Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Działania łączne na ułamkach zwykłych (klasa 5 SP)
Kolejność działań
Nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie — także dla ułamków zwykłych.
Wspólny mianownik
Do dodawania i odejmowania sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.
Przykład
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$
Skracanie
Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.
Działania pisemne — powtórzenie (klasa 5 SP)
Cztery działania
Pisemnie wykonujemy dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, podpisując liczby zgodnie z pozycjami cyfr.
Mnożenie pisemne
Mnożymy przez kolejne cyfry drugiego czynnika i sumujemy odpowiednio przesunięte wyniki częściowe.
Dzielenie pisemne
Dzielimy od najwyższego rzędu, zapisując kolejne cyfry ilorazu oraz reszty.
Sprawdzenie
Dzielenie sprawdzamy mnożeniem: iloraz razy dzielnik plus reszta daje dzielną.
Dzielenie ułamków dziesiętnych (klasa 5 SP)
Reguła
Aby podzielić przez ułamek dziesiętny, przesuwamy przecinek w dzielniku tak, by stał się liczbą całkowitą, i o tyle samo miejsc w dzielnej.
Przykład
$$4{,}5:0{,}5=45:5=9$$
Dzielenie przez 10, 100
Dzieląc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo: $3{,}5:10=0{,}35$.
Na co uważać
Przecinek przesuwamy o tyle samo miejsc w obu liczbach.
Mnożenie ułamków dziesiętnych (klasa 5 SP)
Reguła
Mnożymy jak liczby naturalne (pomijając przecinki), a w wyniku odliczamy tyle miejsc po przecinku, ile mają łącznie oba czynniki.
Przykład
$$0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06$$ — razem dwa miejsca po przecinku.
Mnożenie przez 10, 100
Mnożąc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo: $2{,}5\cdot10=25$.
Na co uważać
Policz miejsca po przecinku w obu czynnikach i tyle odlicz w wyniku.
Potęgi liczb naturalnych (klasa 5 SP)
Zapis potęgi
$a^n$ to iloczyn $n$ jednakowych czynników $a$. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ wykładnikiem.
Przykłady
$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81,\qquad 10^3=1000$$
Potęgi dziesiątki
$10^n$ to jedynka z $n$ zerami: $10^2=100$, $10^4=10000$.
Kwadrat i sześcian
$a^2$ nazywamy kwadratem, a $a^3$ sześcianem liczby.
Szacowanie wyników działań (klasa 5 SP)
Po co szacujemy
Szacowanie daje przybliżony wynik, którym sprawdzamy sensowność dokładnych obliczeń.
Zaokrąglanie składników
Zaokrąglamy liczby do wygodnych wartości, np. $198+403\approx200+400=600$.
Przykład
$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000$$
Zastosowanie
Gdy dokładny wynik mocno różni się od oszacowania, warto sprawdzić rachunki.
Ułamek liczby (klasa 5 SP)
Co to znaczy
Ułamek liczby to jej część. Aby obliczyć $\frac{a}{b}$ z liczby, dzielimy ją przez $b$ i mnożymy przez $a$.
Przykład
$$\frac{2}{3}\ \text{z}\ 12 = 12:3\cdot2 = 8$$
Ułamek jako mnożenie
Obliczenie ułamka liczby to mnożenie: $\frac{2}{3}\cdot12=8$.
Zastosowanie
Tak liczymy część kwoty, długości czy liczby przedmiotów.
Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny (klasa 5 SP)
Metoda
Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.
Przykłady
$$\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad \frac{3}{4}=0{,}75,\qquad \frac{1}{5}=0{,}2$$
Rozszerzanie do 10, 100
Czasem wygodnie rozszerzyć ułamek do mianownika $10$ lub $100$: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0{,}75$.
Rozwinięcia okresowe
Niektóre ułamki dają rozwinięcie nieskończone okresowe, np. $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$
Budowanie wyrażeń algebraicznych (klasa 6 SP)
Czym jest wyrażenie algebraiczne
Wyrażenie algebraiczne zawiera liczby, litery (zmienne) i znaki działań, na przykład $2x+3$.
Zapisywanie treści symbolami
Słowa zamieniamy na symbole: „o $3$ więcej niż $x$" to $x+3$, a „dwa razy $x$" to $2x$.
Przykłady
Suma liczb $a$ i $b$: $a+b$. Iloczyn: $a\cdot b$. Liczba o $5$ mniejsza od $x$: $x-5$.
Wartość wyrażenia
Podstawiając liczby za litery, obliczamy wartość: dla $x=4$ wyrażenie $2x+3$ ma wartość $11$.
Pojęcie procentu (klasa 6 SP)
Czym jest procent
Procent to setna część całości: $1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$.
Najważniejsze wartości
$50\%$ to połowa, $25\%$ to jedna czwarta, a $100\%$ to cała całość.
Procent liczby
Aby obliczyć $p\%$ z liczby, mnożymy ją przez $\frac{p}{100}$. Np. $20\%$ z $50$ to $50\cdot0{,}2=10$.
Zastosowanie
Procenty spotykamy w rabatach, podwyżkach i oprocentowaniu.
Zamiana procentu na ułamek i odwrotnie (klasa 6 SP)
Procent na ułamek
Procent zapisujemy jako ułamek o mianowniku $100$: $30\%=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$.
Ułamek na procent
Ułamek zamieniamy na procent, mnożąc przez $100\%$: $\frac{1}{4}=25\%$.
Procent na ułamek dziesiętny
Dzielimy przez $100$: $7\%=0{,}07$.
Przykłady
$$50\%=\frac{1}{2},\qquad 0{,}2=20\%$$
Jakim procentem jednej liczby jest druga (klasa 6 SP)
Metoda
Aby obliczyć, jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$, dzielimy $a$ przez $b$ i mnożymy przez $100\%$.
Wzór
$$\frac{a}{b}\cdot100\%$$
Przykład
Jakim procentem liczby $50$ jest $10$? $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.
Na co uważać
W mianowniku stoi całość — liczba, do której odnosimy porównanie.
Obliczenia pieniężne i procentowe (klasa 6 SP)
Procent kwoty
Rabat lub podatek to procent kwoty: $20\%$ z $80$ zł to $16$ zł.
Podwyżka
Cena po podwyżce o $p\%$ to cena powiększona o $p\%$ jej wartości: $100$ zł $+10\%=110$ zł.
Obniżka
Cena po obniżce o $p\%$ to cena pomniejszona o $p\%$: $100$ zł $-20\%=80$ zł.
Zastosowanie
Tak liczymy ceny w sklepach oraz oprocentowanie lokat i kredytów.
Działania na liczbach całkowitych (klasa 6 SP)
Liczby całkowite
To liczby $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$ — dodatnie, ujemne oraz zero.
Dodawanie i odejmowanie
Dodanie liczby ujemnej to odejmowanie: $5+(-3)=2$. Odjęcie liczby ujemnej to dodawanie: $5-(-3)=8$.
Mnożenie i dzielenie
Wynik o zgodnych znakach jest dodatni, o różnych — ujemny: $(-2)\cdot(-3)=6$, a $(-2)\cdot3=-6$.
Wartość bezwzględna
$|-4|=4$ — to odległość liczby od zera na osi liczbowej.
Kolejność wykonywania działań (klasa 6 SP)
Kolejność
Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykład
$$10-2\cdot3+4=10-6+4=8$$
Z potęgami
$2+3^2=2+9=11$ — potęgę liczymy przed dodawaniem.
Nawiasy
Nawiasy zmieniają kolejność: $(10-2)\cdot3=24$.
Potęgi i ich własności (klasa 6 SP)
Iloczyn potęg
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
Iloraz potęg
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ dla $a\neq0$ — odejmujemy wykładniki.
Potęga potęgi
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ — wykładniki mnożymy.
Przykłady
$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad (3^2)^2=3^4=81$$
Upraszczanie wyrażeń algebraicznych (klasa 6 SP)
Wyrazy podobne
Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $3x$ i $5x$. Można je dodawać: $3x+5x=8x$.
Redukcja
Upraszczanie to redukcja wyrazów podobnych: $2a+3a-a=4a$.
Opuszczanie nawiasów
$2(x+3)=2x+6$. Przed znakiem minus zmieniamy znaki: $-(x-2)=-x+2$.
Przykład
$$4x+2(x-1)=4x+2x-2=6x-2$$
Wartość liczbowa wyrażenia (klasa 6 SP)
Co to jest
Wartość liczbowa wyrażenia to liczba otrzymana po podstawieniu konkretnych liczb za litery.
Przykład
Dla $x=3$ wyrażenie $2x+1$ ma wartość $2\cdot3+1=7$.
Więcej zmiennych
Dla $a=2$ i $b=5$ wyrażenie $a+b$ ma wartość $7$, a $a\cdot b$ wartość $10$.
Kolejność
Po podstawieniu zachowujemy kolejność działań: dla $x=4$ mamy $x^2-1=16-1=15$.
Równania — wprowadzenie (klasa 6 SP)
Czym jest równanie
Równanie to równość zawierająca niewiadomą, na przykład $x+3=7$.
Rozwiązanie
Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej spełniającą równość. Dla $x+3=7$ jest to $x=4$.
Metoda
Wykonujemy te same działania po obu stronach: od $x+3=7$ odejmujemy $3$ i otrzymujemy $x=4$.
Sprawdzenie
Podstawiamy wynik: $4+3=7$ — równość jest prawdziwa.
Działania na ułamkach — powtórzenie (klasa 6 SP)
Dodawanie i odejmowanie
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy (odejmujemy) liczniki: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$.
Mnożenie
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
Dzielenie
Dzielenie to mnożenie przez odwrotność: $\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot4=2$.
Skracanie
Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.
Graniastosłupy — powtórzenie (klasa 6 SP)
Budowa
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy oraz ściany boczne, które w graniastosłupie prostym są prostokątami.
Objętość
$$V=P_p\cdot H$$ pole podstawy razy wysokość.
Pole powierzchni
$$P_c=2P_p+P_b$$ gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Przykład: sześcian
Dla sześcianu o krawędzi $a$: $V=a^3$ oraz $P_c=6a^2$.
Pola wielokątów — powtórzenie (klasa 6 SP)
Prostokąt i kwadrat
Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$: $a\cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $a^2$.
Trójkąt
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ podstawa razy wysokość podzielone przez dwa.
Równoległobok i romb
Pole równoległoboku: $a\cdot h$. Pole rombu: $\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$ (połowa iloczynu przekątnych).
Trapez
$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$
Zadania tekstowe z równaniami (klasa 6 SP)
Jak rozwiązywać
Niewiadomą oznaczamy literą, np. $x$, i zapisujemy treść zadania równaniem.
Przykład
„Liczba powiększona o $5$ daje $12$": $x+5=12$, więc $x=7$.
Kolejne kroki
1. Wprowadź niewiadomą. 2. Ułóż równanie. 3. Rozwiąż je. 4. Sprawdź i zapisz odpowiedź.
Sprawdzenie
Podstawiamy wynik do treści zadania, aby upewnić się, że pasuje.
Jednomiany i sumy algebraiczne (klasa 7 SP)
Jednomian
Jednomian to iloczyn liczby i potęg zmiennych, np. $3x$, $-2ab$, $5x^2$. Liczbę nazywamy współczynnikiem.
Suma algebraiczna
Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x+3y-1$. Jednomiany nazywamy jej wyrazami.
Wyrazy podobne
Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $2x$ i $5x$ — można je redukować.
Stopień jednomianu
To suma wykładników zmiennych: $3x^2y$ ma stopień $3$.
Strona 13 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.