Krok 1. Obliczenie ceny netto towaru.
Cena brutto to cena netto towaru powiększona o podatek VAT, który jest wyliczany z ceny netto. Skoro mamy sprawdzić jaka jest cena brutto przy stawce \(23\%\), to najpierw musimy wyznaczyć cenę netto.

\(x\) - cena netto
\(0,07x\) - podatek VAT (bo \(0,07=7\%\))
\(x+0,07x=1,07x\) - cena brutto

W naszym przypadku cena brutto jest równa \(34347zł\), zatem:
$$1,07x=34347zł \quad\bigg/:1,07 \           ,\
x=32100$$

Krok 2. Obliczenie ceny towaru przy stawce VAT \(23\)-procentowej.
Do ceny netto \(32100zł\) musimy teraz dodać \(23\%\) podatku VAT, zatem:
$$1,23\cdot32100zł=39483zł$$

Cena netto samochodu jest więc równa \(39483zł\).

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
$$|x+4,5|\ge6 \           ,\
x+4,5\ge6 \quad\lor\quad x+4,5\le-6 \           ,\
x\ge1,5 \quad\lor\quad x\le-10,5$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymany wynik możemy zapisać jako:
$$x\in(-\infty;-10,5\rangle\cup\langle1,5;+\infty)$$

Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest dodatnia. Z przedziału jasno wynika, że taką liczbą będzie \(x=2\).

Pamiętając o tym, że \(\sqrt[3]{2^5}=(2^5)^\frac{1}{3}=2^{\frac{5}{3}}\) możemy całość obliczyć w następujący sposób:
$$2^{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[3]{2^5}=2^{\frac{4}{3}}\cdot2^{\frac{5}{3}}= \           ,\
=2^{\frac{4}{3}+\frac{5}{3}}=2^{\frac{9}{3}}=2^3$$

W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów:
$$r\cdot \log_{a}x=\log_{a}x^r \           ,\
\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}$$

Zatem:
$$2\log_{5}10-\log_{5}4=\log_{5}10^2-\log_{5}4=\log_{5}100-\log_{5}4= \           ,\
=\log_{5}\frac{100}{4}=\log_{5}25=2$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tej nierówności. Aby uprościć sobie obliczenia wymnóżmy na początku obie strony przez \(30\), pozbywając się tym samym wszystkich ułamków:
$$\frac{3}{5}-\frac{2x}{3}\ge\frac{x}{6} \quad\bigg/\cdot30 \           ,\
18-20x\ge5x \           ,\
18-25x\ge0 \           ,\
-25x\ge-18 \quad\bigg/:(-25) \           ,\
x\le\frac{18}{25}$$

Zwróć uwagę na zmianę znaku w ostatniej linijce. Wynika ona z tego, że dzieliliśmy nierówność przez liczbę ujemną.

Otrzymany wynik możemy zapisać w formie przedziału:
$$x\in(-\infty;\frac{18}{25}\rangle$$

Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to także wartość mianownika musi być różna od zera. W związku z tym:
$$x^2-4x\neq0 \           ,\
x(x-4)\neq0 \           ,\
x\neq0 \quad\lor\quad x-4\neq0 \           ,\
x\neq0 \quad\lor\quad x\neq4$$

Dziedziną tej funkcji będą więc wszystkie liczby rzeczywiste różne od \(0\) i \(4\).

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego iż w mianowniku nie może znaleźć się liczba zero, to musimy napisać założenia do naszego równania:
$$3-x\neq0 \           ,\
x\neq3$$

Gdyby wśród obliczonych rozwiązań tego równania pojawiła się liczba \(3\), to zgodnie z założeniami musielibyśmy ją odrzucić.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
To równanie najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż, dzięki czemu otrzymamy:
$$(2x-4)\cdot3=(3-x)\cdot4 \           ,\
6x-12=12-4x \           ,\
10x-12=12 \           ,\
10x=24 \           ,\
x=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$$

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), zatem:
$$0=-\frac{2}{3}x+4 \           ,\
\frac{2}{3}x=4 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \           ,\
x=6$$

Skoro punkt \(M\) należy do wykresu funkcji \(f(x)\), to możemy do jej wzoru podstawić współrzędne tego punktu, wyznaczając w ten sposób wartość niewiadomej \(a\). Otrzymamy wtedy:
$$3=(3-2a)\cdot\frac{1}{2}+2 \           ,\
3=1\frac{1}{2}-a+2 \           ,\
3=3\frac{1}{2}-a \           ,\
-\frac{1}{2}=-a \           ,\
a=\frac{1}{2}$$

Do zapisania równania prostej (a tym samym do wyznaczenia współczynnika kierunkowego) posłużymy się współrzędnymi punktów \(P\) oraz \(Q\), które możemy odczytać z rysunku. Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(P=(x_{P};y_{P})\) oraz \(Q=(x_{Q};y_{Q})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{P})(x_{Q}-x_{P})-(y_{Q}-y_{P})(x-x_{P})=0 \           ,\
(y-5)(5-2)-(3-5)(x-2)=0 \           ,\
(y-5)\cdot3-(-2)\cdot(x-2)=0 \           ,\
3y-15-(-2x+4)=0 \           ,\
3y-15+2x-4=0 \           ,\
3y+2x-19=0 \           ,\
3y=-2x+19 \quad\bigg/:3 \           ,\
y=-\frac{2}{3}x+\frac{19}{3}$$

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest w takim razie równy \(a=-\frac{2}{3}\).

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=-4\) oraz \(r=2\). Podstawiając do tego \(a_{n}=156\) wyliczymy który wyraz ma pożądaną przez nas wartość:
$$156=-4+(n-1)\cdot2 \           ,\
156=-4+2n-2 \           ,\
156=2n-6 \           ,\
2n=162 \           ,\
n=81$$

Wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego możemy zapisać jako \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Czwarty wyraz ciągu jest więc równy \(a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}\). Ta informacja w połączeniu z zależnością \(a_{4}=3a_{1}\) z treści zadania pozwoli nam ułożyć proste równanie:
$$a_{1}\cdot q^{3}=3a_{1} \quad |:a_{1} \           ,\
q^3=3 \           ,\
q=\sqrt[3]{3}$$

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym wynika, że zależność między przyprostokątną leżącą przy danym kącie, a przeciwprostokątną możemy opisać funkcją cosinus:
$$cosα=\frac{1,30}{4} \           ,\
cosα=0,325$$

Krok 2. Odczytanie miary kąta z tablic trygonometrycznych.
Musimy teraz poprawnie odczytać z tablic trygonometrycznych dla jakiego kąta ostrego funkcja cosinus przyjmuje wartość około \(0,325\). Najbliżej tej wartości jest kąt \(71°\), zatem \(60°\lt α\lt 90°\).

Uwaga! Wiele osób błędnie odczytuje z tablic, że poszukiwanym kątem jest ten o mierze \(19°\). To byłby kąt \(19°\) gdybyśmy mieli funkcję sinus, a nie cosinus.

Skorzystamy z tak zwanej "jedynki trygonometrycznej":
$$sin^2α+cos^2α=1$$

Podstawiając wartość sinusa do tego wzoru wyznaczymy poszukiwaną wartość cosinusa.
$$\left(\frac{2}{5}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{4}{25}+cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=\frac{21}{25} \           ,\
cos=\sqrt{\frac{21}{25}} \quad\lor\quad cos=-\sqrt{\frac{21}{25}} \           ,\
cos=\frac{\sqrt{21}}{5} \quad\lor\quad cos=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Z treści wynika że podstawą jest bok \(AB\), bo równej długości są odcinki \(|AC|=|BC|\). Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają jednakową miarę, zatem skoro \(|\sphericalangle CAB|=50°\), to możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ABC|=50°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABD\).
Skoro odcinek \(BD\) jest dwusieczną kąta \(ABC\), to miara kąta \(ABD\) jest równa:
$$|\sphericalangle ABD|=50°:2=25°$$

Analogicznie: |\sphericalangle DBC|=50°:2=25°

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(EBD\).
Wbrew pozorom odcinek \(BE\) wcale nie jest dwusieczną kąta \(DBC\), co prowadziłoby nas do błędnej odpowiedzi \(12,5°\). Miarę poszukiwanego kąta musimy wyznaczyć korzystając z trójkąta \(ABE\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny, bo odcinek \(EB\) jest wysokością trójkąta, a wysokość zawsze pada pod kątem prostym. W ten sposób obliczymy miarę kąta \(ABE\), co z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość kąta \(EBD\). Zatem:
$$|\sphericalangle ABE|=180°-90°-50°=40°$$

Miara kąta \(EBD\) jest różnicą między kątem \(ABE\) oraz \(ABD\):
$$|\sphericalangle EBD|=|\sphericalangle ABE|-|\sphericalangle ABD|=40°-25°=15°$$

Podobieństwo trójkątów oznacza, że stosunek długości poszczególnych boków jest taki sam w obydwu figurach. To z kolei pozwoli nam ułożyć równania, dzięki którym wyznaczymy długości boków \(a\) oraz \(b\). Musimy tylko uważać, aby dobrze zapisać odniesienia do poszczególnych boków.

Krok 1. Wyznaczenie długości boku \(a\).
$$\frac{4}{6}=\frac{a}{15} \quad\bigg/\cdot30 \           ,\
20=2a \           ,\
a=10$$

Krok 2. Wyznaczenie długości boku \(b\).
$$\frac{4}{6}=\frac{12}{b}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$4b=72 \           ,\
b=18$$