Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona

W naszym przypadku:
\(δ=4\%=0,04\)
\(p=60\)

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Podstawiając powyższe dane do wzoru na błąd bezwzględny otrzymamy:
$$δ=\frac{|x-p|}{x} \           ,\
0,04=\frac{|x-60|}{x} \           ,\
0,04x=|x-60|$$

Otrzymaliśmy równanie z wartością bezwzględną. Musimy więc ustalić, czy wartość w nawiasie bezwzględności jest dodatnia, czy też ujemna (od tego zależy jak będzie wyglądać opuszczenie nawiasów bezwzględności). W treści zadania mamy informację, że liczba \(60\) jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli liczba \(x\) jest większa od \(60\). To oznacza, że wartość \(x-60\) jest na pewno dodatnia. Możemy więc bez problemu opuścić nawiasy bezwzględności nie zmieniając żadnej wartości. Otrzymamy więc:
$$0,04x=x-60 \           ,\
-0,96x=-60 \           ,\
x=62,5$$

Krok 1. Podstawienie liczb do wyrażenia.
Podstawiając wskazane liczby do naszego wyrażenia otrzymamy:
$$\frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{2-\sqrt{2}})^2} \           ,\
\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$$

Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Teraz musimy usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. Wymnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{2}\) nic nam nie da. Aby usunąć niewymierność musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(2+\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}\cdot(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})\cdot(2+\sqrt{2})}= \           ,\
=\frac{4\sqrt{2}+4}{4-2}=\frac{4\sqrt{2}+4}{2}=2\sqrt{2}+2=2(\sqrt{2}+1)$$

Jeżeli przyjmiemy, że \(x\) to początkowa cena towaru, to:
\(1,2x\) - cena towaru po podwyżce o \(20\%\)
\(0,9x\) - cena towaru jaką chcemy otrzymać
\(1,2x-0,9x=0,3x\) - o tyle musimy dokonać obniżki

Z powyższej analizy wyszło nam, że cenę \(1,2x\) musimy obniżyć o \(0,3x\), zatem obniżka ta będzie równa:
$$\frac{0,3x}{1,2x}=\frac{1}{4}=25\%$$

Krok 1. Wyznaczenie wartości poszczególnych wyrazów ciągu.
Z podanego w treści zadania wyrażenia wynika, że musimy poznać wartość \(a_{3}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{1}\). Wyznaczmy zatem każdą z tych wartości:
$$a_{3}=log(3+1)=log4 \           ,\
a_{7}=log(7+1)=log8 \           ,\
a_{1}=log(1+1)=log2$$

Tu warto sobie przy okazji powiedzieć, że jeżeli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie ta podstawa jest równa \(10\). Czyli przykładowo \(log4=log_{10}4\).

Krok 2. Obliczenie wartości liczby.
Możemy teraz podstawić wskazane logarytmy do całego wyrażenia i przystąpić do obliczenia wartości naszej liczby. Trzeba będzie się tutaj wykazać umiejętnościami działań na logarytmach, a całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{3\cdot log4-log8}{log2}=\frac{log4^3-log8}{log2}=\frac{log64-log8}{log2}= \           ,\
=\frac{log\frac{64}{8}}{log2}=\frac{log8}{log2}=\frac{log2^3}{log2}=\frac{3\cdot log2}{log2}=3$$

Iloraz to dzielenie, zatem musimy wykonać następujące działanie:
$$\frac{8^{10}-4^{14}}{6\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[6]{4}}=\frac{(2^3)^{10}-(2^2)^{14}}{6\cdot4^{\frac{1}{3}}\cdot4^{\frac{1}{6}}}= \           ,\
=\frac{2^{30}-2^{28}}{6\cdot4^{\frac{2}{6}}\cdot4^{\frac{1}{6}}}=\frac{2^{30}-2^{28}}{6\cdot4^{\frac{3}{6}}}=\frac{2^{30}-2^{28}}{6\cdot(2^2)^{\frac{1}{2}}}= \           ,\
=\frac{2^{30}-2^{28}}{6\cdot2^1}=\frac{2^{26}\cdot2^{4}-2^{26}\cdot2^{2}}{6\cdot2}= \           ,\
=\frac{2^{26}\cdot(2^{4}-2^{2})}{6\cdot2}=\frac{2^{26}\cdot(16-4)}{12}=\frac{2^{26}\cdot12}{12}=2^{26}$$

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+2\neq0 \           ,\
x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mnożąc obydwie strony tego równania przez \(x+2\) otrzymamy:
$$\frac{8-2x^2}{x+2}=x+2 \quad\bigg/\cdot(x+2) \           ,\
8-2x^2=(x+2)\cdot(x+2) \           ,\
8-2x^2=x^2+4x+4 \           ,\
-3x^2-4x+4=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy obliczyć deltę:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-3)\cdot4=16-(-48)=16+48=64 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-8}{2\cdot(-3)}=\frac{4-8}{-6}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3} \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+8}{2\cdot(-3)}=\frac{4+8}{-6}=\frac{12}{-6}=-2$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To jeszcze nie jest koniec zadania. Musimy zweryfikować nasze wyniki. W założeniach zapisaliśmy sobie, że \(x\) nie może być równy \(-2\), a to oznacza, że rozwiązanie \(x=-2\) musimy wykluczyć. To oznacza, że nasze równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(\frac{2}{3}\).

Krok 1. Podstawienie do nierówności wartości \(x=4\).
Wiemy, że liczba \(4\) ma spełniać nierówność, zatem podstawiając \(x=4\) otrzymamy:
$$a^{2}\cdot4-16\lt0 \           ,\
4a^2-16\lt0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową z niewiadomą \(a\), zatem musimy ją teraz rozwiązać. Rozwiązywanie nierówności kwadratowej zaczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli od przyrównania wartości \(4a^2-16\) do zera, otrzymując równanie kwadratowe:
$$4a^2-16=0 \           ,\
4a^2=16 \           ,\
a^2=4 \           ,\
a=2 \quad\lor\quad a=-2$$

Znając miejsca zerowe możemy przystąpić do szkicowania wykresu paraboli, pamiętając że jej ramiona będą skierowane do góry, bo przed \(a^2\) mamy dodatnią wartość:


Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem nierówności (a tym samym całego zadania) będzie przedział \(a\in(-2,2)\).

W tym zadaniu zbyt wiele nie policzymy, musimy tylko przeanalizować całą sytuację. Zobaczmy jak ta funkcja zachowuje się dla kilku przykładowych \(n\):
Gdy \(n=4\), to musimy obliczyć NWD liczb \(4\) oraz \(14\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(2\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=2\).
Gdy \(n=10\), to musimy obliczyć NWD liczb \(10\) oraz \(20\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).
Gdy \(n=20\), to musimy obliczyć NWD liczb \(20\) oraz \(30\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).
Gdy \(n=30\), to musimy obliczyć NWD liczb \(30\) oraz \(40\). Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb będzie \(10\), zatem tutaj otrzymamy \(NWD=10\).

Jakbyśmy do tego zadania nie podchodzili, to nie uda nam się otrzymać NWD większego od \(10\).

Gdyby jednak to zadanie było zadaniem dowodowym, to jak matematycznie udowodnić, że na pewno nie otrzymamy nigdzie \(NWD=20\)? Załóżmy, że nasza pierwsza liczba dzieli się przez \(20\) (tylko wtedy byłaby szansa, że NWD jest równe \(20\)), czyli że \(n=20\cdot k\), gdzie \(k\) jest dodatnią liczbą całkowitą. W takiej sytuacji druga liczba będzie równa \(20k+10\). Jeżeli teraz w drugiej liczbie wyłączymy przed nawias wartość \(20\), to otrzymamy \(20\cdot(k+\frac{1}{2})\). Skoro \(k\) było dodatnią liczbą całkowitą, to przez ułamek \(\frac{1}{2}\) wartość w nawiasie wyszła nam niecałkowita. To oznacza, że jeżeli pierwsza liczba jest podzielna przez \(20\), to druga (ta większa od \(10\)) nie będzie podzielna przez \(20\), bo zawsze dzieląc ją przez \(20\) otrzymamy wynik z "połówką". Np.:
Jeżeli \(n=20\), to mamy liczby \(20\) oraz \(30\). Dzieląc obydwie liczby przez \(20\) otrzymamy \(20:20=1\) oraz \(30:20=1,5\).
Jeżeli \(n=200\), to mamy liczby \(200\) oraz \(210\). Dzieląc obydwie liczby przez \(20\) otrzymamy \(200:20=10\) oraz \(210:20=10,5\).

Do zadania można podejść na wiele sposobów, możemy nawet podstawiać poszczególne wartości współczynnika \(b\) i sprawdzać kiedy nierówność \(-2x+b\gt0\) da rozwiązanie \(x\lt2\) (w nierówności mamy dajemy \(\gt0\), bo mają to być wartości dodatnie). Przykładowo dla \(b=4\) z pierwszej odpowiedzi otrzymalibyśmy:
$$-2x+4\gt0 \           ,\
-2x\gt-4 \           ,\
x\lt2$$

Otrzymaliśmy rozwiązanie \(x\lt2\), zatem już wiemy że poszukiwaną wartością było \(b=4\).

Można też do tego zadania podejść bardziej analitycznie. Skoro funkcja liniowa przyjmuje wartości dodatnie dla \(x\lt2\), to dla \(x=2\) musi przyjmować wartość równą \(0\), zatem:
$$-2\cdot2+b=0 \           ,\
-4+b=0 \           ,\
b=4$$

Wzór funkcji przesuniętej o cztery jednostki w prawo stworzymy pomniejszając wartość iksa o \(4\). Nasza prosta będzie więc opisana równaniem:
$$y=\frac{1}{2}\cdot(x-4)+1 \           ,\
y=\frac{1}{2}x-2+1 \           ,\
y=\frac{1}{2}x-1$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka funkcji \(f(x)\).
Funkcję \(f(x)\) mamy zapisaną w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\) z której bardzo szybko możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Patrząc się na wzór funkcji możemy stwierdzić, że \(p=-1\) oraz \(q=5\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
To zadanie będzie najprościej rozwiązać tworząc sobie prosty rysunek pomocniczy na którym zaznaczymy funkcję \(f(x)\) oraz \(g(x)\). O funkcji \(f(x)\) wiemy już, że ma swój wierzchołek w punkcie \(W=(-1;5)\), wiemy też że będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-1\), czyli jest mniejszy od zera), zatem całość będzie wyglądać następująco:


Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Osią symetrii funkcji \(f(x)\) była prosta \(x=-1\) przechodząca przez wierzchołek tej paraboli. Przekształcając tę funkcję względem osi igreków otrzymaliśmy funkcję \(g(x)\), która swój wierzchołek ma w punkcie \(W=(1;5)\), zatem tutaj osią symetrii będzie prosta \(x=1\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie równań.
Na wstępie możemy od razu odrzucić dwie ostatnie odpowiedzi, bo nawet na logikę nie jest możliwe to, by jadąc z mniejszą prędkością, pokonać szybciej tą samą trasę.

Ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\) wynika, że \(s=v\cdot t\). W obydwu przypadkach pokonana trasa jest niezmienna, zmienne za to będą prędkość \(v\) oraz czas \(t\). Jeżeli skrócimy czas podróży o \(20\%\), to czas jazdy wyniesie \(0,8t\). W związku z tym możemy nawet sobie rozpisać, że:
Standardowa podróż: \(s=v\cdot t\)
Podróż o \(20\%\) krótsza: \(s=v_{nowa}\cdot0,8t\)

Skoro w jednym i drugim przypadku pokonana trasa jest jednakowa, to możemy zapisać, że:
$$v\cdot t=v_{nowa}\cdot0,8t \quad\bigg/:t \           ,\
v=0,8v_{nowa} \quad\bigg/:0,8 \           ,\
v_{nowa}=\frac{v}{0,8}$$

I tu chyba najtrudniejsza część zadania, bowiem jak teraz dowiedzieć się z tego zapisu o ile procent trzeba zwiększyć poszukiwaną prędkość? Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, zatem możemy zastąpić \(\frac{v}{0,8}\) dzieleniem \(v:\frac{4}{5}\). Teraz pamiętając o tym, że dzielenie to jest mnożenie przez odwrotność, możemy zapisać że:
$$v_{nowa}=v:\frac{4}{5} \           ,\
v_{nowa}=v\cdot\frac{5}{4} \           ,\
v_{nowa}=1,25v \           ,\
v_{nowa}=125\%v$$

Skoro nowa prędkość stanowi \(125\%\) prędkości starej, to znaczy, że musimy zwiększyć prędkość o \(25\%\).

Krok 1. Potraktowanie ciągu jako funkcji.
Potraktujmy nasz ciąg jak funkcję, która jest określona jedynie dla argumentów będących liczbami naturalnymi. Funkcja swoją najmniejszą lub największą wartość przyjmuje w wierzchołku \(W=(p;q)\). To oznacza, że tak naprawdę interesować nas będzie poznanie współrzędnych wierzchołka paraboli, ale z zastrzeżeniem, że współrzędna \(p\) musi być liczbą naturalną.


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\).
Współrzędną \(p\) obliczymy ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Ze wzoru ciągu możemy odczytać, że \(b=-24\) oraz \(a=\frac{3}{4}\). W związku z tym:
$$p=\frac{-(-24)}{2\cdot\frac{3}{4}} \           ,\
p=\frac{24}{\frac{3}{2}} \           ,\
p=24:\frac{3}{2} \           ,\
p=24\cdot\frac{2}{3} \           ,\
p=16$$

Współrzędna \(p\) jest liczbą naturalną i to jest bardzo dobra wiadomość, bo za chwilę będziemy mogli podstawić tę liczbę do wzoru naszego ciągu. Gdyby się okazało, że \(p\) jest równe np. \(16\frac{1}{5}\), to w kolejnym kroku musielibyśmy sprawdzić wartość funkcji dla argumentów \(n=16\) oraz \(n=17\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(q\).
Współrzędną \(q\) moglibyśmy wyznaczyć ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale skoro znamy wartość współrzędnej \(p=16\) to możemy po prostu podstawić do wzoru wartość \(n=16\) i w ten sposób obliczymy wartość przyjmowaną w tym wierzchołku, czyli wartość współrzędnej \(q\). Zatem:
$$q=\frac{3}{4}\cdot16^2-24\cdot16+90 \           ,\
q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90 \           ,\
q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90 \           ,\
q=192-384+90 \           ,\
q=-102$$

To oznacza, że najmniejszą wartością przyjmowaną przez ten ciąg jest wartość \(16\)-stego wyrazu i jest ona równa \(-102\).

Krok 1. Zapisanie równania wynikającego z własności ciągów arytmetycznych.
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że dla trzech następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$\sqrt{3}tgα=\frac{2sin^2α+2cos^2α}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Jeżeli teraz w liczniku wyłączymy przed nawias dwójkę i skorzystamy z jedynki trygonometrycznej \(sin^2α+cos^2α=1\) to otrzymamy:
$$\sqrt{3}tgα=\frac{2\cdot(sin^2α+cos^2α)}{2} \           ,\
\sqrt{3}tgα=\frac{2\cdot1}{2} \           ,\
\sqrt{3}tgα=\frac{2}{2} \           ,\
\sqrt{3}tgα=1 \           ,\
tgα=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Jak spojrzymy na "małą tabelkę trygonometryczną" to takiej wartości jak \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) nie znajdziemy. Wszystko dlatego, że mamy niewymierność w mianowniku, którą musimy usunąć. Moglibyśmy też wybrnąć z tej sytuacji w taki sposób, że obliczylibyśmy przybliżoną wartość \(\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,5774\) i wtedy z dużych tablic odczytalibyśmy, że interesujący nas kąt ma miarę \(30°\).

Aby usunąć niewymierność z mianownika musimy licznik i mianownik pomnożyć przez \(\sqrt{3}\), otrzymując:
$$tgα=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \           ,\
tgα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Teraz z małej tabelki trygonometrycznej możemy odczytać, że \(α=30°\).

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Do obliczenia sinusa będziemy potrzebowali znać długość przeciwprostokątnej, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$3^2+(\sqrt{7})^2=c^2 \ &nbs