LekcjeRazem

Krok 1. Wzory Viète'a.

$$S=x_1+x_2=3m+2,\qquad P=x_1x_2=2m^{2}+7m-15.$$

Krok 2. Przekształcenie warunku. Zauważmy, że

$$2x_1^{2}+5x_1x_2+2x_2^{2}=2\left(x_1^{2}+x_2^{2}\right)+5x_1x_2=2\left(S^{2}-2P\right)+5P=2S^{2}+P.$$

Warunek przyjmuje więc prostą postać

$$2S^{2}+P=2.$$

Krok 3. Podstawienie.

$$2(3m+2)^{2}+2m^{2}+7m-15=2.$$

$$2\left(9m^{2}+12m+4\right)+2m^{2}+7m-15=2.$$

$$18m^{2}+24m+8+2m^{2}+7m-15=2\ \Longrightarrow\ 20m^{2}+31m-9=0.$$

Krok 4. Rozwiązanie.

$$\Delta=31^{2}+4\cdot20\cdot9=961+720=1681,\qquad \sqrt{\Delta}=41.$$

$$m_1=\frac{-31+41}{40}=\frac{1}{4},\qquad m_2=\frac{-31-41}{40}=-\frac{9}{5}.$$

Krok 5. Warunek istnienia różnych pierwiastków.

$$\Delta_x=(3m+2)^{2}-4\left(2m^{2}+7m-15\right)=m^{2}-16m+64=(m-8)^{2}.$$

$$\Delta_x>0\ \Longleftrightarrow\ m\neq 8.$$

Obie znalezione wartości spełniają ten warunek.

Kontrola: dla $m=\frac14$ mamy $S=2{,}75$, $P=-13{,}125$ i $2S^{2}+P=2$ ✓; dla $m=-\frac95$ mamy $S=-3{,}4$, $P=-21{,}12$ i również $2$ ✓.

Odpowiedź: $m=\frac{1}{4}$ lub $m=-\frac{9}{5}$