Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Stopień i współczynniki wielomianu (klasa 2 LO)
Stopień
To najwyższy wykładnik zmiennej o niezerowym współczynniku.
Współczynnik wiodący
Współczynnik przy najwyższej potędze; wyraz wolny to $a_0$.
Wartość
$W(0)$ równa się wyrazowi wolnemu.
Równość wielomianów
Dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach.
Trójkąt Pascala (klasa 2 LO)
Budowa
Każda liczba to suma dwóch nad nią; brzegi to jedynki.
Symbol Newtona
Wiersz $n$ zawiera $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.
Dwumian
Wiersze dają współczynniki rozwinięcia $(a+b)^n$.
Przykład
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ — współczynniki $1,2,1$.
Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych (klasa 2 LO)
Funkcje
$\sin\alpha=\frac{a}{c}$, $\cos\alpha=\frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}$.
Twierdzenie Pitagorasa
$a^2+b^2=c^2$.
Wyznaczanie
Znając bok i kąt, obliczamy pozostałe boki z odpowiednich funkcji.
Przykład
Przeciwprostokątna $10$, kąt $30^\circ$: przyprostokątna $10\sin30^\circ=5$.
Równania wielomianowe (klasa 2 LO)
Metoda
Rozwiązujemy przez rozkład na czynniki i twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (dzielniki wyrazu wolnego).
Twierdzenie Bézouta
$x_0$ jest pierwiastkiem $\iff (x-x_0)$ dzieli wielomian.
Równania wyższych stopni
Sprowadzamy do iloczynu czynników niższych stopni.
Wzór Cardano
Pozwala rozwiązać równanie trzeciego stopnia postaci $x^3+px+q=0$.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną — cz. 2 (klasa 2 LO)
Równania
$|ax+b|=c$ (dla $c\ge0$) rozbijamy na $ax+b=c$ oraz $ax+b=-c$.
Nierówności
$|ax+b|
Interpretacja
$|x-a|$ to odległość $x$ od $a$ na osi liczbowej.
Suma modułów
Równania z kilkoma modułami rozwiązujemy przedziałami.
Przekształcenia wykresu funkcji trygonometrycznej (klasa 3 LO)
Amplituda
W $y=a\sin x$ liczba $|a|$ to amplituda (rozciągnięcie pionowe).
Okres
W $y=\sin(bx)$ okres wynosi $\frac{2\pi}{|b|}$.
Przesunięcie
$y=\sin(x-p)+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$.
Odbicia
$y=-\sin x$ to odbicie względem osi $OX$.
Okrąg wpisany w trójkąt w układzie współrzędnych (klasa 3 LO)
Środek
To punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.
Promień
$r=\frac{P}{p}$, gdzie $P$ to pole, a $p$ połowa obwodu.
W układzie
Pole i boki liczymy ze współrzędnych wierzchołków.
Przykład
Trójkąt $3,4,5$: $P=6$, $p=6$, więc $r=1$.
Ciągi monotoniczne — badanie (klasa 3 LO)
Metoda różnicy
Badamy znak $a_{n+1}-a_n$: dodatni — rosnący, ujemny — malejący.
Metoda ilorazu
Dla wyrazów dodatnich porównujemy $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ z $1$.
Ograniczoność
Ciąg jest ograniczony, gdy istnieją stałe $m\le a_n\le M$.
Zbieżność
Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające (klasa 3 LO)
Prosta
Postać kierunkowa $y=ax+b$ i ogólna $Ax+By+C=0$.
Odległości
Punkt od prostej: $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$; między punktami z twierdzenia Pitagorasa.
Okrąg
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Pole trójkąta
Wzór wyznacznikowy ze współrzędnych wierzchołków.
Funkcje trygonometryczne — zagadnienia uzupełniające (klasa 3 LO)
Tożsamości
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Wzory redukcyjne
Sprowadzają funkcje dowolnego kąta do kąta ostrego.
Sumy kątów
$\sin(\alpha\pm\beta)$, $\cos(\alpha\pm\beta)$ oraz wzory na kąt podwójny.
Równania
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
Miary kątów w trójkącie (klasa 1 LO)
Suma kątów
W każdym trójkącie kąty wewnętrzne sumują się do $180^\circ$.
Kąt zewnętrzny
Równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.
Trójkąty szczególne
Równoboczny — kąty po $60^\circ$; prostokątny — kąty ostre sumują się do $90^\circ$.
Nierówność
Naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt.
Pola wielokątów podobnych (klasa 1 LO)
Skala
Stosunek boków odpowiednich to skala podobieństwa $k$.
Stosunek pól
Pola figur podobnych są w stosunku $k^2$.
Stosunek obwodów
Obwody są w stosunku $k$.
Przykład
Dla $k=3$ pole rośnie $9$ razy.
Postać kanoniczna i ogólna funkcji kwadratowej (klasa 1 LO)
Postać ogólna
$y=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq0$.
Postać kanoniczna
$y=a(x-p)^2+q$; wierzchołek $(p,q)$.
Współrzędne wierzchołka
$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.
Ramiona
Skierowane w górę dla $a>0$, w dół dla $a<0$.
Procenty (klasa 1 LO)
Procent liczby
$p\%$ z $A$ to $\frac{p}{100}\cdot A$.
Jakim procentem
Liczba $a$ stanowi $\frac{a}{b}\cdot100\%$ liczby $b$.
Podwyżka i obniżka
Zmiana o $p\%$: nowa wartość to $A(1\pm\frac{p}{100})$.
Procent składany
$K_n=K_0(1+p)^n$.
Proporcjonalność odwrotna (klasa 1 LO)
Wzór
$y=\frac{a}{x}$; iloczyn $x\cdot y=a$ jest stały.
Wykres
Hiperbola o asymptotach $x=0$ i $y=0$.
Zależność
Gdy $x$ rośnie, $y$ maleje.
Przykład
Stała droga: prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.
Przesunięcie paraboli y=ax^2 (klasa 1 LO)
Wzdłuż OY
$y=ax^2+q$ przesuwa wykres pionowo o $q$.
Wzdłuż OX
$y=a(x-p)^2$ przesuwa poziomo o $p$.
O wektor
$y=a(x-p)^2+q$ to przesunięcie o $[p,q]$; wierzchołek $(p,q)$.
Przykład
$y=(x-2)^2+3$ ma wierzchołek $(2,3)$.
Punkty szczególne w trójkącie (klasa 1 LO)
Środek okręgu wpisanego
Przecięcie dwusiecznych kątów.
Środek okręgu opisanego
Przecięcie symetralnych boków.
Środek ciężkości
Przecięcie środkowych; dzieli je w stosunku $2:1$.
Ortocentrum
Przecięcie wysokości trójkąta.
Rozwiązywanie nierówności (klasa 1 LO)
Nierówności liniowe
Przekształcamy jak równania, ale przy mnożeniu przez liczbę ujemną odwracamy znak.
Zbiór rozwiązań
Zapisujemy jako przedział, np. $x>3$ to $(3,+\infty)$.
Układy nierówności
Rozwiązaniem jest część wspólna zbiorów.
Na osi
Kółko otwarte dla nierówności ostrej, domknięte dla nieostrej.
Przeliczanie postaci funkcji kwadratowej (klasa 1 LO)
Ogólna na kanoniczną
Wyznaczamy $p=-\frac{b}{2a}$ i $q$ z podstawienia.
Kanoniczna na ogólną
Rozwijamy kwadrat $a(x-p)^2+q$.
Postać iloczynowa
$a(x-x_1)(x-x_2)$ istnieje, gdy $\Delta\ge0$.
Wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie miejsc zerowych.
Funkcje — zagadnienia uzupełniające (klasa 1 LO)
Dziedzina i zbiór wartości
Dziedzina to zbiór argumentów, zbiór wartości — przyjmowanych $y$.
Miejsce zerowe
Argument, dla którego $f(x)=0$.
Monotoniczność
Funkcja rosnąca, malejąca lub stała w przedziale.
Odczyt z wykresu
Z wykresu odczytujemy wartości, znak i przedziały monotoniczności.
Trójkąty prostokątne (klasa 2 LO)
Twierdzenie Pitagorasa
$a^2+b^2=c^2$, gdzie $c$ to przeciwprostokątna.
Funkcje trygonometryczne
$\sin\alpha=\frac{a}{c}$, $\cos\alpha=\frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}$.
Trójkąt 45-45-90
Przyprostokątne równe, przeciwprostokątna $a\sqrt2$.
Trójkąt 30-60-90
Boki w stosunku $1:\sqrt3:2$.
Trygonometria — zastosowania (klasa 2 LO)
Pomiary pośrednie
Obliczamy wysokości i odległości niedostępne bezpośrednio.
Kąt nachylenia
Z tangensa wyznaczamy nachylenie stoku lub drogi.
Twierdzenia
Twierdzenie sinusów i cosinusów rozwiązują dowolny trójkąt.
Przykład
Wysokość drzewa: $h=d\cdot\operatorname{tg}\alpha$, gdzie $d$ to odległość, $\alpha$ kąt.
Wielokąty foremne (klasa 2 LO)
Definicja
Wielokąt foremny ma wszystkie boki i kąty równe.
Kąt wewnętrzny
W $n$-kącie foremnym każdy kąt ma $\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.
Symetrie
$n$-kąt foremny ma $n$ osi symetrii.
Okręgi
W każdy wielokąt foremny można wpisać i opisać okrąg o wspólnym środku.
Własności funkcji wykładniczej (klasa 2 LO)
Wzór
$y=a^x$ dla $a>0$ i $a\neq1$.
Monotoniczność
Rosnąca dla $a>1$, malejąca dla $0 Przechodzi przez $(0,1)$; asymptota pozioma $y=0$. Wartości dodatnie: $y>0$.Wykres
Zbiór wartości
Strona 20 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.