LekcjeRazem

Krok 1. Oznaczenia. Niech ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $b_1$ i różnicę $r$. Ciąg jest rosnący, więc $r>0$. Z treści:

$$a_1=b_4=b_1+3r,\qquad a_2=b_2=b_1+r,\qquad a_3=b_1.$$

Krok 2. Warunek ciągu geometrycznego. Dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi $a_2^{2}=a_1a_3$:

$$\left(b_1+r\right)^{2}=\left(b_1+3r\right)b_1.$$

$$b_1^{2}+2b_1r+r^{2}=b_1^{2}+3b_1r\ \Longrightarrow\ r^{2}=b_1r.$$

Ponieważ $r>0$, dzielimy obie strony przez $r$:

$$b_1=r.$$

Krok 3. Wyrazy ciągu geometrycznego.

$$a_3=r,\qquad a_2=2r,\qquad a_1=4r.$$

Krok 4. Wykorzystanie sumy.

$$4r+2r+r=7r=\frac{21}{4}\ \Longrightarrow\ r=\frac{3}{4}.$$

Krok 5. Wynik.

$$a_1=4r=4\cdot\frac34=3.$$

Sprawdzenie: ciąg geometryczny to $3;\ 1{,}5;\ 0{,}75$ — iloraz $\frac12$, suma $5{,}25=\frac{21}{4}$ ✓. Ciąg arytmetyczny: $0{,}75;\ 1{,}5;\ 2{,}25;\ 3$ — rosnący ✓.

Odpowiedź: $a_1=3$