LekcjeRazem

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji. Korzystamy ze wzorów

$$\cos 2x=1-2\sin^{2}x,\qquad \cos^{2}x=1-\sin^{2}x.$$

Podstawiamy do równania:

$$3\left(1-2\sin^{2}x\right)+10\left(1-\sin^{2}x\right)=24\sin x-3.$$

$$3-6\sin^{2}x+10-10\sin^{2}x=24\sin x-3.$$

$$13-16\sin^{2}x=24\sin x-3.$$

Krok 2. Równanie kwadratowe.

$$16\sin^{2}x+24\sin x-16=0\ \Big|:8\ \Longrightarrow\ 2\sin^{2}x+3\sin x-2=0.$$

Podstawmy $s=\sin x$:

$$2s^{2}+3s-2=0,\qquad \Delta=9+16=25,\qquad \sqrt{\Delta}=5.$$

$$s_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2},\qquad s_2=\frac{-3-5}{4}=-2.$$

Krok 3. Odrzucenie niemożliwego rozwiązania. Zawsze $|\sin x|\le1$, więc $s_2=-2$ odpada.

Krok 4. Rozwiązanie równania $\sin x=\frac12$. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$:

$$x=\frac{\pi}{6}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{5\pi}{6}.$$

Sprawdzenie dla $x=\frac{\pi}{6}$: lewa strona $=3\cdot\frac12+10\cdot\frac34=9$, prawa $=24\cdot\frac12-3=9$ ✓

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{6}$ lub $x=\frac{5\pi}{6}$