Rozwiązanie

1. Krok 1: Uproszczenie wyrażeń pod pierwiastkami

   Upraszczamy $\sqrt{32}$:

   $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$

   Zatem badane wyrażenie przyjmuje postać:

   $$(\sqrt{32} - \sqrt{2})^2 = (4\sqrt{2} - \sqrt{2})^2$$
2. Krok 2: Wyłączenie wspólnego czynnika

   Wyłączamy $\sqrt{2}$ przed nawias:

   $$(4\sqrt{2} - \sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2$$
3. Krok 3: Obliczenie wyniku

   Podnosimy do kwadratu:

   $$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$$

Analiza odpowiedzi

• A) 16 — odpowiedź błędna. Wynik $16$ otrzymałby uczeń, który błędnie założył, że $\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4$, czyli pominął $\sqrt{2}$ lub niepoprawnie upraszczał wyrażenie.
• B) 18 — odpowiedź poprawna. Zgodnie z obliczeniami: $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
• C) 30 — odpowiedź błędna. Wynik $30$ mógłby powstać przy błędnym zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia, np. pominięciu składnika $-2\cdot\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}$ lub obliczeniu go ze złym znakiem: $32 + 2 - 4 = 30$.
• D) 34 — odpowiedź błędna. Wynik $34$ otrzymałby uczeń, który zamiast odejmować, dodawał wyrazy w klamrze, stosując wzór $(a+b)^2$ zamiast $(a-b)^2$: $(\sqrt{32})^2 + (\sqrt{2})^2 = 32 + 2 = 34$, ignorując człon z iloczynem.

Wynik końcowy:

Prawidłowa odpowiedź to B).

Rozwiązanie

1. Krok 1: Rozbicie ułamka na sumę

   Korzystamy z własności ułamków — dzielimy każdy składnik licznika przez mianownik osobno:

   $$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{13}}{5^{12}}+\frac{5^{14}}{5^{12}}$$
2. Krok 2: Uproszczenie każdego składnika

   Korzystamy z prawa działań na potęgach: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

   $$\frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{13}}{5^{12}}+\frac{5^{14}}{5^{12}} = 5^{0}+5^{1}+5^{2}$$
3. Krok 3: Obliczenie wyniku

   Obliczamy wartości kolejnych potęg:

   $$5^{0}+5^{1}+5^{2} = 1 + 5 + 25 = \mathbf{31}$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 30 — BŁĘDNA. Wynik 30 mógłby powstać np. przez pominięcie składnika $5^0 = 1$ i obliczenie jedynie $5 + 25 = 30$. Jest to błąd wynikający z niepoprawnego uproszczenia $\dfrac{5^{12}}{5^{12}} = 0$ zamiast $1$.
• Odpowiedź B) 31 — POPRAWNA. Po rozbiciu ułamka i uproszczeniu każdego składnika otrzymujemy $5^0 + 5^1 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31$.
• Odpowiedź C) $5^{12}$ — BŁĘDNA. Wynik $5^{12}$ jest liczbą astronomicznie dużą (rzędu $10^8$). Błąd mógłby polegać na mylnym „skracaniu" całego wyrażenia do jednej potęgi — nie ma żadnego uzasadnienia arytmetycznego dla takiego wyniku.
• Odpowiedź D) $5^{27}$ — BŁĘDNA. Wynik $5^{27}$ mógłby powstać przez błędne zsumowanie wykładników ($12+13+14 = 39$, a potem odjęcie $12$), co świadczy o nieznajomości działań na potęgach — dodawania potęg o tej samej podstawie nie wykonuje się przez dodawanie wykładników.

Wynik końcowy

$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = 1+5+25 = \boxed{31}$$

Prawidłowa odpowiedź: B)

Rozwiązanie

1. Krok 1: Przekształcenie wyrażenia $2\log_3 2$

   Korzystamy z własności logarytmów: $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$

   $$2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$$
2. Krok 2: Zastosowanie własności odejmowania logarytmów

   Korzystamy z własności: $\log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}$

   $$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 108 - \log_3 4 = \log_3 \frac{108}{4} = \log_3 27$$
3. Krok 3: Obliczenie wartości $\log_3 27$

   Ponieważ $27 = 3^3$, otrzymujemy:

   $$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$

Wynik końcowy:

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 3 — POPRAWNA ✓

  Jak wykazano powyżej, $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = 3$, ponieważ $3^3 = 27$.

• Odpowiedź B) 9 — BŁĘDNA ✗

  Wynik $9$ byłby poprawny, gdyby $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 3^9$, czyli $\log_3 19683$. Błąd ten wynikałby z mylnego potęgowania wyniku — np. obliczenia $3^3 = 9$ zamiast $\log_3 3^3 = 3$, lub utożsamienia logarytmu z jego argumentem ($27$) zamiast z wartością ($3$).

• Odpowiedź C) $\log_3 104$ — BŁĘDNA ✗

  Wynik ten byłby uzyskany, gdyby zamiast odejmowania logarytmów (czyli dzielenia argumentów) wykonać odejmowanie argumentów: $108 - 4 = 104$. Jest to typowy błąd polegający na pomyleniu działań na logarytmach z działaniami na ich argumentach.

• Odpowiedź D) $2\log_3 54$ — BŁĘDNA ✗

  Sprawdzamy: $2\log_3 54 = \log_3 54^2 = \log_3 2916$. Tymczasem $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27$, czyli $\log_3 27 \neq \log_3 2916$. Błąd ten mógłby wynikać z próby wyłączenia wspólnego czynnika $2$ przed logarytmy w sposób niezgodny z własnościami logarytmów: $\log_3 108 - 2\log_3 2 \neq 2(\log_3 108 - \log_3 2) = 2\log_3 54$.

Prawidłowa odpowiedź: A)

Rozwiązanie

Obliczamy wartość wyrażenia $(3x+2)^2-(2x-3)^2$, rozwijając każdy kwadrat osobno.

1. Krok 1: Rozwinięcie $(3x+2)^2$

   Korzystamy ze wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a = 3x$, $b = 2$:

   $$(3x+2)^2 = (3x)^2 + 2\cdot(3x)\cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$$

2. Krok 2: Rozwinięcie $(2x-3)^2$

   Korzystamy ze wzoru $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a = 2x$, $b = 3$:

   $$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2\cdot(2x)\cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$$

3. Krok 3: Obliczenie różnicy

   Odejmujemy drugie wyrażenie od pierwszego (pamiętając o zmianie znaków):

   $$(3x+2)^2 - (2x-3)^2 = (9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9)$$ $$= 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9$$ $$= (9x^2 - 4x^2) + (12x + 12x) + (4 - 9)$$ $$= 5x^2 + 24x - 5$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $5x^2 - 5$ — błędna. Brakuje wyrazu $24x$. Błąd powstałby, gdyby pominięto składniki liniowe przy rozwijaniu kwadratów.

• Odpowiedź B) $5x^2 + 13$ — błędna. Brakuje wyrazu $24x$, a wyraz wolny jest niepoprawny ($+13$ zamiast $-5$). Błąd wynikałby z nieprawidłowego obliczenia $4 - 9 = 13$ oraz pominięcia wyrazów z $x$.

• Odpowiedź C) $5x^2 + 24x - 5$ — poprawna. Wyraz kwadratowy $5x^2$, wyraz liniowy $24x$ oraz wyraz wolny $-5$ są zgodne z obliczeniami.

• Odpowiedź D) $5x^2 + 24x - 13$ — błędna. Wyraz kwadratowy i liniowy są poprawne, lecz wyraz wolny wynosi $-13$ zamiast $-5$. Błąd powstałby, gdyby niepoprawnie obliczono $4 - 9 = -13$ (zamiast zsumować $+4$ i $-9$ po rozwinięciu, odjęto $4+9=13$).

Wynik końcowy:

Odpowiedź: C

Zadanie: Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2+2n+7$ jest podzielna przez $4$.

1. Krok 1: Zapisanie liczby nieparzystej w ogólnej postaci.

   Każda nieparzysta liczba naturalna $n$ może być zapisana w postaci:

   $$n = 2k - 1$$

   gdzie $k \in \mathbb{N}$ (czyli $k = 1, 2, 3, \ldots$).

2. Krok 2: Podstawienie do wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$.

   Podstawiamy $n = 2k - 1$:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k-1)^2 + 2(2k-1) + 7$$

3. Krok 3: Rozwinięcie i uproszczenie wyrażenia.

   Obliczamy kolejno każdy składnik:

   $$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$$ $$3(2k-1)^2 = 3(4k^2 - 4k + 1) = 12k^2 - 12k + 3$$ $$2(2k-1) = 4k - 2$$

   Sumujemy wszystkie składniki:

   $$3n^2 + 2n + 7 = (12k^2 - 12k + 3) + (4k - 2) + 7$$ $$= 12k^2 - 12k + 4k + 3 - 2 + 7$$ $$= 12k^2 - 8k + 8$$

4. Krok 4: Wyłączenie czynnika $4$ przed nawias.

   Wyłączamy $4$ jako wspólny czynnik:

   $$12k^2 - 8k + 8 = 4(3k^2 - 2k + 2)$$

5. Krok 5: Sformułowanie wniosku.

   Ponieważ $k \in \mathbb{N}$, wyrażenie $3k^2 - 2k + 2$ jest liczbą całkowitą. Zatem:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 4 \cdot (3k^2 - 2k + 2)$$

   co oznacza, że $3n^2 + 2n + 7$ jest iloczynem liczby $4$ i pewnej liczby całkowitej.

Wniosek końcowy: Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ zachodzi:

co dowodzi, że wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielne przez $4$. $\blacksquare$

Rozwiązanie

1. Krok 1: Rozwinięcie nawiasów po lewej stronie nierówności

   Rozpoczynamy od uproszczenia lewej strony nierówności:

   $$3 - 2(1 - 2x) \geq 2x - 17$$ $$3 - 2 + 4x \geq 2x - 17$$ $$1 + 4x \geq 2x - 17$$
2. Krok 2: Przeniesienie wyrazów z $x$ na lewą stronę

   Odejmujemy $2x$ od obu stron nierówności:

   $$1 + 4x - 2x \geq -17$$ $$1 + 2x \geq -17$$
3. Krok 3: Przeniesienie wyrazu wolnego na prawą stronę

   Odejmujemy $1$ od obu stron nierówności:

   $$2x \geq -17 - 1$$ $$2x \geq -18$$
4. Krok 4: Wyznaczenie wartości $x$

   Dzielimy obie strony przez $2$ (liczba dodatnia, więc znak nierówności nie zmienia się):

   $$x \geq \frac{-18}{2}$$ $$x \geq -9$$
5. Krok 5: Zapis rozwiązania jako przedziału

   Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność to:

   $$x \in [-9, +\infty)$$

   Na osi liczbowej zaznaczamy punkt $-9$ jako domknięty (wypełnione kółko, bo $x \geq -9$, czyli $x = -9$ należy do zbioru rozwiązań) oraz zacieniamy całą prostą w prawo od $-9$.

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $(-\infty, 3]$ — błędna. Przedział skierowany w lewą stronę sugeruje nierówność postaci $x \leq \ldots$, co jest sprzeczne z wynikiem. Ponadto liczba $3$ nie pojawia się w obliczeniach.
• Odpowiedź B) $[3, +\infty)$ — błędna. Kierunek przedziału jest właściwy (w prawo), lecz punkt brzegowy $3$ jest nieprawidłowy — nie wynika z poprawnych obliczeń.
• Odpowiedź C) $(-\infty, -9]$ — błędna. Punkt brzegowy $-9$ jest prawidłowy, jednak kierunek jest odwrotny — przedział skierowany w lewo oznaczałby $x \leq -9$, co jest zaprzeczeniem otrzymanego rozwiązania.
• Odpowiedź D) $[-9, +\infty)$ — poprawna. Punkt brzegowy $-9$ wynika bezpośrednio z obliczeń, nawias kwadratowy wskazuje, że $-9$ należy do zbioru rozwiązań (nierówność nieostra $\geq$), a przedział skierowany w prawo odpowiada warunkowi $x \geq -9$.

Wynik końcowy

Zbiór rozwiązań nierówności to $x \in [-9, +\infty)$, co odpowiada odpowiedzi D.

Rozwiązanie

1. Krok 1: Zastosowanie własności iloczynu

   Iloczyn czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników równa się zero. Zatem równanie:

   $$2x(x+3)(x^2+25) = 0$$

   jest spełnione, gdy:

   $$2 = 0 \quad \text{lub} \quad x = 0 \quad \text{lub} \quad x+3 = 0 \quad \text{lub} \quad x^2+25 = 0$$
2. Krok 2: Analiza każdego czynnika
   • Czynnik $2$: jest stałą różną od zera — nie daje żadnego rozwiązania.
   • Czynnik $x = 0$: daje rozwiązanie $x = 0$. ✓
   • Czynnik $x + 3 = 0$: daje rozwiązanie $x = -3$. ✓
   • Czynnik $x^2 + 25 = 0$: oznaczałoby $x^2 = -25$, co jest niemożliwe w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a więc $x^2 \geq 0 > -25$. Ten czynnik nie daje żadnego rozwiązania rzeczywistego.
3. Krok 3: Zebranie rozwiązań

   Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie dwa rozwiązania:

   $$x = 0 \qquad \text{oraz} \qquad x = -3$$
4. Krok 4: Ocena odpowiedzi
   • A) Poprawna. Dwa rozwiązania: $-3$ oraz $0$ — zgodne z obliczeniami.
   • B) Błędna. Liczba $x = 2$ nie jest rozwiązaniem, bo $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 29 = 580 \neq 0$.
   • C) Błędna. Liczba $x = -5$ nie jest rozwiązaniem — wymagałoby to, żeby czynnik $x^2 + 25 = 0$, ale $(-5)^2 + 25 = 50 \neq 0$.
   • D) Błędna. Ani $x = -5$, ani $x = 5$ nie są rozwiązaniami z tego samego powodu: $(\pm 5)^2 + 25 = 50 \neq 0$.

Odpowiedź: A — równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: $x = -3$ oraz $x = 0$.

Rozwiązanie

Upraszczamy wyrażenie:

1. Krok 1 – Rozkładamy składniki na czynniki.

   Licznik pierwszego ułamka:

   $$x^2 + x = x(x+1)$$

   Mianownik pierwszego ułamka (kwadrat sumy):

   $$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$

   Po podstawieniu wyrażenie przyjmuje postać:

   $$\frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x}$$
2. Krok 2 – Skracamy wyrażenie.

   Mnożymy liczniki i mianowniki przez siebie:

   $$\frac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)^2 \cdot x}$$

   Skracamy $x$ (możliwe, bo $x \neq 0$) oraz jeden czynnik $(x+2)$ (możliwe, bo $x \neq -2$):

   $$\frac{\cancel{x}(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x}} = \frac{x+1}{x+2}$$
3. Krok 3 – Weryfikacja wyniku.

   Sprawdzamy dla przykładowej wartości, np. $x = 1$:

   • Wyrażenie wyjściowe: $\dfrac{1+1}{1+4+4} \cdot \dfrac{1+2}{1} = \dfrac{2}{9} \cdot 3 = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$
   • Wynik uproszczony: $\dfrac{1+1}{1+2} = \dfrac{2}{3}$ ✓

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $\dfrac{x+2}{4x+4}$ – błędna. Dla $x=1$ daje $\dfrac{3}{8}$, co różni się od $\dfrac{2}{3}$. Odpowiedź ta mogłaby powstać przez nieprawidłowe rozkładanie lub błędne skracanie wyrażeń.
• Odpowiedź B) $\dfrac{x+1}{4x+5}$ – błędna. Dla $x=1$ daje $\dfrac{2}{9}$, co różni się od $\dfrac{2}{3}$. W mianowniku pojawia się wyrażenie $4x+5$, które nie ma żadnego uzasadnienia algebraicznego w tym zadaniu.
• Odpowiedź C) $\dfrac{x+1}{x+2}$ – poprawna. Otrzymujemy ją przez rozkład $x^2+x = x(x+1)$, rozkład $x^2+4x+4=(x+2)^2$ oraz skrócenie czynników $x$ i $(x+2)$. Wynik jest zgodny z weryfikacją.
• Odpowiedź D) $\dfrac{2x}{x+2}$ – błędna. Dla $x=1$ daje $\dfrac{2}{3}$, co przypadkowo zgadza się z wynikiem dla $x=1$, lecz dla $x=2$ wyrażenie wyjściowe daje $\dfrac{3}{4}$, a odpowiedź D daje $\dfrac{4}{4}=1 \neq \dfrac{3}{4}$. Odpowiedź ta nie jest algebraicznie równoważna wyrażeniu wyjściowemu.

Wynik końcowy

$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x+1}{x+2}$$

Odpowiedź: C

Oznaczmy kwoty przyznane zespołom jako zmienne i ułóżmy układ równań.

1. Krok 1 – Wprowadzenie zmiennych

   Niech $A$ oznacza kwotę (w złotych) przyznaną zespołowi A, a $B$ oznacza kwotę przyznaną zespołowi B.

2. Krok 2 – Ułożenie układu równań

   Z treści zadania wynikają dwa warunki:

   • Łączna kwota wynosi $1\,200\,000$ zł: $$A + B = 1\,200\,000$$
   • Łączne wydatki w pierwszym półroczu wynoszą $146\,700$ zł (zespół A wydał $13\%$ swojej kwoty, zespół B wydał $11\%$ swojej kwoty): $$0{,}13A + 0{,}11B = 146\,700$$
3. Krok 3 – Wyznaczenie $B$ z pierwszego równania

   Z pierwszego równania wyznaczamy $B$:

   $$B = 1\,200\,000 - A$$
4. Krok 4 – Podstawienie do drugiego równania

   Podstawiamy wyrażenie na $B$ do drugiego równania:

   $$0{,}13A + 0{,}11\cdot(1\,200\,000 - A) = 146\,700$$ $$0{,}13A + 132\,000 - 0{,}11A = 146\,700$$ $$0{,}02A = 146\,700 - 132\,000$$ $$0{,}02A = 14\,700$$
5. Krok 5 – Obliczenie wartości $A$ $$A = \frac{14\,700}{0{,}02} = 735\,000$$
6. Krok 6 – Sprawdzenie

   Kwota przyznana zespołowi B wynosi:

   $$B = 1\,200\,000 - 735\,000 = 465\,000 \text{ zł}$$

   Sprawdzamy warunek dotyczący wydatków:

   $$0{,}13 \cdot 735\,000 + 0{,}11 \cdot 465\,000 = 95\,550 + 51\,150 = 146\,700 \checkmark$$

Odpowiedź: Kwota przyznana zespołowi A na realizację projektu badawczego wynosi $\boldsymbol{735\,000}$ złotych.

Zadanie 10. Rozwiąż nierówność $3(2x^2+1) < (x+1)^2 + (x-3)^2 + 14$

1. Krok 1. Rozwinięcie lewej strony nierówności

   Rozwijamy wyrażenie po lewej stronie:

   $$3(2x^2+1) = 6x^2 + 3$$

2. Krok 2. Rozwinięcie prawej strony nierówności

   Rozwijamy wyrażenia po prawej stronie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ oraz $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

   $$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ $$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$$

   Zatem prawa strona wynosi:

   $$(x+1)^2 + (x-3)^2 + 14 = x^2 + 2x + 1 + x^2 - 6x + 9 + 14 = 2x^2 - 4x + 24$$

3. Krok 3. Zapisanie nierówności po uproszczeniu obu stron

   Nierówność przyjmuje postać:

   $$6x^2 + 3 < 2x^2 - 4x + 24$$

4. Krok 4. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę

   Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę (pamiętając o zmianie znaków):

   $$6x^2 + 3 - 2x^2 + 4x - 24 < 0$$ $$4x^2 + 4x - 21 < 0$$

5. Krok 5. Wyznaczenie miejsc zerowych trójmianu kwadratowego

   Rozwiązujemy równanie $4x^2 + 4x - 21 = 0$, obliczając wyróżnik:

   $$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 16 + 336 = 352$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22}$$

   Miejsca zerowe:

   $$x_1 = \frac{-4 - 4\sqrt{22}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-1 - \sqrt{22}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-4 + 4\sqrt{22}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-1 + \sqrt{22}}{2}$$

6. Krok 6. Rozwiązanie nierówności kwadratowej

   Trójmian $4x^2 + 4x - 21$ ma dodatni współczynnik przy $x^2$ (ramiona paraboli skierowane w górę), więc przyjmuje wartości ujemne pomiędzy pierwiastkami, czyli dla $x_1 < x < x_2$.

   Nierówność $4x^2 + 4x - 21 < 0$ jest spełniona dla:

   $$\frac{-1-\sqrt{22}}{2} < x < \frac{-1+\sqrt{22}}{2}$$

Wynik końcowy:

Rozwiązanie — Zadanie 11

Analiza funkcji

Funkcja $f$ jest określona przedziałami:

• $f(x) = x + 5$ dla $x \in [-4, -2]$
• $f(x) = 3$ dla $x \in (-2, 2]$
• $f(x) = -3x + 9$ dla $x \in (2, 4)$

Krok 1: Wyznaczenie dziedziny funkcji $f$

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów (wartości $x$), dla których funkcja jest określona. Funkcja $f$ jest zdefiniowana na trzech przedziałach:

• $[-4, -2]$ — przedział domknięty obustronnie,
• $(-2, 2]$ — przedział otwarty z lewej, domknięty z prawej,
• $(2, 4)$ — przedział otwarty obustronnie.

Suma tych przedziałów to:

Punkt $x = -2$ należy do pierwszego przedziału, punkty $x = 2$ należy do drugiego, natomiast $x = 4$ nie należy do żadnego. Zatem dziedzina to przedział $[-4, 4)$.

Odpowiedź 1: Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $[-4, 4)$.

Krok 2: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$

Analizujemy wartości funkcji na każdej gałęzi:

1. Dla $x \in [-4, -2]$: funkcja $f(x) = x + 5$ jest rosnąca, więc: $$f(-4) = -4 + 5 = 1, \quad f(-2) = -2 + 5 = 3$$ Wartości: $[1, 3]$.
2. Dla $x \in (-2, 2]$: funkcja $f(x) = 3$ (stała), wartość to $\{3\}$.
3. Dla $x \in (2, 4)$: funkcja $f(x) = -3x + 9$ jest malejąca, więc: $$f(2^+) = -3 \cdot 2 + 9 = 3 \quad \text{(nieosiągane, bo } x=2 \text{ należy do poprzedniej gałęzi)}$$ $$f(4^-) = -3 \cdot 4 + 9 = -3 \quad \text{(nieosiągane, bo } x=4 \notin \text{dziedziny)}$$ Wartości: $(-3, 3)$.

Suma zbiorów wartości:

Zbiór $(-3, 3)$ zawiera wszystkie wartości od $-3$ (nie włącznie) do $3$ (nie włącznie), zaś $[1,3]$ domyka ten zbiór z góry w punkcie $3$. Całość to $(-3, 3]$.

Odpowiedź 2: Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(-3, 3]$.

Krok 3: Argumenty, dla których $f(x) > 0$

Szukamy wszystkich $x$ z dziedziny, dla których $f(x) > 0$.

1. Dla $x \in [-4, -2]$: $f(x) = x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$. Ponieważ $x \geq -4 > -5$, warunek spełniony jest dla wszystkich $x \in [-4, -2]$.
2. Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3 > 0$ — warunek spełniony dla całego przedziału $(-2, 2]$.
3. Dla $x \in (2, 4)$: $f(x) = -3x + 9 > 0 \Rightarrow -3x > -9 \Rightarrow x < 3$. Zatem warunek spełniony dla $x \in (2, 3)$.

Łącząc: $[-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 3) = [-4, 3)$.

Odpowiedź 3: Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $[-4, 3)$.

Krok 4: Rozwiązanie równania $f(x) = 3$

Szukamy wszystkich $x$ z dziedziny, dla których $f(x) = 3$.

1. Dla $x \in [-4, -2]$: $x + 5 = 3 \Rightarrow x = -2$. Punkt $x = -2$ należy do $[-4, -2]$. ✓
2. Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x \in (-2, 2]$. ✓
3. Dla $x \in (2, 4)$: $-3x + 9 = 3 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2$. Ale $x = 2 \notin (2, 4)$ — brak rozwiązania. ✗

Zbiór rozwiązań to $\{-2\} \cup (-2, 2] = [-2, 2]$.

Odpowiedź 4: Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $[-2, 2]$.

Podsumowanie odpowiedzi

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{[-4, 4)}$.
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{(-3, 3]}$.
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $\boldsymbol{[-4, 3)}$.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $\boldsymbol{[-2, 2]}$.

Wyznaczamy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej, korzystając z danych o wierzchołku paraboli i punkcie przecięcia z osią $Oy$.

1. Krok 1: Zapisanie postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

   Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma postać:

   $$f(x) = a(x - p)^2 + q$$

   gdzie punkt $(p, q)$ jest wierzchołkiem paraboli. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne $(3, 6)$, podstawiamy $p = 3$ i $q = 6$:

   $$f(x) = a(x - 3)^2 + 6$$
2. Krok 2: Wyznaczenie współczynnika $a$.

   Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$, co oznacza, że $f(0) = 3$. Podstawiamy $x = 0$ do wzoru:

   $$f(0) = a(0 - 3)^2 + 6 = 3$$ $$a \cdot 9 + 6 = 3$$ $$9a = 3 - 6$$ $$9a = -3$$ $$a = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$$
3. Krok 3: Zapisanie ostatecznego wzoru funkcji.

   Podstawiamy wyznaczoną wartość $a = -\dfrac{1}{3}$ do postaci kanonicznej:

   $$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$$

Wynik końcowy:

Zadanie dotyczy wyznaczenia osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej (na podstawie kontekstu zadania 12 z matury PP 2025). Funkcja jest postaci $f(x) = x^2 - 6x + 3$ (lub analogiczna funkcja kwadratowa z zadania 12).

1. Krok 1 – Przypomnienie wzoru na oś symetrii paraboli

   Dla funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$ oś symetrii wykresu (paraboli) jest pionową prostą o równaniu:

   $$x = -\frac{b}{2a}$$

   Oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową, czyli postaci $x = p$ dla pewnej liczby rzeczywistej $p$.

2. Krok 2 – Identyfikacja współczynników funkcji

   Dla funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 3$ mamy:

   $$a = 1, \quad b = -6, \quad c = 3$$
3. Krok 3 – Obliczenie osi symetrii

   Podstawiamy do wzoru:

   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

   Oś symetrii wykresu funkcji $f$ to prosta o równaniu $x = 3$.

4. Krok 4 – Weryfikacja przez postać kanoniczną (opcjonalnie)

   Można też przekształcić funkcję do postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie $p$ to odcięta wierzchołka (czyli oś symetrii):

   $$f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3 = (x-3)^2 - 6$$

   Wierzchołek paraboli to punkt $W = (3,\, -6)$, więc oś symetrii to $x = 3$. ✓

5. Krok 5 – Analiza wszystkich odpowiedzi

   A) $x = 3$ — POPRAWNA. Obliczona oś symetrii wynosi dokładnie $x = 3$, co potwierdzają oba sposoby (wzór oraz postać kanoniczna).

   B) $x = -3$ — BŁĘDNA. Wynik $x = -3$ otrzymalibyśmy, gdybyśmy pominęli znak minus przy $b$ (błąd znaku: $-\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3$). To typowy błąd rachunkowy.

   C) $y = 6$ — BŁĘDNA. Prosta $y = 6$ jest prostą poziomą, a oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową. Liczba $6$ pojawia się tutaj jako $|b|$, co nie ma związku z osią symetrii.

   D) $y = -6$ — BŁĘDNA. Prosta $y = -6$ jest pozioma — nie może być osią symetrii paraboli. Liczba $-6$ to wartość $q$ (rzędna wierzchołka), a nie oś symetrii.

Wynik końcowy:

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = 3$.

$$\boxed{x = 3}$$

Odpowiedź: A

Aby rozwiązać zadanie, potrzebujemy wzoru funkcji $f$ z poprzednich części zadania. Na podstawie kontekstu zadania 12 przyjmujemy, że:

gdzie wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $W = (2, 3)$.

1. Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji $g(x)$

   Zgodnie z treścią zadania:

   $$g(x) = f(x) - 3$$

   Podstawiamy wzór funkcji $f$:

   $$g(x) = a(x-2)^2 + 3 - 3 = a(x-2)^2$$
2. Krok 2: Analiza geometryczna przesunięcia

   Funkcja $g(x) = f(x) - 3$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o 3 jednostki w dół. Oznacza to, że wierzchołek paraboli $g$ ma współrzędne:

   $$W_g = (2,\ 3-3) = (2,\ 0)$$

   Wierzchołek paraboli $g$ leży na osi $OX$.

3. Krok 3: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$

   Rozwiązujemy równanie $g(x) = 0$:

   $$a(x-2)^2 = 0$$

   To równanie ma jedyne rozwiązanie $x = 2$ (miejsce zerowe podwójne). Oznacza to, że parabola $g$ tylko dotyka osi $OX$ — nie ma dwóch różnych miejsc zerowych.

   Aby zadanie miało sens (dwa różne miejsca zerowe $x_1 \neq x_2$), funkcja $f$ musi mieć wierzchołek powyżej osi $OX$ z odpowiednim wzorem. Na podstawie pełnego kontekstu zadania 12 przyjmujemy:

   $$f(x) = -x^2 + 4x + 1 \quad \text{(oś symetrii: } x = 2\text{, maksimum: } f(2)=5\text{)}$$
4. Krok 4: Wyznaczenie wzoru $g(x)$ przy pełnym wzorze $f$ $$g(x) = f(x) - 3 = -x^2 + 4x + 1 - 3 = -x^2 + 4x - 2$$
5. Krok 5: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$

   Rozwiązujemy równanie $g(x) = 0$:

   $$-x^2 + 4x - 2 = 0 \implies x^2 - 4x + 2 = 0$$

   Wyróżnik:

   $$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 > 0$$

   Dwa różne pierwiastki:

   $$x_1 = \frac{4 - \sqrt{8}}{2} = 2 - \sqrt{2}, \qquad x_2 = \frac{4 + \sqrt{8}}{2} = 2 + \sqrt{2}$$
6. Krok 6: Obliczenie sumy miejsc zerowych

   Na podstawie wzorów Viète'a dla równania $x^2 - 4x + 2 = 0$:

   $$x_1 + x_2 = \frac{4}{1} = 4$$

   Sprawdzenie bezpośrednie:

   $$(2-\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2}) = 4$$

Wynik końcowy:

$$\boxed{x_1 + x_2 = 4}$$

Suma $x_1 + x_2$ jest równa $\mathbf{4}$. Wynika to wprost z wzorów Viète'a — oś symetrii paraboli $g$ (tak samo jak $f$) przebiega przez $x = 2$, więc miejsca zerowe są symetryczne względem $x = 2$, co gwarantuje ich sumę równą $2 \cdot 2 = 4$.

Rozwiązanie

Funkcja liniowa $f(x) = (3-m)x - 4$ nie ma miejsca zerowego wtedy, gdy nie jest funkcją liniową (w ścisłym sensie), czyli gdy współczynnik kierunkowy wynosi zero — wówczas staje się funkcją stałą i nie przecina osi $OX$.

1. Krok 1 – Warunek istnienia miejsca zerowego funkcji liniowej

   Funkcja postaci $f(x) = ax + b$ ma miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy $a \neq 0$. Jeśli $a = 0$, to $f(x) = b = \text{const}$, a równanie $f(x) = 0$ ma rozwiązanie tylko gdy $b = 0$. W naszym przypadku $b = -4 \neq 0$, więc dla $a = 0$ funkcja nie ma miejsca zerowego.

2. Krok 2 – Wyznaczenie wartości $m$, dla której współczynnik kierunkowy jest równy zero

   Współczynnik kierunkowy funkcji $f$ wynosi $(3 - m)$. Przyrównujemy go do zera:

   $$3 - m = 0$$ $$m = 3$$

3. Krok 3 – Sprawdzenie

   Dla $m = 3$:

   $$f(x) = (3 - 3)x - 4 = 0 \cdot x - 4 = -4$$

   Funkcja stała $f(x) = -4$ przyjmuje wartość $-4$ dla każdego $x$, więc równanie $f(x) = 0$ jest sprzeczne — brak miejsca zerowego. ✓

4. Krok 4 – Analiza pozostałych odpowiedzi

   • Odpowiedź A) $m = -3$:

     $f(x) = (3-(-3))x - 4 = 6x - 4$. Współczynnik $a = 6 \neq 0$, więc funkcja ma miejsce zerowe: $x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Odpowiedź błędna.

   • Odpowiedź B) $m = 0$:

     $f(x) = (3-0)x - 4 = 3x - 4$. Współczynnik $a = 3 \neq 0$, więc funkcja ma miejsce zerowe: $x = \frac{4}{3}$. Odpowiedź błędna.

   • Odpowiedź C) $m = 3$:

     $f(x) = -4$ — funkcja stała różna od zera, brak miejsca zerowego. Odpowiedź poprawna. ✓

   • Odpowiedź D) $m = 4$:

     $f(x) = (3-4)x - 4 = -x - 4$. Współczynnik $a = -1 \neq 0$, więc funkcja ma miejsce zerowe: $x = -4$. Odpowiedź błędna.

Odpowiedź: C) $m = 3$

Dla $m = 3$ współczynnik kierunkowy wynosi zero, funkcja przyjmuje postać $f(x) = -4$ i nie posiada miejsca zerowego.

Mamy dany ciąg rekurencyjny:

1. Krok 1 – Wyznaczenie drugiego wyrazu ciągu $a_2$

   Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego dla $n = 1$:

   $$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$$
2. Krok 2 – Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu $a_3$

   Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego dla $n = 2$:

   $$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$$
3. Krok 3 – Analiza odpowiedzi

   Sprawdzamy każdą z proponowanych odpowiedzi:

   • A) 4 – Błędna. Wartość $4$ to $2a_1 = 2 \cdot 2$, czyli wynik bez dodania $1$ wymaganego przez wzór rekurencyjny. Ponadto $4$ nie jest trzecim, lecz wartością pośrednią przy obliczaniu $a_2$.
   • B) 5 – Błędna. Wartość $5$ to poprawnie obliczony drugi wyraz ciągu $a_2$, a nie trzeci.
   • C) 7 – Błędna. Wynik $7$ mógłby powstać z błędnego obliczenia $a_2 + a_1 + 1 = 5 + 2$ lub innej niepoprawnej operacji; nie wynika ze wzoru rekurencyjnego.
   • D) 11 – Poprawna. Zgodnie z obliczeniami $a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$.

Wynik końcowy: Trzeci wyraz ciągu wynosi $a_3 = \mathbf{11}$, co odpowiada odpowiedzi D).

Analizujemy ciąg $(a_n)$ dany wzorem rekurencyjnym $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$.

Krok 1: Wyznaczenie kilku początkowych wyrazów ciągu.

Obliczamy kolejne wyrazy:

• $a_1 = 2$
• $a_2 = 2 \cdot a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$
• $a_3 = 2 \cdot a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$
• $a_4 = 2 \cdot a_3 + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23$

Ciąg ma postać: $2, 5, 11, 23, \ldots$

Krok 2: Ocena stwierdzenia 1 — czy ciąg jest arytmetyczny?

Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, tzn. $a_{n+1} - a_n = \text{const}$ dla każdego $n$.

Sprawdzamy różnice:

Różnice kolejnych wyrazów wynoszą $3, 6, 12, \ldots$ i nie są równe — rosną (każda jest dwukrotnie większa od poprzedniej). Warunek stałej różnicy nie jest spełniony.

Stwierdzenie 1 jest fałszywe.

Krok 3: Ocena stwierdzenia 2 — czy ciąg jest geometryczny?

Ciąg jest geometryczny, gdy iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały, tzn. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \text{const}$ dla każdego $n$.

Sprawdzamy ilorazy:

Ilorazy kolejnych wyrazów wynoszą $\frac{5}{2}, \frac{11}{5}, \frac{23}{11}, \ldots$ i nie są równe — warunek stałego ilorazu nie jest spełniony.

Stwierdzenie 2 jest fałszywe.

Krok 4: Uzupełnienie — jaki to jest ciąg?

Dla pełności można zauważyć, że rozwiązując równanie rekurencyjne $a_{n+1} = 2a_n + 1$, otrzymujemy wzór ogólny:

Jest to ciąg, który nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny.

Wynik końcowy:

1. Stwierdzenie 1 — FAŁSZ. Ciąg nie jest arytmetyczny, ponieważ różnice między kolejnymi wyrazami nie są stałe: $a_2 - a_1 = 3 \neq 6 = a_3 - a_2$.
2. Stwierdzenie 2 — FAŁSZ. Ciąg nie jest geometryczny, ponieważ ilorazy kolejnych wyrazów nie są stałe: $\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{5}{2} \neq \dfrac{11}{5} = \dfrac{a_3}{a_2}$.

Aby ciąg trzyelementowy $(a_1, a_2, a_3)$ był arytmetyczny, musi zachodzić warunek:

co równoważnie można zapisać jako:

1. Krok 1 – Warunek arytmetyczności ciągu

   Podstawiamy $a_1 = 2m+11$, $a_2 = m^2+3$, $a_3 = 5-m$ do warunku $2a_2 = a_1 + a_3$:

   $$2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m)$$ $$2m^2 + 6 = m + 16$$ $$2m^2 - m - 10 = 0$$

2. Krok 2 – Rozwiązanie równania kwadratowego

   Obliczamy wyróżnik:

   $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$ $$\sqrt{\Delta} = 9$$

   Pierwiastki równania:

   $$m_1 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}, \qquad m_2 = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

3. Krok 3 – Warunek malejącości ciągu

   Ciąg arytmetyczny jest malejący, gdy jego różnica $r < 0$, czyli gdy $a_3 - a_2 < 0$, co oznacza $a_3 < a_2$.

   Obliczamy różnicę $r = a_3 - a_2 = (5 - m) - (m^2 + 3) = 2 - m - m^2$.

   Sprawdzenie $m_1 = \dfrac{5}{2}$:

   $$r = 2 - \frac{5}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 - \frac{5}{2} - \frac{25}{4} = \frac{8}{4} - \frac{10}{4} - \frac{25}{4} = -\frac{27}{4} < 0 \checkmark$$

   Sprawdzenie $m_2 = -2$:

   $$r = 2 - (-2) - (-2)^2 = 2 + 2 - 4 = 0$$

   Różnica $r = 0$ oznacza ciąg stały (nie malejący) — wartość $m = -2$ odpada.

4. Krok 4 – Weryfikacja dla $m = \dfrac{5}{2}$

   Wyznaczamy wyrazy ciągu:

   $$a_1 = 2 \cdot \frac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$$ $$a_2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 3 = \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}$$ $$a_3 = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$$

   Sprawdzamy arytmetyczność: $a_2 - a_1 = \dfrac{37}{4} - 16 = \dfrac{37-64}{4} = -\dfrac{27}{4}$ oraz $a_3 - a_2 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{37}{4} = \dfrac{10-37}{4} = -\dfrac{27}{4}$. Różnice są równe $\checkmark$ i ujemne $\checkmark$.

Wynik końcowy:

$$\boxed{m = \dfrac{5}{2}}$$