Na początku musimy obliczyć wartość naszej liczby. Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-5}{2^{-2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}=\frac{2-5}{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{-3}{\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}=\frac{-3}{-\frac{8}{4}}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$$

Musimy jeszcze podać liczbę odwrotną do liczby \(\frac{3}{2}\), a więc poszukiwaną liczbą będzie \(\frac{2}{3}\).

Iloczyn zbiorów to zbiór, który zawiera elementy znajdujące się jednocześnie w jednym i drugim zbiorze. Skoro iloczynem zbiorów jest przedział \(\langle2, 7\rangle\), to możemy wywnioskować, że ten przedział musi znaleźć się zarówno w zbiorze \(A\) jak i \(B\). Aby tak się stało, to \(m\) musi być równe \(2\).

Liczbę \(a\) możemy zapisać jako \(a=\frac{x}{y}\). Skoro licznik mamy zwiększyć o \(20\%\), a mianownik zmniejszyć o \(20\%\), to w liczniku będziemy mieć \(1,2x\), a w mianowniku \(0,8y\). To oznacza, że:
$$b=\frac{1,2x}{0,8y}=\frac{1,2}{0,8}\cdot\frac{x}{y}=1,5\cdot\frac{x}{y}=1,5a$$

Aby poznać rozwinięcie dziesiętne ułamka \(\frac{5}{7}\), wystarczy na kalkulatorze podzielić \(5\) przez \(7\), dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{5}{7}=0,714285714285...=0,(714285)$$

Kluczem do sukcesu jest tutaj dostrzeżenie, że pojawia nam się tak zwany okres ułamka, czyli \(714285\). Każde kolejne sześć cyfr po przecinku będzie wyglądać tak samo. Jak więc będzie wyglądać ta setna cyfra? Możemy to przeanalizować krok po kroku np. w taki oto sposób:
Szósta cyfra to \(5\)
Dwunasta cyfra to \(5\)
...
Sześćdziesiąta cyfra to \(5\)
...
Dziewięćdziesiąta szósta cyfra to \(5\)
Dziewięćdziesiąta siódma cyfra to \(7\)
Dziewięćdziesiąta ósma cyfra to \(1\)
Dziewięćdziesiąta dziewiąta cyfra to \(4\)
Setna cyfra to \(2\)

Krok 1. Ustalenie w jaki sposób opuścić wartość bezwzględną.
Kluczowym problemem w tym zadaniu jest opuszczenie wartości bezwzględnej. Aby to zrobić, musimy ustalić czy pod wartością bezwzględną mamy liczbę dodatnią, czy ujemną. Wiemy, że \(\sqrt{5}\approx2,24\), więc \(4\sqrt{5}\approx8,96\). W związku z tym możemy być pewni, że \(8-4\sqrt{5}\) daje wynik ujemny.

Ujemny wynik oznacza, że opuszczając wartość bezwzględną, musimy zmienić wszystkie znaki na przeciwne.

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Po przeanalizowaniu wartości bezwzględnej możemy zapisać, że:
$$|8-4\sqrt{5}|-(3\sqrt{5}-8)=-(8-4\sqrt{5})-(3\sqrt{5}-8)=-8+4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+8=\sqrt{5}$$

Na początku rozwiejmy wszelkie wątpliwości - skoro logarytmy nie mają podanej podstawy, to znaczy że ta podstawa jest równa \(10\). Dla nas w tym momencie najważniejsze jest to, że zarówno liczba \(a\) jak i \(b\) mają w takim razie tą samą podstawę, co pozwoli nam za chwilę wykorzystać działania na logarytmach.

Korzystając ze wzoru na sumę logarytmów \(log_{a}(x\cdot y)=log_{a}x+log_{a}y\) powinniśmy zauważyć, że:
$$log15=log(5\cdot3)=log5+log3$$

To oznacza, że pasującą odpowiedzią będzie \(a+b\).

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Z własności figur podobnych wiemy, że jeśli dwie figury są podobne względem siebie w skali \(k\), to stosunek pól powierzchni jest równy \(k^2\). Z treści zadania wynika, że stosunek pól jest równy \(\frac{9}{16}\), zatem:
$$k^2=\frac{9}{16} \           ,\
k=\frac{3}{4} \quad\lor\quad k=-\frac{3}{4}$$

Skala podobieństwa musi być dodatnia, więc zostaje nam \(k=\frac{3}{4}\).

Krok 2. Obliczenie długości boku mniejszego trójkąta.
Długość boku większego trójkąta jest równa \(12cm\), zatem długość boku mniejszego trójkąta będzie równa \(k\cdot12cm\), czyli \(\frac{3}{4}\cdot12cm=9cm\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zakładając, że odcinek \(SB\) ma długość \(x\), to nasz bok \(AD\) będzie mieć długość \(2x\). Dodatkowo warto zauważyć, że trójkąt \(ADS\) jest równoramienny, którego dwa ramiona mają długość po \(5cm\).


Do obliczenia obwodu brakuje nam długości długości podstawy trójkąta, czyli długości boku \(AD\).

Krok 2. Obliczenie długości podstawy trójkąta \(ADS\).
Wysokość dzieli nam podstawę trójkąta na dwie równe części i właśnie to pozwoli nam obliczyć brakującą długość odcinka \(AD\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$x^2+(2x)^2=5^2 \           ,\
x^2+4x^2=25 \           ,\
5x^2=25 \           ,\
x^2=5 \           ,\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=\sqrt{5}\).

Podstawa \(AD\) ma długość \(2x\), zatem będzie ona mieć długość \(|AD|=2\sqrt{5}cm\).

Krok 3. Obliczenie długości obwodu.
Na koniec została już tylko formalność, czyli obliczenie obwodu. Dodając do siebie długości wszystkich boków trójkąta \(ADS\) otrzymamy:
$$5cm+5cm+2\sqrt{5}cm=(10+2\sqrt{5})cm$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu będzie dorysowanie promienia \(OB\), który zgodnie z własnościami stycznych do okręgu, będzie tworzył ze styczną kąt prosty:


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AOB\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABO\). Znamy tutaj miary dwóch kątów, zatem trzeci brakujący kąt będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle AOB|=180°-90°-32°=58°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(BOC\).
Kąt \(AOB\) oraz kąt \(BOC\) to kąty przyległe, zatem łączna ich miara jest równa \(180°\). Skoro tak, to:
$$|\sphericalangle BOC|=180°-58°=122°$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(ACB\).
Spójrzmy na trójkąt \(BCO\). Jest to trójkąt równoramienny, ponieważ ramiona \(BO\) oraz \(CO\) mają długość promienia. Z własności takich trójkątów wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro więc kąt między ramionami ma miarę \(122°\), to na dwa kąty przy podstawie zostanie nam:
$$180°-122°=58°$$

Kąty przy podstawie mają mieć równą miarę, zatem kąt \(BCO\) (czyli \(ACB\)), ma miarę:
$$|\sphericalangle ACB|=58°:2=29°$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, możemy bez problemu obliczyć długość odcinka \(AB\).
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \           ,\
|AB|=\sqrt{(-3-1)^2+(5-2)^2} \           ,\
|AB|=\sqrt{(-4)^2+3^2} \           ,\
|AB|=\sqrt{16+9} \           ,\
|AB|=\sqrt{25} \           ,\
|AB|=5$$

Krok 2. Obliczenie obwodu kwadratu.
Co prawda nie jest zbyt dobrze sprecyzowane, czy wierzchołki \(A\) oraz \(B\) tworzą jeden bok kwadratu, czy też może przekątną, ale po nazewnictwie figury możemy wywnioskować, że wierzchołki \(A\) oraz \(B\) są obok siebie, więc stanowią one bok kwadratu. Skoro tak, to obwód kwadratu będzie równy:
$$Obw=4\cdot5 \           ,\
Obw=20$$

Powinniśmy kojarzyć, że funkcja \(f(x)=x^2\) przyjmuje tylko wartości dodatnie lub równe zero. Wynika to oczywiście z tego, że każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu przyjmuje wartość dodatnią lub równą zero.

Jeżeli przyjrzymy się podanym funkcjom, to zauważymy, że każda z nich jest pewnym przekształceniem funkcji \(f(x)=x^2\). Funkcją, która nie przyjmie wartości ujemnych będzie więc na pewno \(f(x)=x^2+1\), bowiem jest to nasza standardowa funkcja \(f(x)=x^2\), która jest jeszcze podniesiona o jedną jednostkę do góry. Ta funkcja będzie więc na pewno przyjmować jedynie wartości dodatnie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy dowolną funkcję liniową, która przechodziłaby przez wskazane ćwiartki:


Krok 2. Ustalenie wartości współczynników \(a\) oraz \(b\).
Z rysunku wynika, że nasza prosta musi być malejąca, czyli jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. Dodatkowo widzimy, że prosta przecina oś \(OY\) dla dodatnich wartości, więc tym samym współczynnik \(b\) będzie dodatni.

To oznacza, że \(a\lt0\) i \(b\gt0\).

Krok 1. Rozwiązanie pierwszego równania.
Na początek rozwiążmy pierwsze równanie. Traktujemy je tak samo jak równanie w postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy odpowiednie wartości do zera:
$$3x=0 \quad\lor\quad x+\frac{2}{3}=0 \quad\lor\quad 2x-5=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad 2x=5 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=2,5$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiego równania.
Jest to przykład równania wymiernego w którym niewiadoma \(x\) pojawia się w mianowniku ułamka, zatem zanim zaczniemy liczyć, musimy zapisać założenia. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik musi być różny od zera, więc:
$$3x+2\neq0 \           ,\
3x\neq-2 \           ,\
x\neq-\frac{2}{3}$$

Dopiero teraz możemy przystąpić do obliczeń, a zaczniemy standardowo od wymnożenia obydwu stron przez wartość z mianownika:
$$\frac{2x-5}{3x+2}=0 \quad\bigg/\cdot(3x+2) \           ,\
2x-5=0 \           ,\
2x=5 \           ,\
x=2,5$$

Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, więc możemy uznać, że rozwiązaniem tego równania jest \(x=2,5\).

Krok 3. Ustalenie wspólnych rozwiązań.
Wspólny pierwiastek to tak naprawdę wspólne rozwiązanie jednego i drugiego równania. Widzimy, że takim rozwiązaniem jest jedynie \(x=2,5\) i to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.

Krok 1. Obliczenie wartości cosinusa.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{4\cdot3}{25}+cos^2α=1 \           ,\
\frac{12}{25}+cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=\frac{13}{25} \           ,\
cosα=\sqrt{\frac{13}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{13}{25}}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(cosα=\sqrt{\frac{13}{25}}\), co możemy jeszcze zapisać jako \(cosα=\frac{\sqrt{13}}{5}\) .

Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{5}}{\frac{\sqrt{13}}{5}} \           ,\
tgα=\frac{2\sqrt{3}}{5}:\frac{\sqrt{13}}{5} \           ,\
tgα=\frac{2\sqrt{3}}{5}\cdot\frac{5}{\sqrt{13}} \           ,\
tgα=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} \           ,\
tgα=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}} \           ,\
tgα=\frac{2\sqrt{39}}{13}$$

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Do zadania można podejść na kilka sposobów, ale najprościej będzie skorzystać z własności ciągów geometrycznych. Powinniśmy dostrzec, że \(a_{3}\cdot q\cdot q\cdot q=a_{6}\), czyli że \(a_{3}\cdot q^3=a_{6}\). Podstawiając teraz informacje z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}\cdot q^3=a_{6} \           ,\
3\cdot q^3=-24 \           ,\
q^3=-8 \           ,\
q=-2$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość trzeciego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2 \           ,\
3=a_{1}\cdot(-2)^2 \           ,\
3=a_{1}\cdot4 \           ,\
a_{1}=\frac{3}{4}$$

Krok 3. Obliczenie sumy czterech pierwszych wyrazów.
Kiedy znamy już wartość pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu, możemy bez problemu obliczyć sumę czterech pierwszych wyrazów ciągu, korzystając z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\
S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)} \           ,\
S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-16}{3} \           ,\
S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{-15}{3} \           ,\
S_{4}=\frac{3}{4}\cdot(-5) \           ,\
S_{4}=\frac{-15}{4}=-3\frac{3}{4}$$