Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd bezwzględny obliczymy korzystając ze wzoru na błąd względny \(δ=\frac{Δx}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(Δx\) - błąd bezwzględny
\(x\) - dokładna wartość

W naszym przypadku:
\(x=a=\frac{25}{4}=6,25\)
\(δ=4\%=0,04\)

Krok 2. Obliczenie błędu bezwzględnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd bezwzględny obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{Δx}{x} \           ,\
0,04=\frac{Δx}{6,25} \           ,\
Δx=0,25$$

Krok 1. Zapisanie liczby odwrotnej.
Liczbą odwrotną do liczby \(a\) jest \(\frac{1}{a}\), zatem w naszym przypadku liczbą odwrotną do podanej będzie \(\frac{1}{3-2\sqrt{2}}\).

Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Choć poprawnie już wskazaliśmy liczbę odwrotną, to w tym konkretnym przypadku musimy jeszcze usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. Aby tego dokonać musimy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez wartość \(3+2\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{1\cdot(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})\cdot(3+2\sqrt{2})}= \           ,\
=\frac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=\frac{3+2\sqrt{2}}{1}=3+2\sqrt{2}$$

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{x\cdot x^{1,5}}{x^{-2}}=\frac{x^1\cdot x^{1,5}}{x^{-2}}=\frac{x^{2,5}}{x^{-2}}=x^{2,5}:x^{-2}=x^{2,5-(-2)}=x^{4,5}$$

Korzystając z działań na logarytmach całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$log_{3}36=log_{3}(9\cdot4)=log_{3}9+log_{3}4= \           ,\
=2+log_{3}4=2+log_{3}2^2=2+2log_{3}2=2+2p$$

Podatek \(18\%\) z kwoty \(k\) (gdzie \(k\lt85 528 zł\)) to będzie \(0,18k\). Od tego musimy jeszcze odjąć kwotę zmniejszającą \(556,02zł\) dzięki czemu otrzymamy zapis \(0,18k-556,02 [zł]\).

Aby dowiedzieć się jaka liczba spełnia nierówność możemy podstawiać poszczególne odpowiedzi do nierówności albo też możemy po prostu naszą nierówność rozwiązać, korzystając przy okazji ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(2-x)^2-9\lt(x-3)(x+3) \           ,\
4-4x+x^2-9\lt x^2-9 \           ,\
-4x-5\lt-9 \           ,\
-4x\lt-4 \           ,\
x\gt1$$

Pamiętaj o tym, że dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczbę ujemną musimy zmienić znak na przeciwny (tak jak przy tym ostatnim przekształceniu).

Z zaprezentowanych odpowiedzi jedyną liczbą większą od \(1\) jest \(10\).

Chcąc rozwiązać to równanie musimy przyrównać poszczególne wartości do zera, zatem:
$$3x=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \quad\lor\quad x^3+8=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \quad\lor\quad x^3=-8 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \quad\lor\quad x=-2$$

Z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik. Z tego też względu nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=-2\).

Krok 1. Wyznaczenie wzoru funkcji.
Często w takich zadaniach wystarczy dobry rysunek szkicowy. W tym konkretnym przypadku niektóre współrzędne są może zbyt blisko siebie (zwłaszcza z pierwszej i drugiej odpowiedzi), ale na pewno dzięki rysunkowi dałoby się na starcie odrzucić część odpowiedzi. Jednak żeby nie kombinować z rysunkiem, to podejdźmy do tego zadania nieco bardziej matematycznie.

Aby rozwiązać to zadanie musimy najpierw wyznaczyć wzór funkcji. Jak już poznamy wzór funkcji to podstawimy do niego \(x=12\) oraz \(x=-12\) i sprawdzimy kiedy otrzymamy poprawną wartość współrzędnej igrekowej. Sam wzór możemy oczywiście wyznaczyć w tradycyjny sposób (np. budując układ równań), ale tutaj da się poznać ten wzór w nieco sprytniejszy sposób. Widzimy, że funkcja przecina oś igreków dla \(y=2\), bo przechodzi przez punkt \((0;2)\). W związku z tym wiemy już, że funkcja liniowa \(y=ax+b\) ma współczynnik \(b=2\). To oznacza, ze funkcja przybiera postać \(y=ax+2\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\), który poznamy podstawiając do wyznaczonego przed chwilą równania współrzędne punktu \((4;0)\):
$$0=4a+2 \           ,\
4a=-2 \           ,\
a=-\frac{1}{2}$$

To oznacza, że wzorem funkcji jest \(y=-\frac{1}{2}x+2\).

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=12\) oraz \(x=-12\).
Teraz zgodnie z odpowiedziami musimy sprawdzić wartości tej funkcji dla \(x=12\) oraz \(x=-12\):
Gdy \(x=12\) to:
$$y=-\frac{1}{2}\cdot12+2 \           ,\
y=-6+2 \           ,\
y=-4$$

Gdy \(x=-12\) to:
$$y=-\frac{1}{2}\cdot(-12)+2 \           ,\
y=6+2 \           ,\
y=8$$

W związku z tym wyszło nam, że ta funkcja przechodzi przez punktu o współrzędnych \((12;-4)\) oraz \((-12;8)\), zatem prawidłowa jest odpowiedź druga.

Z rysunku możemy odczytać, że największą wartość funkcja przyjmuje dla \(x=3\) i ta wartość jest równa \(y=4\). Przy okazji warto pamiętać, że niezamalowana kropka oznacza, że dany punkt nie należy do wykresu funkcji, a zamalowana oznacza, że punkt do tej funkcji należy.

Jeżeli liczba \(-2\) jest jednym z miejsc zerowych funkcji to znaczy, że podstawiając \(x=-2\) musimy otrzymać wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$-\frac{1}{2}\cdot(-2)^2+(-2)+c=0 \           ,\
-\frac{1}{2}\cdot4-2+c=0 \           ,\
-2-2+c=0 \           ,\
-4+c=0 \           ,\
c=4$$

Krok 1. Odczytanie kluczowych informacji na temat wierzchołka paraboli.
Wszystkie funkcje zapisane są w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka \(W=(p;q)\).

W tym zadaniu musimy pamiętać, że funkcja kwadratowa przyjmuje swoją największą lub najmniejszą wartość właśnie w wierzchołku, zatem interesują nas tylko te wzory funkcji w których \(q=2\). Takie funkcje mamy w pierwszej oraz trzeciej odpowiedzi.

Oczywiście z podanych wzorów moglibyśmy odczytać także współrzędne \(p\) wierzchołków paraboli, ale one nie są istotne z punktu widzenia tego zadania.

Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji.
Do wyboru zostały nam już tylko dwie funkcje. Musimy się teraz zastanowić czym się one między sobą różnią. To co różni funkcję \(f(x)=-(x-2)^2+2\) od \(f(x)=2(x-1)^2+2\) to przede wszystkim wartość współczynnika \(a\). W pierwszej funkcji mamy ten współczynnik ujemny \(a=-1\), natomiast w tej drugiej współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=2\). To oznacza, że pierwsza z nich będzie miała ramiona paraboli skierowane do dołu, a druga będzie miała ramiona skierowane do góry:


Widzimy więc wyraźnie, że funkcja \(f(x)=-(x-2)^2+2\) przyjmuje najmniejszą wartość równą \(-\infty\), a największa wartość jest tutaj równa \(2\). W funkcji \(f(x)=2(x-1)^2+2\) najmniejszą wartością jest \(2\), a największą jest tutaj \(+\infty\). Nas interesuje ten drugi przypadek, zatem poszukiwanym wzorem będzie \(f(x)=2(x-1)^2+2\).

Już po samym zapisie wzoru powinniśmy dostrzec, że ciągiem arytmetycznym jest ciąg \(a_{n}=2n\), a różnica tego ciągu jest równa \(2\) o czym świadczy dwójka znajdująca się przed \(n\).

Gdyby ktoś jednak nie pamiętał o tej własności, to zawsze można obliczyć np. trzy pierwsze wyrazy danego ciągu i sprawdzić, czy różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest taka sama jak między wyrazem drugim i trzecim:

Dla ciągu \(a_{n}=2n\):
$$a_{1}=2\cdot1=2 \           ,\
a_{2}=2\cdot2=4 \           ,\
a_{3}=2\cdot3=6$$

Widzimy wyraźnie, że różnica tego ciągu jest równa \(2\).

Dla ciągu \(a_{n}=n^2\):
$$a_{1}=1^2=1 \           ,\
a_{2}=2^2=4 \           ,\
a_{3}=3^2=9$$

Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(3\), a między drugim i trzecim jest równa \(5\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.

Dla ciągu \(a_{n}=2^{n}\):
$$a_{1}=2^1=2 \           ,\
a_{2}=2^2=4 \           ,\
a_{3}=2^3=8$$

Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(2\), a między drugim i trzecim jest równa \(4\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.

Dla ciągu \(a_{n}=\frac{2}{n}\):
$$a_{1}=\frac{2}{1}=2 \           ,\
a_{2}=\frac{2}{2}=1 \           ,\
a_{3}=\frac{2}{3}$$

Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(-1\), a między drugim i trzecim jest równa \(-\frac{1}{3}\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Oznaczmy sobie drugi wyraz jako \(x\) oraz czwarty wyraz jako \(0,64x\), czyli:
$$a_{2}=x \           ,\
a_{4}=0,64x$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Jak pomnożymy drugi wyraz ciągu przez \(q\) to otrzymamy trzeci wyraz, a jak jeszcze raz pomnożymy to przez \(q\) to otrzymamy wartość czwartego wyrazu, czyli zachodzi następująca równość:
$$a_{4}=a_{2}\cdot q\cdot q \           ,\
a_{4}=a_{2}\cdot q^2$$

Podstawiając \(a_{2}=x\) oraz \(a_{4}=0,64x\) otrzymamy:
$$0,64x=x\cdot q^2 \           ,\
q^2=0,64 \           ,\
q=0,8 \quad\lor\quad q=-0,8$$

Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie to na pewno \(q\) nie może być ujemne. Zostaje nam więc jedynie \(q=0,8\), czyli \(q=\frac{4}{5}\).

W tym zadaniu musimy skorzystać ze wzorów redukcyjnych np. ze wzoru:
$$cos(90°+α)=-sinα$$

Za pomocą tego wzoru możemy zapisać, że:
$$cos120°=cos(90°+30°)=-sin30°$$

Wyszło nam, że \(cos120°\) ma wartość dokładnie taką samą jak \(-sin30°\). Wartość \(sin30°\) możemy odczytać z tablic i jest to \(\frac{1}{2}\), zatem dodając do tego znak ujemny otrzymamy informację, że \(cos120°=-\frac{1}{2}\).

Krok 1. Przekształcenie równania.
Przekształcając równanie z treści zadania otrzymamy:
$$4cosα=1 \           ,\
cosα=\frac{1}{4}$$

Krok 2. Odczytanie miary kąta z tablic trygonometrycznych.
Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje wartość \(0,25\) dla kata o mierze około \(76°\), bowiem \(cos76°\approx0,2493\). To oznacza, że miara kąta \(α\) jest większa od \(60°\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie układ współrzędnych, zaznaczmy znane nam punkty oraz poszukiwany kąt ostry:


Z rysunku jasno wynika, że do obliczenia sinusa kąta α będziemy potrzebować znać wysokość rombu oraz długość jego boku.

Krok 2. Obliczenie długości boku rombu.
Znając współrzędne obydwu punktów możemy obliczyć długość odcinka \(AB\) (czyli długość boku rombu):
$$|AB|=\sqrt{(1-(-1))^2+(-2-4)^2} \           ,\
|AB|=\sqrt{2^2+(-6)^2} \           ,\
|AB|=\sqrt{4+36} \           ,\
|AB|=\sqrt{40} \           ,\
|AB|=\sqrt{4\cdot10} \           ,\
|AB|=2\sqrt{10}$$

Możemy więc powiedzieć, że romb ma bok o długości \(a=2\sqrt{10}\).

Krok 3. Obliczenie wysokości rombu.
Pole rombu możemy obliczyć ze wzoru \(P=ah\). Skoro \(P=30\) oraz \(a=2\sqrt{10}\), to:
$$30=2\sqrt{10}\cdot h \           ,\
h=\frac{30}{2\sqrt{10}} \           ,\
h=\frac{15}{\sqrt{10}} \           ,\
h=\frac{15\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}} \           ,\
h=\frac{15\sqrt{10}}{10} \           ,\
h=\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie wartości sinusa kąta \(α\).
Znając długość boku rombu oraz jego wysokość możemy teraz zapisać, że:
$$sinα=\frac{h}{a} \           ,\
sinα=\frac{\frac{3\sqrt{10}}{2}}{2\sqrt{10}} \           ,\
sinα=\frac{3\sqrt{10}}{2}:2\sqrt{10} \           ,\