Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Pochodna funkcji złożonej i działania na pochodnych
Działania na pochodnych
$$(f+g)'=f'+g',\qquad (cf)'=cf'$$
$$(fg)'=f'g+fg' \quad\text{(iloczyn)}$$
Pochodna sumy to suma pochodnych, ale pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych — trzeba użyć pełnego wzoru.
Reguła łańcuchowa
$$\bigl[f(g(x))\bigr]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Pochodna funkcji zewnętrznej (w punkcie funkcji wewnętrznej) razy pochodna funkcji wewnętrznej. Najczęstszy błąd to pominięcie tego drugiego czynnika.
Typowe przykłady
$$\bigl[(2x+1)^3\bigr]'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2$$
$$\bigl[\sin(3x)\bigr]'=\cos(3x)\cdot3=3\cos(3x)$$
$$\bigl[(x^2+1)^5\bigr]'=5(x^2+1)^4\cdot2x=10x(x^2+1)^4$$
Potęga funkcji
$\left(\sin^2 x\right)'=2\sin x\cos x$ — to funkcja złożona ($u^2$ z $u=\sin x$), nie mylić z pochodną iloczynu.
Wybór metody
Dla prostych iloczynów (np. $(x+1)(x-3)$) często szybciej wymnożyć i różniczkować wyraz po wyrazie niż stosować wzór na iloczyn.
Na co uważać
W regule łańcuchowej nie zapomnij o pochodnej „wnętrza". Rozróżniaj $\cos(x^2)$ (funkcja złożona) od $\cos^2 x$ (kwadrat funkcji).
Reguła mnożenia, dodawania i wariacje z powtórzeniami
Reguła mnożenia
Gdy wybór składa się z niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$N=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Stosujemy ją, gdy wybieramy jedno i drugie.
Reguła dodawania
Gdy wybieramy jedną z rozłącznych grup możliwości (jedno albo drugie), liczby dodajemy. Np. książka fantasy albo kryminał: $6+4=10$.
Wariacje z powtórzeniami
Liczba $k$-elementowych ciągów ze zbioru $n$-elementowego (kolejność istotna, elementy mogą się powtarzać):
$$n^k$$
Podstawa to liczba dostępnych elementów, wykładnik — liczba pozycji.
Typowe zastosowania
Kody i PIN-y ($10^k$), ciągi binarne ($2^k$), tablice rejestracyjne, liczba funkcji ze zbioru $k$-elementowego w $n$-elementowy ($n^k$), liczba podzbiorów zbioru $n$-elementowego ($2^n$).
Zero na pierwszej pozycji
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem — trzeba to uwzględnić. Zaczynaj zliczanie od pozycji z najostrzejszym warunkiem.
Na co uważać
Mnożymy przy „i", dodajemy przy „albo". W $n^k$ nie zamień podstawy z wykładnikiem.
Liczby naturalne (klasa 1 LO)
Liczby pierwsze i złożone
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki. Każdą liczbę naturalną większą od $1$ można jednoznacznie rozłożyć na czynniki pierwsze.
NWD i NWW
Wyznaczamy je z rozkładu na czynniki. Zachodzi $\operatorname{NWD}(a,b)\cdot\operatorname{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
Cechy podzielności
Przez $2$, $5$, $10$ — z ostatniej cyfry; przez $3$ i $9$ — z sumy cyfr.
Zastosowania
Skracanie ułamków, wspólny mianownik, zadania o okresowości.
Liczby całkowite i wymierne (klasa 1 LO)
Zbiory liczbowe
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Liczby wymierne to ułamki $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych, gdzie $q\neq0$.
Rozwinięcie dziesiętne
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone albo nieskończone okresowe.
Działania
W zbiorze $\mathbb{Q}$ wykonalne są cztery działania (poza dzieleniem przez $0$).
Na osi liczbowej
Każdej liczbie wymiernej odpowiada punkt osi, lecz nie każdemu punktowi — liczba wymierna.
Liczby niewymierne (klasa 1 LO)
Definicja
Liczby niewymiernej nie da się zapisać jako $\frac{p}{q}$; jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
Przykłady
$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$. Niewymierność $\sqrt{2}$ dowodzimy nie wprost.
Działania
Suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna, ale suma dwóch niewymiernych bywa wymierna, np. $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$.
Liczby rzeczywiste
Wymierne i niewymierne razem tworzą zbiór $\mathbb{R}$.
Cechy podzielności liczb (klasa 1 LO)
Podstawowe cechy
Przez $2$ (ostatnia cyfra parzysta), $5$ (cyfra $0$ lub $5$), $10$ (cyfra $0$).
Przez 3 i 9
Gdy suma cyfr jest podzielna przez $3$ (odpowiednio przez $9$).
Przez 4 i 25
Gdy liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez $4$ (odpowiednio $25$).
Zastosowanie
Ułatwia rozkład na czynniki i skracanie ułamków.
Co to jest układ równań (klasa 1 LO)
Pojęcie
Układ to zbiór równań z tymi samymi niewiadomymi, rozwiązywany wspólnie.
Rozwiązanie
Para $(x,y)$ spełniająca jednocześnie wszystkie równania.
Rodzaje
Oznaczony (jedno rozwiązanie), sprzeczny (brak), nieoznaczony (nieskończenie wiele).
Metody
Podstawiania, przeciwnych współczynników oraz metoda graficzna.
Interpretacja geometryczna układu równań liniowych (klasa 1 LO)
Prosta
Każde równanie liniowe $ax+by=c$ przedstawia prostą.
Punkt przecięcia
Rozwiązanie układu to współrzędne punktu wspólnego prostych.
Trzy przypadki
Proste przecinają się (oznaczony), są równoległe różne (sprzeczny) albo pokrywają się (nieoznaczony).
Rozpoznanie
Równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne oznaczają układ sprzeczny.
Funkcja liniowa — zastosowania (klasa 1 LO)
Model liniowy
$y=ax+b$ opisuje stałe tempo zmian $a$ oraz wartość początkową $b$.
Przykłady
Koszt = opłata stała + cena za sztukę razy ilość; droga = prędkość razy czas.
Miejsce zerowe
$x=-\frac{b}{a}$ — argument, dla którego wielkość osiąga zero.
Interpretacja współczynnika
Dodatnie $a$ oznacza wzrost, ujemne — spadek, a $|a|$ to tempo zmian.
Funkcja liniowa — zagadnienia uzupełniające (klasa 1 LO)
Postacie prostej
Kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$.
Równoległość i prostopadłość
Proste równoległe: $a_1=a_2$. Prostopadłe: $a_1\cdot a_2=-1$.
Wyznaczanie wzoru
Z dwóch punktów: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, a $b$ z podstawienia.
Monotoniczność
$a>0$ — rosnąca, $a<0$ — malejąca, $a=0$ — stała.
Długość okręgu i liczba pi (klasa 1 LO)
Wzory
$L=2\pi r=\pi d$, gdzie $r$ to promień, a $d$ średnica.
Liczba pi
$\pi=\frac{L}{d}$ — stały stosunek obwodu do średnicy; liczba niewymierna, $\pi\approx3{,}14159$.
Długość łuku
Dla kąta środkowego $\alpha$ (w stopniach): $\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r$.
Zastosowanie
Obwody kół, długości łuków oraz miara łukowa kąta.
Liczby rzeczywiste — zagadnienia uzupełniające (klasa 1 LO)
Zbiór liczb rzeczywistych
$\mathbb{R}$ obejmuje liczby wymierne i niewymierne — wypełniają całą oś liczbową.
Przedziały
Zbiory liczb zapisujemy jako przedziały, np. $\langle 2,5)$ oznacza $2\le x<5$.
Wartość bezwzględna
$|x|$ to odległość od zera; nierówność $|x| Zaokrąglenie liczby wiąże się z błędem bezwzględnym i względnym.Przybliżenia
Dodawanie i odejmowanie wielomianów (klasa 2 LO)
Wielomian
Wyrażenie postaci $a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$. Stopień to najwyższy wykładnik zmiennej o niezerowym współczynniku.
Dodawanie
Redukujemy wyrazy podobne — o tej samej potędze $x$.
Odejmowanie
Zmieniamy znaki wszystkich wyrazów odjemnika, a potem dodajemy.
Stopień sumy
Nie przekracza większego ze stopni; może się obniżyć, gdy skasują się wyrazy najwyższego stopnia.
Mnożenie wielomianów (klasa 2 LO)
Zasada
Każdy wyraz pierwszego wielomianu mnożymy przez każdy wyraz drugiego, a następnie redukujemy wyrazy podobne.
Stopień iloczynu
Równy sumie stopni czynników.
Wzory skróconego mnożenia
$(a\pm b)^2$, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $(a\pm b)^3$, $a^3\pm b^3$.
Przykład
$(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$.
Koło (klasa 2 LO)
Koło i okrąg
Okrąg to zbiór punktów odległych od środka o promień $r$; koło to okrąg wraz z wnętrzem.
Długość i pole
$L=2\pi r$ oraz $P=\pi r^2$.
Równanie okręgu
W układzie współrzędnych: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Wycinek koła
Pole wycinka o kącie środkowym $\alpha$: $\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$.
Czworokąty wypukłe (klasa 2 LO)
Definicja
Czworokąt wypukły ma wszystkie kąty wewnętrzne mniejsze od $180^\circ$, a jego przekątne leżą wewnątrz figury.
Suma kątów
Wynosi $360^\circ$.
Szczególne przypadki
Równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat i trapez — każdy ma własne własności boków i przekątnych.
Pole
Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty i zsumować ich pola.
Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego (klasa 2 LO)
Zakres
Dla kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$ definiujemy sinus, cosinus i tangens.
Wzory redukcyjne
$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ oraz $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$.
Znaki
W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus ujemny.
Jedynka trygonometryczna
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Funkcja kwadratowa — zastosowania (1) (klasa 2 LO)
Model
$y=ax^2+bx+c$ opisuje zależności z ekstremum, np. lot ciała lub pole figury.
Wierzchołek
$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$, gdzie $\Delta=b^2-4ac$.
Wartość ekstremalna
Dla $a>0$ najmniejsza wartość to $q$, dla $a<0$ największa to $q$.
Przykład
Prostokąt o danym obwodzie ma największe pole, gdy jest kwadratem.
Funkcja kwadratowa — zastosowania (2) (klasa 2 LO)
Postacie funkcji
Ogólna $ax^2+bx+c$, kanoniczna $a(x-p)^2+q$, iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$.
Miejsca zerowe
$\Delta=b^2-4ac$, a pierwiastki $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Optymalizacja
Wartość największą lub najmniejszą znajdujemy w wierzchołku paraboli.
Nierówności kwadratowe
Znak trójmianu zależy od znaku $a$ oraz od wyróżnika $\Delta$.
Funkcja kwadratowa — zagadnienia uzupełniające (klasa 2 LO)
Wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie pierwiastków: $\Delta>0$ dwa, $\Delta=0$ jeden, $\Delta<0$ brak pierwiastków rzeczywistych.
Wzory Viète’a
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ oraz $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$.
Postać iloczynowa
$a(x-x_1)(x-x_2)$ istnieje, gdy $\Delta\ge0$.
Zastosowanie
Równania i nierówności kwadratowe oraz zadania optymalizacyjne.
Funkcje wykładnicza i logarytmiczna — zastosowania (klasa 2 LO)
Funkcja wykładnicza
$y=a\cdot b^x$ modeluje wzrost lub rozpad (np. procent składany, rozpad promieniotwórczy).
Logarytm
$\log_a b=c$ oznacza $a^c=b$. Skale logarytmiczne to m.in. pH i decybele.
Procent składany
$K_n=K_0(1+p)^n$, gdzie $p$ to oprocentowanie, a $n$ liczba okresów.
Zastosowania
Wzrost populacji, odsetki bankowe, natężenie dźwięku.
Konstrukcja wspólnej stycznej do dwóch okręgów (klasa 2 LO)
Styczna do okręgu
Prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny; jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Styczne wspólne
Dwa okręgi mają do czterech wspólnych stycznych — zewnętrznych i wewnętrznych.
Liczba stycznych
Zależy od odległości środków $d$ oraz sumy i różnicy promieni.
Zastosowanie
Przekładnie pasowe, koła zębate, konstrukcje geometryczne.
Okrąg (klasa 2 LO)
Definicja
Okrąg to zbiór punktów płaszczyzny odległych od środka o promień $r$.
Długość
$L=2\pi r=\pi d$.
Równanie
W układzie współrzędnych: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Styczna
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Pole czworokąta (klasa 2 LO)
Prostokąt i kwadrat
Pole prostokąta $a\cdot b$, kwadratu $a^2$.
Równoległobok i romb
Równoległobok $a\cdot h$; romb $\frac{1}{2}d_1 d_2$.
Trapez
$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$.
Dowolny czworokąt
Dzielimy przekątną na dwa trójkąty i sumujemy ich pola.
Strona 17 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.