Rozwiązanie

1. $\sqrt{\tfrac{25}{8}}\cdot\sqrt2=\sqrt{\tfrac{25}{8}\cdot2}=\sqrt{\tfrac{25}{4}}=\tfrac52$.
2. $2^{-1}=\tfrac12$.
3. $\tfrac52+\tfrac12=3$.

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

1. Kapitał po 2 latach: $10000\cdot1{,}06^2=10000\cdot1{,}1236=11236$ zł.
2. Odsetki: $11236-10000=1236$ zł.

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\sqrt{5\sqrt5}=\left(5\cdot5^{1/2}\right)^{1/2}=\left(5^{3/2}\right)^{1/2}=5^{3/4}$.

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\log_8 4-\log_8 32=\log_8\tfrac{4}{32}=\log_8\tfrac18=\log_8 8^{-1}=-1$.

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$4^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=10^{24}$.

1. $10^{24}=20\cdot(5\cdot10^{22})$ — podzielna przez $20$. P
2. $10^{24}=1\underbrace{00\ldots0}_{24}$ — to liczba 25-cyfrowa. P

Odpowiedź: PP

Rozwiązanie

$x^2+10x+25=(x+5)^2$. Dla $x=\sqrt2-5$: $x+5=\sqrt2$, więc $(x+5)^2=(\sqrt2)^2=2$.

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

1. $7n^2+21n=7n(n+3)$.
2. Wśród dwóch liczb $n$ oraz $n+3$ (różniących się o 3) jedna jest parzysta, więc iloczyn $n(n+3)$ jest liczbą parzystą, tzn. $n(n+3)=2k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$.
3. Zatem $7n(n+3)=7\cdot2k=14k$ — liczba podzielna przez $14$. $\blacksquare$

Rozwiązanie

1. Rozwiązania: $x=-3,\ x=m,\ x=-2$.
2. Suma: $-3+m-2=m-5$.
3. $m-5=0\Rightarrow m=5$.

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

1. $5(x+2)=2(3x-1)$.
2. $5x+10=6x-2$.
3. $x=12$.

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

1. $3x^2+4x-6x-8\ge0\Rightarrow 3x^2-2x-8\ge0$.
2. $\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)=4+96=100,\ \sqrt\Delta=10$.
3. $x_1=\dfrac{2-10}{6}=-\dfrac43,\ x_2=\dfrac{2+10}{6}=2$.
4. Parabola ma ramiona w górę, więc nierówność $\ge0$ zachodzi na zewnątrz pierwiastków.

Odpowiedź: $x\in\left(-\infty,-\tfrac43\right]\cup[2,\infty)$.

Rozwiązanie

1. Skoro po odjęciu $25\%$ zostało $75\%$ wpływów: wpływy $=\dfrac{4665}{0{,}75}=6220$ zł.
2. Niech $u$ — liczba biletów ulgowych, $200-u$ — normalnych. Wtedy $35(200-u)+25u=6220$.
3. $7000-35u+25u=6220\Rightarrow 7000-10u=6220\Rightarrow 10u=780\Rightarrow u=78$.

Odpowiedź: sprzedano $78$ biletów ulgowych.

Rozwiązanie

1. Na $[-4,2]$: $x+2=3\Rightarrow x=1$ (należy do przedziału). Na $(2,5)$: $-x+5=3\Rightarrow x=2\notin(2,5)$. Zatem $x=1$.
2. $f(2)=4$; na $(2,3]$ funkcja maleje. Największa wartość na $[2,3]$ to $f(2)=4$.

Odpowiedzi: 1) $x=1$, 2) $4$.

Rozwiązanie

1. Na $[-4,2]$ wartości $[-2,4]$; na $(2,5)$ wartości $(0,3)$. Suma: $[-2,4]$.
2. $x+2>1\Rightarrow x>-1$ (dla $x\le2$), oraz $-x+5>1\Rightarrow x<4$ (dla $x>2$). Razem $(-1,4)$.

Odpowiedzi: 1) $[-2,4]$, 2) $(-1,4)$.

Rozwiązanie

$a=\dfrac{-3-0}{0-(-2)}=-\tfrac32<0$ (F), $b=-3<0$ (F).

Odpowiedź: FF

Rozwiązanie

$\mathrm{tg}\,\alpha=a=-\tfrac32$ (współczynnik kierunkowy prostej).

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

1. Postać kanoniczna: $f(x)=a(x-3)^2-2$.
2. $g(x)=f(x+1)=a(x-2)^2-2$. Z $g(0)=0$: $a\cdot4-2=0\Rightarrow a=\tfrac12$.
3. $f(x)=\tfrac12(x-3)^2-2=\tfrac12x^2-3x+\tfrac{9}{2}-2=\tfrac12x^2-3x+\tfrac52$.

Odpowiedź: $f(x)=\tfrac12x^2-3x+\tfrac52$.

Rozwiązanie

1. $a_1=8,\ a_9=32$.
2. Warunek ciągu geometrycznego: $a_9^2=a_1\cdot a_k\Rightarrow 32^2=8\cdot a_k\Rightarrow a_k=128$.
3. $3k+5=128\Rightarrow 3k=123\Rightarrow k=41$.

Odpowiedź: $k=41$.

Rozwiązanie

1. $r=\dfrac{a_5-a_1}{4}=\dfrac{16}{4}=4$.
2. $a_9=a_1+8r=1+32=33$.

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

W ciągu geometrycznym $a_3\cdot a_6=a_1^2q^{7}$ oraz $a_2\cdot a_7=a_1^2q^{7}$ — są równe. Zatem $a_2\cdot a_7=18$.

Odpowiedź: $18$.

Rozwiązanie

1. Kąt prosty przy $B$. $|AB|=\sqrt{|AC|^2-|BC|^2}=\sqrt{40-4}=6$.
2. $\sin\gamma=\dfrac{|AB|}{|AC|}=\dfrac{6}{2\sqrt{10}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$.

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

1. Kąt wpisany $CDA=50^\circ$ oparty na łuku $AC$, więc kąt środkowy $AOC=2\cdot50^\circ=100^\circ$ (łuk $AC$).
2. $B$ leży na łuku $AC$, a $\angle COB=30^\circ$ (łuk $BC$).
3. $\angle BOA=\angle AOC-\angle COB=100^\circ-30^\circ=70^\circ$.

Odpowiedź: C