Zadanie to można rozwiązać obliczając każdą z nierówności podaną w odpowiedziach. Jeśli chcemy obliczyć to w sposób matematyczny, to możemy skorzystać z interpretacji geometrycznej zbioru rozwiązań nierówności. Na początek musimy wyznaczyć środek odcinka o końcach w punkcie \(-2\) oraz \(6\), a będzie to:
$$a=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Wyznaczony punkt \(a=2\) jest odległy od punktów końcowych (\(-2\) oraz \(6\)) o cztery jednostki. Skoro przedziały idą do plus/minus nieskończoności to zaznaczony zbiór jest zbiorem liczb odległych od punktu \(a=2\) o ponad \(4\) jednostki. Stąd też poszukiwaną nierównością jest \(|x-2|\gt4\).

Bilety ulgowe stanowiły \(\frac{126}{280}=0,45=45\%\) wszystkich biletów.

Możemy ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(6\%\) jest równe \(9\)
to \(1\%\) jest równy \(1,5\)
więc \(100\%\) jest równe \(150\).

Musimy wykonać działania na potęgach, pamiętając że \(32=2^5\) oraz \(\frac{1}{8}=2^{-3}\), zatem:
$$32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^4=(2^5)^{-3}:(2^{-3})^4= \           ,\
=2^{5\cdot(-3)}:2^{-3\cdot4}=2^{-15}:2^{-12}=2^{-15-(-12)}=2^{-3}$$

Wynik logarytmu (w tym przypadku \(9\)) mówi nam do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę logarytmu (w tym przypadku \(3\)), aby otrzymać liczbę logarytmowaną (czyli nasz \(x\)). W tablicach znajdziemy nawet matematyczny zapis tej definicji:
$$\log_{a}c=b \Longleftrightarrow a^b=c$$

Podstawiając wprost liczby z naszego zadania (\(a=3\), \(b=9\) oraz \(c=x\)) widzimy wyraźnie, że poszukiwaną odpowiedzią jest \(x=3^9\).

Możemy wymnożyć wyrazy w każdej z poszczególnych odpowiedzi i sprawdzić który wynik będzie równy iloczynowi z treści zadania. My jednak skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, a dokładniej to ze wzoru na sumę sześcianów:
$$\color{orange}{a^3}+\color{green}{b^3}=(a+b)(a^2-ab+b^2)\           ,\
\color{orange}{27x^3}+\color{green}{y^3}=...$$

Ustalmy sobie co jest naszym wyrazem \(a\) oraz \(b\) w tym wzorze. Na pewno \(b=y\). Ale ile jest równe \(a\)? I tu klasyczna pułapka przy stosowaniu tego wzoru, bowiem \(a\neq27x\). Dlaczego? Ponieważ \((27x)^3=19683x^3\). W naszym przypadku \(a=3x\), bo \((3x)^3=27x^3\). Zatem:
$$27x^3+y^3=(3x+y)((3x)^2-3xy+y^2) \           ,\
27x^3+y^3=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$$

Przy tego typu zadaniach musimy wymnożyć przez siebie poszczególne wyrazy wielomianów. W tym konkretnym przypadku od razu widać, że prawidłowa musi być odpowiedź druga, bo powstały wielomian na pewno będzie wielomianem szóstego stopnia, a tylko w drugiej odpowiedzi znalazła się taka opcja. Jeśli jednak tego nie dostrzeżemy, to możemy zawsze wymnożyć wszystkie wyrazy, zatem:
$$W(x)\cdot V(x)=(x^3-3x+1)\cdot2x^3= \           ,\
=x^3\cdot2x^3-3x\cdot2x^3+1\cdot2x^3=2x^6-6x^4+2x^3$$

Parabola określona wzorem \(y=a(x-p)^2+q\) ma swój wierzchołek w punkcie \(W=(p;q)\). Spróbujmy więc dopasować równanie z treści zadania do tego wzoru i tym samym określić współrzędne wierzchołka. Krótko mówiąc - musimy doprowadzić do sytuacji, by w nawiasie zamiast sumy znalazła się różnica dwóch liczb (bo tak jest we wzorze):
$$y=-3(x+1)^2 \           ,\
y=-3(x-(-1))^2+0$$

Z takiego zapisu jasno wynika, że \(p=-1\) oraz \(q=0\). W związku z tym współrzędne paraboli to \(W=(-1;0)\).

Zadanie możemy rozwiązać podstawiając współrzędne każdego z punktów do wzoru funkcji. Pierwszą współrzędną podstawiamy w miejsce \(x\), a drugą w miejsce \(f(x)\). Punktem należącym do wykresu będzie ten, który spełni powstałą równość (czyli tak naprawdę wtedy kiedy nie wyjdzie nam równanie sprzeczne).

Można jednak to zadanie zrobić nieco sprytniej, dostrzegając że we wszystkich odpowiedziach pierwszą współrzędną punktu jest \(x=-1\). To oznacza, że nie musimy podstawiać każdego z punktów pod wzór funkcji. Wystarczy tak naprawdę obliczyć wartość \(f(-1)\), zatem:
$$f(-1)=(-1)^2+(-1)-2 \           ,\
f(-1)=1-1-2 \           ,\
f(-1)=-2$$

To oznacza, że druga współrzędna to \(y=-2\), czyli prawidłowa jest ostatnia odpowiedź \((-1;-2)\).

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Wbrew pozorom jest to dość ważny punkt, bo może się okazać, że otrzymany wynik będziemy musieli odrzucić ze względu na założenia. W matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, dlatego wartość w mianowniku musi być różna od zera. Stąd też:
$$x+3\neq0 \           ,\
x\neq-3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Samo równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc poszczególne wyrazy na krzyż:
$$(x-5)\cdot3=(x+3)\cdot2 \           ,\
3x-15=2x+6 \           ,\
3x-2x=6+15 \           ,\
x=21$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu \((x+1)(x-3)\).
Aby wyznaczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać wielomian \((x+1)(x-3)\) do zera. Wielomian jest podany w postaci iloczynowej, co znacznie upraszcza ustalenie miejsc zerowych, bo tak naprawdę musimy przyrównać do zera wartości w każdym z nawiasów, zatem:
$$(x+1)(x-3)=0 \           ,\
x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \           ,\
x=-1 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą na pewno skierowane do góry, bo po wymnożeniu wartości w nawiasach otrzymamy \(x^2\), czyli współczynnik \(a\gt0\). Zaznaczamy na osi wyliczone miejsca zerowe. Kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Poszukujemy wartości większych od zera, tak więc interesuje nas przedział \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\). Taki zbiór został przedstawiony na trzecim rysunku i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

Musimy obliczyć wartość trzeciego wyrazu tego ciągu, czyli tak naprawdę podstawić do wzoru \(n=3\). Zatem:
$$a_{3}=(-1)^3\cdot(3-3) \           ,\
a_{3}=-1\cdot0 \           ,\
a_{3}=0$$

Krok 1. Zapisanie wzoru na trzeci i jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego.
Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Podstawiając do niego \(n=3\) oraz \(n=11\) otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}+2r \           ,\
a_{11}=a_{1}+10r$$

Krok 2. Obliczenie wartości różnicy tego ciągu.
Korzystając ze wzorów które wypisaliśmy sobie w pierwszym kroku i z wartości poszczególnych wyrazów podanych w treści zadania możemy ułożyć prosty układ równań:
\begin{cases}
a_{1}+2r=14 \           ,\
a_{1}+10r=34
\end{cases}

Ten układ możemy rozwiązać w dowolny sposób np. metodą podstawiania, gdzie do drugiego równania podstawimy \(a_{1}=14-2r\). Możemy też odjąć te równania stronami i tak też będzie najprościej. Otrzymamy wtedy:
$$-8r=-20 \           ,\
8r=20 \           ,\
r=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$$

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Znamy wartość pierwszego i czwartego wyrazu, zatem możemy podstawić \(n=4\) i dzięki temu jedyną niewiadomą w tym wzorze będzie poszukiwany iloraz ciągu. W związku z tym:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \           ,\
-4=32\cdot q^3 \           ,\
q^3=-\frac{1}{8} \           ,\
q=-\frac{1}{2}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$cos^2α=1-sin^2α \           ,\
cos^2α=1-\left(\frac{8}{9}\right)^2 \           ,\
cos^2α=1-\frac{64}{81} \           ,\
cos^2α=\frac{17}{81} \           ,\
cosα=\sqrt{\frac{17}{81}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{17}{81}}$$

Ujemną wartość musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(cosα=\sqrt{\frac{17}{81}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{81}}=\frac{\sqrt{17}}{9}\).

Tangens kąta \(α\) jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\). Zatem zgodnie z rysunkiem:
$$tgα=\frac{1}{\sqrt{2}}$$