Opuszczając nawiasy wartości bezwzględnej otrzymamy:
$$|9-2|-|4-7|=|7|-|-3|=7-3=4$$

Jeżeli \(15\%\) liczby \(a\) jest równe \(10\%\) liczby \(b\), to znaczy że:
$$0,15a=0,1b \           ,\
a=\frac{0,1}{0,15}b \           ,\
a=\frac{10}{15}b \           ,\
a=\frac{2}{3}b$$

Skoro iloczyn liczb \(a\) oraz \(b\) jest równy \(1350\), to:
$$a\cdot b=1350 \           ,\
\frac{2}{3}b\cdot b=1350 \           ,\
\frac{2}{3}b^2=1350 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \           ,\
b^2=2025 \           ,\
b=45 \quad\lor\quad b=-45$$

Z treści zadania wynika, że liczba \(b\) musi być dodatnia, a to oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(b=45\).

Nie mamy żadnych specjalnych wzorów na dodawanie potęg, ale możemy zauważyć, że czterokrotnie dodano tą samą liczbę, czyli \(16^{24}\). W związku z tym:
$$16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}=4\cdot16^{24}=4\cdot(4^2)^{24}= \           ,\
=4\cdot4^{48}=4^1\cdot4^{48}=4^{49}$$

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{3}27-log_{3}1=log_{3}\frac{27}{1}=log_{3}27=3$$

Możemy wymnożyć każdą z odpowiedzi i sprawdzić kiedy otrzymamy wyrażenie z treści zadania:
Odp. A. \((x^3+1)(x^2-3)=x^5-3x^3+x^2-3\)
Odp. B. \((x^3-3)(x^3+1)=x^6+x^3-3x^3-3=x^6-2x^3-3\)
Odp. C. \((x^2+3)(x^4-1)=x^6-x^2+3x^4-3=x^6+3x^4-x^2-3\)
Odp. D. \((x^4+1)(x^2-3)=x^6-3x^4+x^2-3\)

Pożądany wynik otrzymaliśmy tylko w odpowiedzi B.

Podstawiając pod \(a\) oraz \(b\) liczby z treści zadania otrzymamy:
$$(b-a)^2=(\sqrt{75}-2\sqrt{3})^2=(\sqrt{25\cdot3}-2\sqrt{3})^2= \           ,\
=(5\sqrt{3}-2\sqrt{3})^2=(3\sqrt{3})^2=9\cdot3=27$$

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy przyrównać jej wzór do zera:
$$21-\frac{7}{3}x=0 \           ,\
21=\frac{7}{3}x \quad\bigg/\cdot\frac{3}{7} \           ,\
x=\frac{63}{7} \           ,\
x=9$$

Spróbujmy wyznaczyć wartości \(x\) oraz \(y\) z tego układu równań. Jeżeli dodamy te równania stronami to otrzymamy:
$$2x+0y=1+b \           ,\
2x=1+b \           ,\
x=\frac{1+b}{2}$$

Kiedy odejmiemy te równania stronami to otrzymamy:
$$0x+2y=1-b \           ,\
2y=1-b \           ,\
y=\frac{1-b}{2}$$

Teraz zgodnie z treścią zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie, zatem:
$$\frac{1+b}{2}\gt0 \land \frac{1-b}{2}\gt0 \           ,\
1+b\gt0 \quad\land\quad 1-b\gt0 \           ,\
b\gt-1 \quad\land\quad b\lt1$$

To oznacza, że \(-1\lt b\lt1\).

Do zadania można podejść na dwa sposoby:

I sposób:
Z treści zadania wynika, że dla \(x=-1\) oraz dla \(x=3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(1\). W związku z tym podstawiając te dane do wzoru funkcji powstaną nam dwa równania z których stworzymy układ równań:
$$\begin{cases}
1=(-1)^2-1b+c \           ,\
1=3^2+3b+c
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
1=1-b+c \           ,\
1=9+3b+c
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
-b+c=0 \           ,\
3b+c=-8
\end{cases}$$

Teraz odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-4b=8 \           ,\
b=-2$$

II sposób:
W treści podane mamy, że ta funkcja dla \(x=-1\) oraz \(x=3\) przyjmuje jednakową wartość. Znając kształt paraboli możemy wyciągnąć wniosek, że wierzchołek paraboli musi znaleźć się dokładnie po środku między tymi punktami. To oznacza, że możemy dość sprytnie wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli (czyli współrzędną \(p\)):
$$p=\frac{-1+3}{2} \           ,\
p=\frac{2}{2} \           ,\
p=1$$

Ze wzorów z tablic maturalnych wiemy, że współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli możemy wyznaczyć korzystając ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Wiemy już, że \(p=1\), a z treści zadania wynika, że \(a=1\) (bo przed \(x^2\) nie mamy żadnej liczby, czyli domyślnie \(a=1\)). W związku z tym podstawiając te dane do powyższego wzoru wyznaczymy bez przeszkód wartość poszukiwanego współczynnika \(b\):
$$p=\frac{-b}{2a} \           ,\
1=\frac{-b}{2\cdot1} \           ,\
1=\frac{-b}{2} \           ,\
-b=2 \           ,\
b=-2$$

Równanie jest przedstawione w postaci iloczynowej, zatem aby równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym:
$$x(x-3)(x^2+25)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-25$$

Z racji tego iż nie ma możliwości by liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu dała wynik ujemny, to z równania \(x^2=-25\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=0 \lor x=3\).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych funkcji.
Funkcja podana jest w postaci iloczynowej, zatem przyrównując wartości w nawiasach do zera bardzo szybko określimy miejsca zerowe:
$$x-3=0 \quad\lor\quad 7-x=0 \           ,\
x=3 \quad\lor\quad x=7$$

Krok 2. Określenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli.
Współrzędną iksową wierzchołka paraboli określamy symbolem \(p\). Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że współrzędna iksowa wierzchołka paraboli znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy dwoma miejscami zerowymi. W związku z tym:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \           ,\
p=\frac{3+7}{2} \           ,\
p=\frac{10}{2} \           ,\
p=5$$

Krok 3. Określenie współrzędnej igrekowej wierzchołka paraboli.
Wiemy już, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest \(p=5\). To oznacza, że podstawiając do wzoru funkcji pod iksa tę piątkę obliczymy współrzędną igrekową wierzchołka paraboli (oznaczaną symbolem \(q\)). Zatem:
$$q=(5-3)(7-5) \           ,\
q=2\cdot2 \           ,\
q=4$$

W związku z tym, że współrzędna igrekowa wierzchołka jest równa \(q=4\), to nasz wierzchołek paraboli należy do prostej \(y=4\).

Skoro punkt \(A=(2017;0)\) należy do naszej funkcji, to podstawiając do wzoru funkcji \(x=2017\) powinniśmy otrzymać wynik \(y=0\). Wyraźnie widać, że w funkcji z pierwszej odpowiedzi tak się nie stanie, bo podstawiając \(x=2017\) otrzymamy olbrzymi wynik wynik typu \(4034^2\). Podobnie stanie się w funkcji z odpowiedzi B, tutaj otrzymamy wartość \(2017^2-2017\) i analogicznie będzie w funkcji z odpowiedzi D gdzie będziemy mieć \(2017^2+2017\). Jedynie w funkcji z odpowiedzi C otrzymamy wartość równą \(0\), a to dlatego że w drugim nawiasie będziemy mieć \(0\), a więc tam otrzymamy \(4034\cdot0=0\).

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy rozpisać korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W związku z tym:
$$2a_{3}=a_{2}+a_{1}+1 \           ,\
2(a_{1}+2r)=a_{1}+r+a_{1}+1 \           ,\
2a_{1}+4r=2a_{1}+r+1 \           ,\
3r=1 \           ,\
r=\frac{1}{3}$$

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych (niekoniecznie pierwszych) wyrazów zachodzi równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawmy więc do tego trzy następujące po sobie wyrazy - najlepiej będzie wybrać wyraz drugi, trzeci i czwarty, bo ten czwarty jest znaną nam wartością liczbową. W związku z tym otrzymamy:
$${a_{3}}^2=a_{2}\cdot a_{4} \           ,\
(4x^3)^2=2x^2\cdot8 \           ,\
16x^6=16x^2 \quad\bigg/:16x^2 \           ,\
x^4=1 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=-1$$

Skoro ciąg ma mieć wyrazy nieujemne, to zostaje nam że \(x=1\).

Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{12}{5} \           ,\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{12}{5}$$

Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$5sinα=12cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wynika, że \(sin^2α+cos^2α=1\). W poprzednim kroku udało nam się zapisać, że \(5sinα=12cosα\), czyli że \(cosα=\frac{5}{12}sinα\). W związku z tym:
$$sin^2α+\left(\frac{5}{12}sinα\right)^2+=1 \           ,\
sin^2α+\frac{25}{144}sin^2α=1 \           ,\
\frac{169}{144}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \           ,\
sin^2α=\frac{144}{169} \           ,\
sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(sinα=\frac{12}{13}\).

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\).
Kąt środkowy \(AOC\) jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \(ABC\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że w takiej sytuacji kąt środkowy będzie mieć miarę dwukrotnie większą, zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=2\cdot20°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(CAO\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACO\). Jest to trójkąt równoramienny, którego ramiona \(AO\) oraz \(CO\) mają długość równą promieniu okręgu. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę i to właśnie pozwoli nam wyznaczyć miarę kąta \(CAO\). Skoro \(|\sphericalangle AOC|=40°\), a suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\), to znaczy że:
$$|\sphericalangle CAO|=(180°-40°):2=140°:2=70°$$