Krok 1. Zamiana logarytmu na postać potęgi.
Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść \(\sqrt{7}\) aby otrzymać \(7\). Zamieniając ten logarytm na postać potęgi otrzymamy więc następujące równanie:
$$log_{\sqrt{7}}7=x \quad\Rightarrow\quad (\sqrt{7})^x=7$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz musimy doprowadzić do sytuacji w której po lewej i prawej stronie równania będziemy mieć te same podstawy potęg. Skoro \(7\) możemy rozpisać jako \((\sqrt{7})^2\) to otrzymamy:
$$(\sqrt{7})^x=(\sqrt{7})^2$$

Podstawy potęg są jednakowe, możemy więc porównać do siebie wykładniki, zatem otrzymamy, że:
$$x=2$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(8-3\sqrt{7})^2=64-48\sqrt{7}+63=127-48\sqrt{7}$$

Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Z treści zadania wynika, że:
$$0,75a=177 \           ,\
a=236$$

Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(b\).
W bardzo podobny sposób możemy wyznaczyć wartość liczby \(b\):
$$0,59b=177 \           ,\
b=300$$

Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Tak naprawdę w odpowiedziach mamy działania \(b-a\) oraz \(a-b\) wraz z proponowanymi wynikami. Obliczmy zatem wartość każdego z tych wyrażeń:
$$b-a=300-236=64 \           ,\
a-b=236-300=-64$$

To oznacza, że poszukiwaną przez nas odpowiedzią jest \(b-a=64\).

Możemy to równanie rozwiązać w standardowy sposób wymnażając iksa przez wartość w nawiasie i przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę. Otrzymamy wtedy równanie kwadratowe \(5x^2-4x-1=0\), które rozwiążemy klasyczną deltą. Wyjdzie nam wtedy, że \(Δ=36\), co doprowadzi nas do dwóch rozwiązań: \(x_{1}=-\frac{1}{5}\) oraz \(x_{2}=1\).

Jednak to zadanie da się zrobić nieco sprytniej w następujący sposób:
$$x(5x+1)=5x+1 \           ,\
x(5x+1)-5x-1=0 \           ,\
x\cdot(5x+1)-1\cdot(5x+1)=0 \           ,\
(x-1)(5x+1)=0$$

Aby wartość tego równania była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad 5x+1=0 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad 5x=-1 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=-\frac{1}{5}$$

To oznacza, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-\frac{1}{5}\) i \(x=1\).

Podstawiając \(x=3\) i \(y=1\) do naszego układu równań otrzymamy:
\begin{cases}
-3+12\cdot1=a^2 \           ,\
2\cdot3+a\cdot1=9
\end{cases}

\begin{cases}
-3+12=a^2 \           ,\
6+a=9
\end{cases}

\begin{cases}
a^2=9 \           ,\
a=3
\end{cases}

W pierwszym równaniu otrzymaliśmy proste równanie kwadratowe \(a^2=9\), którego rozwiązaniem są liczby \(a=3\) oraz \(a=-3\). W drugim równaniu wyszło nam, że \(a=3\). Co oznacza ta rozbieżność? Możemy to zinterpretować w taki sposób, że gdy \(a=-3\) to para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem tylko pierwszego równania, natomiast gdy \(a=3\), to wskazana para liczb jest rozwiązaniem jednego i drugiego równania (czyli całego układu równań). Z tego też względu rozwiązaniem tego zadania jest \(a=3\).

Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$(x-4)^2\neq0 \           ,\
x\neq4$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przystąpić do rozwiązywania, zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku:
$$\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-4)^2 \           ,\
(x-2)(x+4)=0$$

Aby to równanie było równe \(0\), to albo pierwszy nawias, albo drugi, muszą dać wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To bardzo ważny krok, bowiem musimy jeszcze zweryfikować, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami. W naszym przypadku żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem możemy stwierdzić, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=2\) oraz \(x=-4\).

Krok 1. Ułożenie równania.
Miejscem zerowym funkcji są te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z tego też względu musimy rozwiązać następujące równanie:
$$9-(3-x)^2=0 \           ,\
9-(9-6x+x^2)=0 \           ,\
9-9+6x-x^2=0 \           ,\
-x^2+6x=0$$

Tutaj też częstą praktyką jest wymnożenie obydwu stron przez \(-1\), tak aby mieć z przodu wartość \(x^2\) bez minusa. Nie jest to konieczne do poprawnego rozwiązania, ale czyni to zapis nieco czytelniejszym. Gdybyśmy więc wymnożyli to równanie przez \(-1\) to otrzymamy:
$$x^2-6x=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie kwadratowe możemy standardowo obliczyć korzystając z delty (należy tylko pamiętać o tym, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\)). Jednak tego typu równania można rozwiązać nieco szybciej, wyłączając przed nawias wspólny czynnik w następujący sposób:
$$x^2-6x=0 \           ,\
x(x-6)=0$$

To równanie będzie równe \(0\) tylko wtedy, gdy:
$$x=0 \quad\lor\quad x-6=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=6$$

To oznacza, że miejscami zerowymi naszej funkcji są \(x=0\) oraz \(x=6\).

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Widzimy wyraźnie, że funkcja ta przyjmuje wartości od minus nieskończoności aż do jedynki, zatem zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział \((-\infty;1\rangle\).

W tym zadaniu będziemy korzystać z działań na potęgach. Warto więc pamiętać, że podniesienie liczby do potęgi ujemnej związane jest z potęgowaniem odwrotności danej liczby, a podniesienie liczby do ułamka związane jest z pierwiastkami. Sprawdźmy zatem wartość każdej z liczb, korzystając z działań na potęgach:
\((\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}}=25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5 \           ,\
(\frac{1}{25})^{-\frac{1}{5}}=25^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{25} \           ,\
125^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{125^2}=\sqrt[3]{15625}=25 \           ,\
125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5\)

Liczbę większą od \(5\) otrzymaliśmy więc jedynie w trzecim przypadku.

Aby poznać wartość naszej niewiadomej \(a\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) do wskazanego równania. Podstawiając zatem \(x=a\) oraz \(y=3\) otrzymamy:
$$y=\frac{3}{4}x+6 \           ,\
3=\frac{3}{4}a+6 \           ,\
\frac{3}{4}a=-3 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \           ,\
a=-4$$

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

W naszym przypadku \(a_{1}=-11\) oraz \(a_{9}=5\). Skoro mamy obliczyć sumę dziewięciu pierwszych wyrazów to musimy jeszcze podstawić \(n=9\), zatem:
$$S_{9}=\frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot9 \           ,\
S_{9}=\frac{-11+5}{2}\cdot9 \           ,\
S_{9}=\frac{-6}{2}\cdot9 \           ,\
S_{9}=(-3)\cdot9 \           ,\
S_{9}=-27$$

Krok 1. Rozpisanie wartości piątego wyrazu.
Spróbujmy powiązać wartość piątego wyrazu z wyrazem drugim. Dzięki temu powstanie nam równanie z którego obliczymy iloraz naszego ciągu. Piąty wyraz ciągu geometrycznego możemy rozpisać jako:
$$a_{5}=a_{2}\cdot q\cdot q\cdot q \           ,\
a_{5}=a_{2}\cdot q^3$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Podstawiając do powyższego równania \(a_{2}=162\) oraz \(a_{5}=48\) otrzymamy:
$$48=162\cdot q^3 \           ,\
q^3=\frac{48}{162} \           ,\
q^{3}=\frac{8}{27} \           ,\
q=\sqrt[3]{\frac{8}{27}} \           ,\
q=\frac{2}{3}$$

W zadaniu skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej" do której podstawimy znaną nam wartość cosinusa, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy wartość sinusa.
$$sin^2+cos^2α=1 \           ,\
sin^2α+\left(\frac{12}{13}\right)^2=1 \           ,\
sin^2α+\frac{144}{169}=1 \           ,\
sin^2α=\frac{25}{169} \           ,\
sinα=\sqrt{\frac{25}{169}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{25}{169}} \           ,\
sinα=\frac{5}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{5}{13}$$

Z racji tego, iż kąt \(α\) jest kątem ostrym (tak jest to zapisane w treści zadania), to ujemną wartość sinusa musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie. To oznacza, że \(sinα=\frac{5}{13}\).

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CDB\).
Spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Z treści zadania możemy wywnioskować, że jest to trójkąt równoramienny, ponieważ \(|BC|=|BD|\). Skoro tak, to kąty przy podstawie \(DC\) mają jednakową miarę, a to oznacza, że:
$$|\sphericalangle CDB|=72°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ADC\).
Kąt \(ADC\) oraz obliczony przed chwilą \(CDB\) to kąty przyległe, czyli takie których suma miar jest równa \(180°\). Możemy więc zapisać, że:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-72°=108°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ACD\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADC\). To także jest trójkąt równoramienny, bowiem \(|AD|=|CD|\). Skoro tak, to kąty przy podstawie \(AC\) muszą mieć jednakową miarę. Wiemy już, że kąt \(ADC\) ma miarę \(108°\), czyli na dwa kąty przy podstawie \(AC\) zostaje nam: \(180°-108°=72°\). Skoro kąty przy podstawie \(AC\) muszą być jednakowej miary to:
$$|\sphericalangle ACD|=72°:2=36°$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dobry rysunek jest tutaj kluczem do rozwiązania zadania. Narysujmy więc wskazany okręg, tak aby był on styczny do osi igreków i prostej o równaniu \(y=2\):


Krok 2. Obliczenie długości promienia.
Z rysunku widać wyraźnie, że promień naszego okręgu to będzie odcinek od środka okręgu do prostej \(y=2\). Odcinek ten ma długość trzech jednostek (bo \(5-2=3\)), zatem \(r=3\).