Naszym zadaniem jest rozwiązanie podanej nierówności i wybór odpowiedniego rysunku, który przedstawia rozwiązanie tej nierówności.
$$|x+7|\gt5 \           ,\
x+7\gt5 \quad\lor\quad x+7\lt-5 \           ,\
x\gt-2 \quad\lor\quad x\lt-12 \           ,\
x\in(-\infty;-12) \cup (-2;+\infty)$$

Zbiór rozwiązań tej nierówności został przedstawiony na trzecim rysunku.

Krok 1. Wypisanie danych z zadania.
Spodnie przed obniżką kosztowały \(x\).
Po obniżce o \(30\%\) kosztują \(x-0,3x=0,7x\) i wiemy, że jest to wartość równa \(126zł\).

Krok 2. Obliczenie wartości spodni przed obniżką.
Skorzystamy tutaj z prostej proporcji.
$$0,7x=126zł \           ,\
0,1x=18zł \           ,\
x=180zł$$

Tego zadania nie musimy tak naprawdę obliczać, bo niezależnie od tego jaka wartość wyjdzie nam w nawiasie (ważne tylko by była różna od zera, a ta na pewno będzie, bo są same liczby dodatnie) to po podniesieniu jej do potęgi zerowej otrzymamy wynik równy \(1\).

Skorzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie \(\log_{a}x+\log_{a}y=\log_{a}(x\cdot y)\), stąd też:
$$\log_{4}8+\log_{4}2=\log_{4}(8\cdot2)=\log_{4}16=2$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę tylko dodanie tych wielomianów i ewentualnie uproszczenie otrzymanego wyniku. Uważajmy tylko na znaki.
$$W(x)+P(x)=(-2x^3+5x^2-3)+(2x^3+12x)= \           ,\
=-2x^3+5x^2-3+2x^3+12x=5x^2+12x-3$$

Krok 1. Zapisanie założeń do naszego równania.
Mianownik musi być różny od zera, więc:
$$7x+1\neq0 \           ,\
7x\neq-1 \           ,\
x\neq-\frac{1}{7}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Najprościej będzie tu zastosować tzw. "mnożenie na krzyż".
$$(3x-1)\cdot5=2\cdot(7x+1) \           ,\
15x-5=14x+2 \           ,\
x=7$$

Krok 3. Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązanie jest zgodne z naszymi założeniami.
\(x=7\) jest zgodne z naszym założeniem, więc jest to poprawne rozwiązanie.

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Z racji tego iż mamy nierówność zapisaną w formie iloczynowej, to chcąc wyznaczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, stąd też:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+3=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane ku górze, bo przed wartościami \(x\) nie mamy wartości ujemnych. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe. Kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Nasza funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera dla \(x\in(-3;2)\). Spośród wszystkich podanych odpowiedzi tylko czwarta odpowiedź mieści się w naszym przedziale i to jest prawidłowa odpowiedź.

Krok 1. Wypisanie współczynników oraz obliczenie delty.
Współrzędne wierzchołka \(W=(p;q)\) wyznaczymy korzystając ze wzorów:
$$p=\frac{-b}{2a} \           ,\
q=\frac{-Δ}{4a}$$

Znamy już współczynniki: \(a=-3\), \(b=0\), \(c=3\). Brakuje nam jeszcze delty, która znajduje się we wzorze na współrzędną \(q\), zatem:
$$Δ=b^2-4ac=0-4\cdot(-3)\cdot3=0+36=36$$

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(p\).
$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{0}{2\cdot(-3)}=\frac{0}{-6}=0$$

Krok 3. Oblicznie współrzędnej \(q\).
$$q=\frac{-Δ}{4a}=\frac{-36}{4\cdot(-3)}=\frac{-36}{-12}=3$$

Wierzchołkiem tej paraboli jest więc punkt o współrzędnych \(W=(0;3)\).

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika \(b\) na podstawie danych.
Jeśli prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\) to my z własności funkcji już wiemy, że \(b=2\).

Krok 2. Obliczenie wartości parametru \(m\).
Współczynnik \(b\) w tym zadaniu został opisany jako \(3m+3\). Skoro wiemy, że wartość tego współczynnika powinna być równa \(2\), to znaczy że:
$$3m+3=2 \           ,\
3m=-1 \           ,\
m=-\frac{1}{3}$$

Tak naprawdę naszym zadaniem jest sprawdzenie, która prosta (\(y=0\), \(y=1\), \(y=2\), czy \(y=3\)) przetnie wykres narysowanej funkcji w trzech miejscach. Taką prostą będzie oczywiście \(y=2\), stąd też prawidłowa jest odpowiedź trzecia.

To zadanie możemy rozwiązać tak naprawdę na dwa sposoby.
I sposób (na logikę):
W ciągu arytmetycznym każda kolejna liczba jest powiększona lub pomniejszona o tą samą wartość. W związku z tym różnica między piątym i trzecim wyrazem będzie taka sama jak między trzecim i pierwszym.
Skoro: \(a_{5}-a_{3}=39-13=26\)
To: \(a_{3}-a_{1}\) także będzie równe \(26\)
W ten sposób powstaje nam równanie:
$$a_{3}-a_{1}=26 \           ,\
13-a_{1}=26 \           ,\
-a_{1}=13 \           ,\
a_{1}=-13$$

II sposób (bardziej uniwersalny):
Za pomocą wzorów z tablic matematycznych możemy wyznaczyć \(r\), czyli różnicę ciągu arytmetycznego.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Korzystając z tego wzoru i podstawiając wartości \(a_{3}\) oraz \(a_{5}\) otrzymamy układ równań:

\begin{cases}
a_{3}=a_{1}+(3-1)r \           ,\
a_{5}=a_{1}+(5-1)r
\end{cases}\begin{cases}
13=a_{1}+2r \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
39=a_{1}+4r
\end{cases}\begin{cases}
26=2a_{1}+4r \           ,\
39=a_{1}+4r
\end{cases}\begin{cases}
26-2a_{1}=4r \           ,\
39=a_{1}+4r
\end{cases}

Korzystamy z metody podstawiania, podstawiając za \(4r\) z pierwszego równania wartość \(26-2a_{1}\) i w ten sposób otrzymujemy:
$$39=a_{1}+26-2a_{1} \           ,\
13=-a_{1} \           ,\
a_{1}=-13$$

W tym zadaniu musimy obliczyć wartość ilorazu \(q\), a do tego celu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Korzystając z tego wzoru możemy podstawić podstawić nasze dane z zadania i otrzymamy:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \           ,\
a_{4}=a_{1}\cdot q^{3} \           ,\
\frac{a_{4}}{a_{1}}=q^{3} \           ,\
q^{3}=\frac{24}{3} \           ,\
q^{3}=8 \           ,\
q=2$$

Liczbę przekątnych możemy obliczyć ze wzoru:
$$p=n\cdot\frac{n-3}{2}$$

W tym wzorze \(n\) oznacza liczbę boków danej figury, natomiast \(p\) to jest poszukiwana przez nas liczba przekątnych. Dla siedmiokąta foremnego obliczenia będą więc wyglądały następująco:
$$p=7\cdot\frac{7-3}{2} \           ,\
p=7\cdot\frac{4}{2} \           ,\
p=7\cdot2 \           ,\
p=14$$

W tym zadaniu wykorzystamy tzw. "jedynkę trygonometryczną", czyli \(sin^2α+cos^2α=1\).
Krok 1. Obliczenie wartości \(cos^2α\) korzystając z "jedynki trygonometrycznej".
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{3}{4}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{9}{16}+cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=\frac{7}{16}$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2-cos^2α\).
$$2-cos^2α=2-\frac{7}{16}=\frac{25}{16}$$

Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego.



Spójrzmy na rysunek poglądowy. Widzimy wyraźnie, że średnica okręgu jest jednocześnie przekątną naszego kwadratu. Korzystając z tej wiedzy bez problemu wyliczymy długość boku kwadratu.

Krok 2. Obliczenie średnicy okręgu.
W treści zadania mamy podaną długość promienia. To największa pułapka w tym zadaniu. My musimy znać średnicę, a ta będzie równa oczywiście:
$$2\cdot4=8$$

Krok 3. Obliczenie długości boku kwadratu.
Kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Długość przekątnej kwadratu jest równa średnicy okręgu, a więc możemy ułożyć równanie:
$$a\sqrt{2}=8 \quad\bigg/:\sqrt{2} \           ,\
a=\frac{8}{\sqrt{2}}$$

Krok 4. Usunięcie niewymierności z mianownika:
$$a=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \           ,\
a=\frac{8\sqrt{2}}{2} \           ,\
a=4\sqrt{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Z rysunku wynika kluczowa informacja - wysokość trójkąta (która jest jednocześnie przyprostokątną trójkąta \(BDC\)) da się wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \           ,\
3^2+b^2=5^2 \           ,\
9+b^2=25 \           ,\
b^2=25-9 \           ,\
b^2=16 \           ,\
b=4 \quad\lor\quad b=-4$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo wysokość trójkąta musi mieć wartość dodatnią.

Wysokość trójkąta jest więc równa \(4\).