)? Wiemy, że wykres przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2,-3)\), zatem podstawiając \(x=2\) oraz \(y=-3\) do naszej wyznaczonej postaci \(y=x+b\), otrzymamy:
$$-3=2+b \           ,\
b=-5$$

To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(y=x+(-5)\), czyli \(y=x-5\).

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Na początek spróbujmy poznać miejsca zerowe naszej funkcji. W tym celu wystarczy sprawdzić, kiedy wzór funkcji będzie równy \(0\), czyli powstanie nam do rozwiązania następujące równanie:
$$-2(x+3)(x-5)=0$$

Jest to równanie kwadratowe zapisane w postaci iloczynowej. Wiemy, że aby rozwiązać takie równanie, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-5=0 \           ,\
x=-3 \quad\lor\quad x=5$$

W ten sposób błyskawicznie obliczyliśmy, że miejscami zerowymi tej funkcji są \(x=-3\) oraz \(x=5\).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.
Z własności parabol wynika, że współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli (zapisywana często jako \(p\)) jest po prostu średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji. Skoro tak, to:
$$p=\frac{-3+5}{2} \           ,\
p=\frac{2}{2} \           ,\
p=1$$

To oznacza, że współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli jest równa \(1\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kojarząc jak wygląda wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2\), powinniśmy samodzielnie przekształcić jej wykres do postaci \(f(x)=-x^2+4\) (minus przed \(x^2\) sprawia, że funkcję opisaną wzorem \(x^2\) musimy narysować do góry nogami, a \(+4\) na końcu wzoru oznacza, że dodatkowo całość trzeba podnieść o \(4\) jednostki do góry). Całość będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Odczytanie zbioru wartości funkcji.
Spoglądamy na naszą zieloną funkcję i na oś \(OY\), bo to z niej odczytujemy wartości przyjmowane przez funkcję. Widzimy wyraźnie, że funkcja ta przyjmuje wartości od minus nieskończoności do \(4\), zatem zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,4\rangle\).

Z wykresu wynika, że ramiona naszej paraboli są skierowane do dołu, a to oznacza, że współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedzi B oraz D i tylko one będą już przez nas rozpatrywane.

Spójrzmy teraz na miejsce przecięcia się wykresu z osią \(OY\). Znajduje się ono pod osią \(OX\), a to oznacza, że współczynnik \(c\) musi być ujemny. Taką sytuację mamy właśnie w odpowiedzi D, zatem poszukiwanym wzorem funkcji będzie \(f(x)=-x^2+6x-7\).

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że:
$$a_{24}=a_{6}+18r$$

Z treści zadania wynika, że \(r=2\), zatem:
$$a_{24}=a_{6}+18\cdot2 \           ,\
a_{24}=a_{6}+36 \           ,\
a_{24}-a_{6}=36$$

Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Gdybyśmy chcieli wypisać wszystkie parzyste liczby, mniejsze od \(1001\), to sytuacja wyglądałaby następująco:
$$2, 4, 6, 8, ..., 998, 1000$$

Powinniśmy zauważyć, że to jest po prostu ciąg arytmetyczny, w którym \(a_{1}=2\), \(a_{n}=1000\) oraz \(r=2\). Do ustalenia jest jeszcze ile jest tych wyrazów - będzie ich dokładnie \(n=500\).

Krok 2. Zapisanie sumy.
W zadaniu skorzystamy zatem ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Podstawiając teraz wszystkie dane wypisane w pierwszym kroku, otrzymamy:
$$S_{500}=\frac{2+1000}{2}\cdot500$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\)
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu zachodzi następująca własność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$x^2=2\cdot18 \           ,\
x^2=36 \           ,\
x=6 \quad\lor\quad x=-6$$

Krok 2. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwie wartości, czyli \(x=6\) oraz \(x=-6\). To drugie rozwiązanie musimy jednak odrzucić, bo dla \(x=-6\) nasz ciąg nie będzie rosnący, tylko będzie niemonotoniczny. To oznacza, że rozwiązaniem tego zadania jest jedyni \(x=6\).

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{7}{25}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{49}{625}+cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=\frac{576}{625} \           ,\
cosα=\frac{24}{25} \quad\lor\quad cosα=-\frac{24}{25}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo kąt \(α\) jest kątem ostrym, zat