Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Potęga o wykładniku rzeczywistym (klasa 2 LO)
Rozszerzenie potęgi
Dla $a>0$ definiujemy potęgi o wykładniku całkowitym, wymiernym i rzeczywistym; $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
Prawa działań
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
Przykład
$8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=4$.
Zastosowanie
Podstawa funkcji wykładniczej i logarytmicznej.
Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej (klasa 2 LO)
Wykres podstawowy
$y=\log_a x$ ma dziedzinę $x>0$ i asymptotę pionową $x=0$.
Przesunięcie
$y=\log_a(x-p)+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$; asymptota to $x=p$.
Monotoniczność
Dla $a>1$ funkcja rosnąca, dla $0 Logarytmiczna jest odwrotna do wykładniczej o tej samej podstawie.Związek
Przekształcenia wykresu funkcji wymiernej (klasa 2 LO)
Funkcja podstawowa
$y=\frac{a}{x}$ to hiperbola o asymptotach $x=0$ i $y=0$.
Przesunięcie
$y=\frac{a}{x-p}+q$ ma asymptoty $x=p$ i $y=q$.
Dziedzina
Wykluczamy argument zerujący mianownik.
Znak a
Znak $a$ decyduje o położeniu gałęzi hiperboli.
Przesunięcie wykresu f(x)=a/x o wektor (klasa 2 LO)
Wektor przesunięcia
$y=\frac{a}{x-p}+q$ powstaje z $y=\frac{a}{x}$ przez przesunięcie o wektor $[p,q]$.
Asymptoty
Pionowa $x=p$, pozioma $y=q$.
Środek symetrii
Punkt przecięcia asymptot $(p,q)$ jest środkiem symetrii hiperboli.
Przykład
$y=\frac{2}{x-1}+3$ ma asymptoty $x=1$, $y=3$.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną (klasa 2 LO)
Wartość bezwzględna
$|x|$ to odległość $x$ od zera na osi liczbowej.
Równania
$|x|=a$ (dla $a\ge0$) ma rozwiązania $x=a$ lub $x=-a$.
Nierówności
$|x|
Interpretacja
$|x-c|$ to odległość $x$ od punktu $c$.
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — zagadnienia uzupełniające (klasa 2 LO)
Równania wykładnicze
Sprowadzamy do wspólnej podstawy: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ daje $f(x)=g(x)$.
Równania logarytmiczne
Korzystamy z definicji i dziedziny: $\log_a x=b$ oznacza $x=a^b$, przy $x>0$.
Własności logarytmów
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
Dziedzina
W logarytmie argument i podstawa muszą być dodatnie, podstawa $\neq1$.
Funkcje wymierne — zagadnienia uzupełniające (klasa 2 LO)
Dziedzina
Wykluczamy argumenty zerujące mianownik.
Równania wymierne
Rozwiązujemy, mnożąc przez mianownik i sprawdzając dziedzinę.
Asymptoty
Pionowe w miejscach zerowania mianownika, pozioma zależna od stopni.
Skracanie
Po skróceniu punkt wykluczony pozostaje poza dziedziną.
Planimetria — zagadnienia uzupełniające (klasa 2 LO)
Twierdzenie sinusów
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
Twierdzenie cosinusów
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Pole trójkąta
$P=\frac{1}{2}ab\sin C$.
Okrąg opisany i wpisany
Promienie wiążą się z bokami i polem trójkąta.
Ciągi określone rekurencyjnie (klasa 3 LO)
Definicja
Ciąg zadany rekurencyjnie ma podany pierwszy wyraz i regułę wyznaczania następnego: $a_1=c$, $a_{n+1}=f(a_n)$.
Przykład
$a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+2$ daje $1,3,5,7,\ldots$
Ciąg Fibonacciego
$a_1=a_2=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$.
Uwaga
Aby obliczyć daleki wyraz, trzeba wyznaczyć wyrazy pośrednie.
Ciągi monotoniczne (klasa 3 LO)
Definicja
Ciąg jest rosnący, gdy $a_{n+1}>a_n$ dla każdego $n$, i malejący, gdy $a_{n+1} Wyznaczamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ lub ilorazu $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (dla wyrazów dodatnich). $a_n=2n-1$ jest rosnący, bo $a_{n+1}-a_n=2>0$. Gdy $a_{n+1}=a_n$ dla każdego $n$.Badanie
Przykład
Ciąg stały
Ciągi rozbieżne (klasa 3 LO)
Definicja
Ciąg rozbieżny nie ma skończonej granicy.
Do nieskończoności
Np. $a_n=n$ dąży do $+\infty$.
Oscylujące
Np. $a_n=(-1)^n$ przyjmuje na przemian $-1$ i $1$ — brak granicy.
Uwaga
Rozbieżność do $\pm\infty$ to granica niewłaściwa.
Granica ciągu (klasa 3 LO)
Pojęcie
Ciąg jest zbieżny do $g$, gdy jego wyrazy dowolnie zbliżają się do $g$ dla dużych $n$: $\lim_{n\to\infty} a_n=g$.
Podstawowe granice
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$, $\lim_{n\to\infty} c=c$.
Granice ilorazów
Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$.
Przykład
$\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}=2$.
Granice jednostronne (klasa 3 LO)
Definicja
Granica lewostronna $\lim_{x\to x_0^-}$ i prawostronna $\lim_{x\to x_0^+}$ opisują zachowanie funkcji z jednej strony punktu.
Warunek istnienia granicy
Granica (dwustronna) istnieje, gdy obie jednostronne są równe.
Przykład
Dla $f(x)=\frac{1}{x}$ granice jednostronne w $0$ to $-\infty$ i $+\infty$ — różne.
Funkcje ciągłe
Dla funkcji ciągłej granice jednostronne równają się $f(x_0)$.
Granice niewłaściwe (klasa 3 LO)
Pojęcie
Granica niewłaściwa to $+\infty$ lub $-\infty$, gdy funkcja rośnie lub maleje nieograniczenie.
Asymptota pionowa
Jeśli $\lim_{x\to x_0} f(x)=\pm\infty$, to prosta $x=x_0$ jest asymptotą pionową.
Przykład
$\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty$.
W nieskończoności
Rozważamy też $\lim_{x\to\infty} f(x)$ — asymptoty poziome.
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta (klasa 3 LO)
Okrąg jednostkowy
Dla kąta $\alpha$ punkt na okręgu ma współrzędne $(\cos\alpha,\sin\alpha)$.
Znaki w ćwiartkach
I: wszystkie dodatnie; II: sin$+$; III: tg$+$; IV: cos$+$.
Wartości szczególne
$\sin90^\circ=1$, $\cos180^\circ=-1$, $\sin270^\circ=-1$.
Okresowość
$\sin$ i $\cos$ mają okres $360^\circ$ ($2\pi$), $\operatorname{tg}$ okres $180^\circ$.
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (klasa 3 LO)
Definicje
$\sin\alpha=\frac{a}{c}$, $\cos\alpha=\frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}$.
Elementy
$a$ — przyprostokątna przeciwległa, $b$ — przyległa, $c$ — przeciwprostokątna.
Wartości
$\sin30^\circ=\frac12$, $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$.
Jedynka
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów (klasa 3 LO)
Sinus
$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$.
Cosinus
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$.
Kąt podwójny
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.
Zastosowanie
Obliczanie wartości kątów $15^\circ$, $75^\circ$ oraz przekształcanie wyrażeń.
Inne miary rozrzutu danych (klasa 3 LO)
Rozstęp
Różnica między największą a najmniejszą wartością.
Wariancja
Średnia kwadratów odchyleń od średniej: $\sigma^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2$.
Odchylenie standardowe
$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ — mierzy typowe odchylenie od średniej.
Zastosowanie
Porównywanie rozproszenia danych o tej samej średniej.
Pojęcie ciągu (klasa 3 LO)
Definicja
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych; wartości $a_1,a_2,a_3,\ldots$ to wyrazy ciągu.
Sposoby zadawania
Wzorem ogólnym $a_n$, rekurencyjnie lub opisem.
Wyraz ogólny
$a_n$ pozwala obliczyć dowolny wyraz, np. $a_n=2n$ daje $a_5=10$.
Wykres
To zbiór odizolowanych punktów $(n,a_n)$.
Ciąg arytmetyczny (klasa 3 LO)
Definicja
Każdy wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$: $a_{n+1}=a_n+r$.
Wyraz ogólny
$a_n=a_1+(n-1)r$.
Suma
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
Własność
Każdy wyraz (poza skrajnymi) to średnia sąsiadów: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
Ciąg geometryczny (klasa 3 LO)
Definicja
Każdy wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$: $a_{n+1}=a_n\cdot q$.
Wyraz ogólny
$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.
Suma
$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq1$.
Własność
Kwadrat wyrazu to iloczyn sąsiadów: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Obliczanie granic ciągów (klasa 3 LO)
Metoda
W ilorazach wielomianów dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$.
Przykład
$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{n^2+n}=3$.
Twierdzenia
Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych to odpowiednie działania na granicach.
Ciąg geometryczny
Dla $|q|<1$ zachodzi $\lim_{n\to\infty} q^n=0$.
Obliczanie granic funkcji (klasa 3 LO)
Podstawianie
Dla funkcji ciągłej $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$.
Symbole nieoznaczone
Wyrażenia typu $\frac{0}{0}$ przekształcamy (skracamy, rozkładamy na czynniki).
Przykład
$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$.
W nieskończoności
Dla ilorazów wielomianów decyduje stosunek najwyższych potęg.
Kąt obrotu (klasa 3 LO)
Kierunek
Kąt dodatni odmierzamy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, ujemny — zgodnie.
Kąty współkońcowe
Różnią się o wielokrotność $360^\circ$ ($2\pi$).
Miara łukowa
$180^\circ=\pi$ rad; kąt pełny to $2\pi$.
Przykład
$405^\circ$ jest współkońcowy z $45^\circ$.
Strona 18 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.