Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Współczynnik kierunkowy prostej a tangens (klasa 2 LO)
Związek
Współczynnik kierunkowy $a=\operatorname{tg}\alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi $OX$.
Znak
$a>0$ — kąt ostry (prosta rosnąca), $a<0$ — kąt rozwarty (malejąca).
Prosta pozioma
$a=0$, kąt $0^\circ$.
Przykład
Prosta o $a=1$ nachylona jest pod kątem $45^\circ$.
Wykres wielomianu (klasa 2 LO)
Miejsca zerowe
To pierwiastki wielomianu; w nich wykres przecina lub dotyka osi $OX$.
Krotność
Krotność nieparzysta — przecięcie osi; parzysta — dotknięcie.
Zachowanie na końcach
Zależy od stopnia i znaku współczynnika wiodącego.
Szkic
Ustalamy pierwiastki, ich krotności i kierunek ramion.
Wielomiany — zastosowania (klasa 2 LO)
Modele
Wielomiany opisują objętości, pola i zależności w zadaniach.
Równania
Rozwiązujemy je, rozkładając na czynniki.
Optymalizacja
Ekstrema wyznaczamy, badając wielomian i jego wykres.
Przykład
Objętość pudełka jako funkcja długości boku prowadzi do wielomianu trzeciego stopnia.
Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 18, 36, 54, 72 stopni (klasa 2 LO)
Pochodzenie
Wynikają z pięciokąta foremnego i związane są z liczbą złotą.
Wartość
$\cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}$.
Zależności
$\sin18^\circ=\cos72^\circ$ oraz $\cos54^\circ=\sin36^\circ$ (kąty dopełniające).
Zastosowanie
Konstrukcje pięciokąta i obliczenia w wielokątach foremnych.
Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej (klasa 2 LO)
Wierzchołek
$(p,q)$, gdzie $p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.
Ramiona
W górę dla $a>0$, w dół dla $a<0$.
Miejsca zerowe
Z $\Delta$: dwa, jedno lub brak.
Oś symetrii
Prosta $x=p$.
Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej — cz. 2 (klasa 2 LO)
Przesunięcie
$y=a^{x-p}+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$; asymptota $y=q$.
Odbicia
$y=a^{-x}$ to odbicie względem osi $OY$; $y=-a^x$ względem osi $OX$.
Rozciągnięcia
$y=c\cdot a^x$ rozciąga wykres pionowo.
Dziedzina
Cały zbiór liczb rzeczywistych.
Środek odcinka (klasa 3 LO)
Wzór
Środek odcinka o końcach $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ to $S\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.
Interpretacja
Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.
Przykład
Dla $A(1,2)$, $B(5,4)$ środek to $(3,3)$.
Zastosowanie
Znajdowanie środka ciężkości, punktu symetrii.
Średnia arytmetyczna (klasa 3 LO)
Wzór
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
Suma
Suma danych to $n\cdot\bar{x}$.
Wrażliwość
Średnia jest czuła na wartości skrajne.
Przykład
Średnia $2,4,9$ to $5$.
Średnia ważona (klasa 3 LO)
Wzór
$\bar{x}=\frac{w_1 x_1+\ldots+w_n x_n}{w_1+\ldots+w_n}$.
Wagi
$w_i$ to znaczenie (waga) danej wartości.
Zastosowanie
Średnia ważona ocen, gdzie sprawdziany mają większą wagę.
Uwaga
Przy równych wagach średnia ważona równa się arytmetycznej.
Sposoby określania ciągu (klasa 3 LO)
Wzór ogólny
Podaje $a_n$ wprost, np. $a_n=2n+1$.
Rekurencja
Pierwszy wyraz i reguła przejścia, np. $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+3$.
Opis słowny
Np. „kolejne liczby pierwsze".
Tabela lub wykres
Przedstawienie pierwszych wyrazów.
Ruch po okręgu (klasa 3 LO)
Okres i częstotliwość
Okres $T$ to czas jednego obiegu; częstotliwość $f=\frac{1}{T}$.
Prędkość kątowa
$\omega=\frac{2\pi}{T}$ (radiany na sekundę).
Długość łuku
$l=r\alpha$ (kąt w radianach).
Zastosowanie
Modelowanie obrotów, zegarów, kół.
Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych (klasa 3 LO)
Źródła
Wartości odczytujemy z tablic lub kalkulatora.
Wartości dokładne
Dla kątów $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ znamy wartości dokładne.
Zaokrąglenia
Wyniki podajemy z ustaloną dokładnością, np. do dwóch miejsc.
Zastosowanie
Obliczenia w zadaniach praktycznych i geometrii.
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor (klasa 3 LO)
Wzór
$y=f(x-p)+q$ przesuwa wykres $y=f(x)$ o wektor $[p,q]$.
Poziomo
$p>0$ w prawo, $p<0$ w lewo.
Pionowo
$q>0$ w górę, $q<0$ w dół.
Przykład
$y=(x-2)^2+3$ to $y=x^2$ przesunięte o $[2,3]$.
Rachunek różniczkowy — zagadnienia uzupełniające (klasa 3 LO)
Pochodna
$f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie.
Podstawowe wzory
$(x^n)'=nx^{n-1}$, pochodna sumy to suma pochodnych.
Monotoniczność
$f'(x)>0$ — funkcja rosnąca, $f'(x)<0$ — malejąca.
Ekstrema
W ekstremum $f'(x_0)=0$ i pochodna zmienia znak.
Ciągi arytmetyczne i geometryczne — wzory (klasa 3 LO)
Arytmetyczny
$a_n=a_1+(n-1)r$, $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
Geometryczny
$a_n=a_1 q^{n-1}$, $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq1$.
Własności
Wyraz środkowy to średnia (arytmetyczna lub geometryczna) sąsiadów.
Zastosowanie
Odsetki, spłaty, wzrost i rozpad.
Statystyka — zagadnienia uzupełniające (klasa 3 LO)
Miary położenia
Średnia, mediana, dominanta opisują typową wartość.
Miary rozrzutu
Rozstęp, wariancja $\sigma^2$, odchylenie standardowe $\sigma$.
Odchylenie
$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2}$.
Interpretacja
Mniejsze odchylenie oznacza dane bardziej skupione wokół średniej.
Liczby rzeczywiste i wyrażenia — powtórzenie (klasa 4 LO)
Zbiory liczb
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
Potęgi i pierwiastki
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
Logarytmy
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
Wzory skróconego mnożenia
$(a\pm b)^2$, $a^2-b^2$, $a^3\pm b^3$.
Planimetria — powtórzenie (klasa 4 LO)
Trójkąty
Suma kątów $180^\circ$; twierdzenia sinusów i cosinusów.
Pola
Trójkąt $\frac{1}{2}ab\sin C$; koło $\pi r^2$.
Okrąg
Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty; styczna prostopadła do promienia.
Podobieństwo
Stosunek pól figur podobnych to $k^2$.
Geometria analityczna — powtórzenie (klasa 4 LO)
Prosta
$y=ax+b$; równoległe $a_1=a_2$, prostopadłe $a_1 a_2=-1$.
Odległości
Punkt od prostej $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.
Okrąg
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Wektory
Iloczyn skalarny $a_1b_1+a_2b_2$; wektory prostopadłe mają iloczyn $0$.
Trygonometria — powtórzenie (klasa 4 LO)
Definicje
W trójkącie prostokątnym i na okręgu jednostkowym.
Tożsamości
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Wzory
Sumy i różnicy kątów, kąt podwójny, wzory redukcyjne.
Równania
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
Stereometria — powtórzenie (klasa 4 LO)
Graniastosłupy
$V=P_p H$, $P_c=2P_p+P_b$.
Ostrosłupy
$V=\frac{1}{3}P_p H$.
Bryły obrotowe
Walec $V=\pi r^2 H$; kula $V=\frac{4}{3}\pi r^3$, $P=4\pi r^2$.
Kąty
Kąt między prostą a płaszczyzną oraz kąt dwuścienny.
Rachunek różniczkowy — powtórzenie (klasa 4 LO)
Pochodne
$(x^n)'=nx^{n-1}$; pochodna sumy, iloczynu i złożenia.
Styczna
$f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej.
Monotoniczność
Znak pochodnej wyznacza przedziały wzrostu i spadku.
Ekstrema i optymalizacja
W ekstremum $f'(x_0)=0$; stosujemy w zadaniach na wartość największą i najmniejszą.
Kombinatoryka i prawdopodobieństwo — powtórzenie (klasa 4 LO)
Zliczanie
Reguła mnożenia i dodawania; $P_n=n!$, $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Prawdopodobieństwo
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$; $P(A')=1-P(A)$.
Niezależność
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Bayes
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
Statystyka — powtórzenie (klasa 4 LO)
Miary położenia
Średnia $\bar{x}$, mediana, dominanta.
Średnia ważona
$\frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$.
Rozrzut
Rozstęp, wariancja i odchylenie standardowe $\sigma$.
Interpretacja
Mniejsze $\sigma$ oznacza dane bardziej skupione.
Strona 21 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.