Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Figury przystające (klasa 8 SP)
Co to znaczy
Figury przystające mają ten sam kształt i te same wymiary — można je nałożyć na siebie tak, by się pokryły.
Własności
Odpowiednie boki i kąty figur przystających są równe.
Przystawanie a podobieństwo
Przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa — w skali $1$.
Przykład
Dwa kwadraty o boku $5$ są przystające.
Bryły — rodzaje i elementy (klasa 8 SP)
Rodzaje brył
Wyróżniamy graniastosłupy, ostrosłupy oraz bryły obrotowe (walec, stożek, kula).
Elementy
Bryły mają ściany, krawędzie i wierzchołki. Sześcian ma $6$ ścian, $12$ krawędzi i $8$ wierzchołków.
Objętość i pole
Objętość mierzymy w jednostkach sześciennych (np. $cm^3$), a pole powierzchni w kwadratowych (np. $cm^2$).
Siatka
Siatka to płaska figura, z której po zagięciu powstaje bryła.
Graniastosłupy — własności (klasa 8 SP)
Budowa
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy połączone ścianami bocznymi. W graniastosłupie prostym ściany boczne to prostokąty.
Rodzaje
Prawidłowy — podstawą jest wielokąt foremny; prostopadłościan i sześcian to szczególne przypadki.
Objętość
$V=P_p\cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ wysokość.
Pole powierzchni
$P_c=2P_p+P_b$, gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Ostrosłupy — własności (klasa 8 SP)
Budowa
Ostrosłup ma jedną podstawę i wierzchołek. Ściany boczne to trójkąty.
Rodzaje
Prawidłowy — podstawą jest wielokąt foremny; czworościan to ostrosłup trójkątny.
Objętość
$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H$ — trzy razy mniejsza niż graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.
Pole powierzchni
$P_c=P_p+P_b$.
Objętość graniastosłupa — obliczenia (klasa 8 SP)
Wzór
$V=P_p\cdot H$ — pole podstawy razy wysokość.
Sześcian i prostopadłościan
Sześcian: $V=a^3$. Prostopadłościan: $V=a\cdot b\cdot c$.
Przykład
Prostopadłościan $2\times3\times4$ ma objętość $24$.
Jednostki
Objętość podajemy w $cm^3$, $dm^3$, $m^3$; $1\,dm^3=1$ litr.
Pole koła — obliczenia (klasa 8 SP)
Wzór
$P=\pi r^2$, gdzie $r$ to promień koła.
Ze średnicy
Jeśli dana jest średnica $d$, to $r=\frac{d}{2}$.
Przykład
Dla $r=5$ pole wynosi $25\pi$.
Liczba pi
$\pi$ to liczba niewymierna, w przybliżeniu $\pi\approx3{,}14$.
Pierwiastek kwadratowy i sześcienny (klasa 8 SP)
Pierwiastek kwadratowy
$\sqrt{a}=b$ oznacza $b^2=a$ dla $a\ge0$ oraz $b\ge0$.
Pierwiastek sześcienny
$\sqrt[3]{a}=b$ oznacza $b^3=a$; istnieje także dla liczb ujemnych.
Własności
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ oraz $\sqrt{a^2}=|a|$.
Przykłady
$\sqrt{49}=7$, $\sqrt[3]{27}=3$, $\sqrt[3]{-8}=-2$.
Figury płaskie — przegląd (klasa 8 SP)
Wielokąty
Trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne to figury ograniczone odcinkami.
Koło i okrąg
Okrąg to linia, a koło to okrąg wraz z wnętrzem.
Suma kątów
Trójkąt $180^\circ$, czworokąt $360^\circ$, a $n$-kąt $(n-2)\cdot180^\circ$.
Pola
Prostokąt $a\cdot b$, trójkąt $\frac{1}{2}ah$, koło $\pi r^2$.
Oś symetrii i środek symetrii (klasa 8 SP)
Oś symetrii
To prosta, względem której figura odbija się na siebie. Kwadrat ma $4$ osie symetrii, a prostokąt $2$.
Środek symetrii
To punkt, względem którego figura jest symetryczna — obrót o $180^\circ$ nakłada ją na siebie.
Przykłady
Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii oraz środek symetrii w środku.
Litery
Litera A ma oś symetrii, a litera S ma środek symetrii.
Diagramy i wykresy (klasa 8 SP)
Rodzaje
Diagramy słupkowe, kołowe i wykresy liniowe służą do przedstawiania danych.
Diagram kołowy
Cały okrąg to $100\%$ (czyli $360^\circ$); wycinek odpowiada udziałowi danej części.
Odczyt
Z diagramów odczytujemy wartości i porównujemy kategorie.
Na co uważać
Zwracaj uwagę na skalę osi — może nie zaczynać się od zera.
Długość okręgu i pole koła — obliczenia (klasa 8 SP)
Wzory
Długość okręgu $L=2\pi r$, a pole koła $P=\pi r^2$.
Ze średnicy
$L=\pi d$, ponieważ $d=2r$.
Przykład
Dla $r=4$: $L=8\pi$ oraz $P=16\pi$.
Odwrotnie
Znając obwód, wyznaczymy promień: z $L=2\pi r$ mamy $r=\frac{L}{2\pi}$.
Pole powierzchni graniastosłupa (klasa 8 SP)
Wzór
$P_c=2P_p+P_b$.
Elementy
$P_p$ to pole podstawy (są dwie), $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Powierzchnia boczna
Dla graniastosłupa prostego $P_b=Ob_p\cdot H$.
Przykład
Sześcian o krawędzi $a$: $P_c=6a^2$.
Pole powierzchni ostrosłupa (klasa 8 SP)
Wzór
$P_c=P_p+P_b$.
Elementy
$P_p$ pole podstawy (jedno), $P_b$ pole powierzchni bocznej złożonej ze ścian trójkątnych.
Ściana boczna
Pole trójkąta bocznego liczymy z wysokości ściany bocznej.
Przykład
Ostrosłup ma jedną podstawę i trójkątne ściany schodzące się w wierzchołku.
Potęgi (klasa 8 SP)
Definicja
$a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$.
Prawa działań
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$.
Wykładnik zerowy
$a^0=1$ dla $a\neq0$.
Notacja wykładnicza
Duże liczby zapisujemy jako $c\cdot10^k$.
Proste doświadczenia losowe (klasa 8 SP)
Prawdopodobieństwo
$P(A)=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}$.
Zakres
$0\le P(A)\le1$; zdarzenie pewne ma $1$, niemożliwe $0$.
Przykład
Rzut kostką: $P(\text{szóstka})=\frac16$.
Reguła mnożenia
Liczbę wyników w etapach mnożymy.
Symetralna odcinka i dwusieczna kąta (klasa 8 SP)
Symetralna odcinka
Prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek; jej punkty są równo oddalone od końców odcinka.
Dwusieczna kąta
Półprosta dzieląca kąt na dwa równe; jej punkty są równo oddalone od ramion kąta.
Zastosowanie
Konstrukcje geometryczne, wyznaczanie środka okręgu opisanego i wpisanego.
Czy statystyka mówi prawdę (klasa 8 SP)
Interpretacja danych
Te same dane można przedstawić tak, by sugerowały różne wnioski.
Pułapki wykresów
Ucięta oś, nierówne skale lub dobór okresu mogą wprowadzać w błąd.
Krytyczne czytanie
Warto sprawdzać źródło danych, wielkość próby i sposób prezentacji.
Proporcjonalność prosta (klasa 8 SP)
Definicja
Wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały: $y=ax$.
Współczynnik
$a$ to współczynnik proporcjonalności.
Wykres
Prosta przechodząca przez początek układu.
Przykład
Droga przy stałej prędkości jest wprost proporcjonalna do czasu.
Wielokąty foremne (klasa 8 SP)
Definicja
Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe.
Kąt wewnętrzny
$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.
Przykłady
Trójkąt równoboczny ($60^\circ$), kwadrat ($90^\circ$), sześciokąt foremny ($120^\circ$).
Okrąg
Każdy wielokąt foremny można wpisać w okrąg i opisać na okręgu.
Zbieranie i porządkowanie danych (klasa 8 SP)
Zbieranie
Dane gromadzimy przez obserwacje, pomiary lub ankiety.
Porządkowanie
Zestawiamy je w tabelach częstości i przedstawiamy na diagramach.
Rodzaje diagramów
Słupkowy, kołowy, liniowy — dobierany do rodzaju danych.
Miary
Z danych wyznaczamy średnią, medianę i dominantę.
Praktyczna matematyka (klasa 8 SP)
Procenty w życiu
Obliczamy podwyżki, obniżki, podatki i odsetki.
Jednostki
Zamieniamy jednostki długości, masy, czasu i pola.
Skala i mapy
Skala wiąże odległość na mapie z odległością rzeczywistą.
Prędkość
$v=\frac{s}{t}$ w zadaniach o ruchu.
Twierdzenie matematyczne i jego dowód (klasa 8 SP)
Budowa
Twierdzenie ma założenie („jeżeli") i tezę („to").
Dowód
To rozumowanie wyprowadzające tezę z założeń.
Twierdzenie odwrotne
Powstaje przez zamianę założenia z tezą — nie zawsze prawdziwe.
Kontrprzykład
Jeden przykład wystarczy, aby obalić zdanie ogólne.
Sposoby rozwiązywania zadań (klasa 8 SP)
Analiza
Przeczytaj treść, wypisz dane i szukane, wykonaj rysunek.
Plan
Dobierz metodę: równanie, wzór, proporcję.
Wykonanie
Prowadź rachunki starannie, pilnuj jednostek.
Sprawdzenie
Oceń, czy wynik ma sens i odpowiedz pełnym zdaniem.
Przystawanie trójkątów w dowodach (klasa 8 SP)
Cechy przystawania
bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB), kąt-bok-kąt (KBK).
Wniosek
Z przystawania wynika równość odpowiednich boków i kątów.
Zastosowanie
Dowodzimy równości odcinków lub kątów, wskazując przystające trójkąty.
Strona 15 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.