📄 Treść zadania
Równanie \(\frac{8-2x^2}{x+2}=x+2\) ma dokładnie:
A
dwa rozwiązania: \(x_{1}=\frac{2}{\sqrt{3}}, x_{2}=-\frac{2}{\sqrt{3}}\)
B
dwa rozwiązania: \(x_{1}=\frac{2}{3}, x_{2}=-2\)
C
jedno rozwiązanie: \(x=2\)
D
jedno rozwiązanie: \(x=\frac{2}{3}\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+2\neq0 \ ,\
x\neq-2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mnożąc obydwie strony tego równania przez \(x+2\) otrzymamy:
$$\frac{8-2x^2}{x+2}=x+2 \quad\bigg/\cdot(x+2) \ ,\
8-2x^2=(x+2)\cdot(x+2) \ ,\
8-2x^2=x^2+4x+4 \ ,\
-3x^2-4x+4=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy obliczyć deltę:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-3)\cdot4=16-(-48)=16+48=64 \ ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-8}{2\cdot(-3)}=\frac{4-8}{-6}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3} \ ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+8}{2\cdot(-3)}=\frac{4+8}{-6}=\frac{12}{-6}=-2$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To jeszcze nie jest koniec zadania. Musimy zweryfikować nasze wyniki. W założeniach zapisaliśmy sobie, że \(x\) nie może być równy \(-2\), a to oznacza, że rozwiązanie \(x=-2\) musimy wykluczyć. To oznacza, że nasze równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(\frac{2}{3}\).