Rozwiązanie
-
Krok 1: Zastosowanie własności iloczynu
Iloczyn czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników równa się zero. Zatem równanie:
$$2x(x+3)(x^2+25) = 0$$
jest spełnione, gdy:
$$2 = 0 \quad \text{lub} \quad x = 0 \quad \text{lub} \quad x+3 = 0 \quad \text{lub} \quad x^2+25 = 0$$
-
Krok 2: Analiza każdego czynnika
- Czynnik $2$: jest stałą różną od zera — nie daje żadnego rozwiązania.
- Czynnik $x = 0$: daje rozwiązanie $x = 0$. ✓
- Czynnik $x + 3 = 0$: daje rozwiązanie $x = -3$. ✓
- Czynnik $x^2 + 25 = 0$: oznaczałoby $x^2 = -25$, co jest niemożliwe w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a więc $x^2 \geq 0 > -25$. Ten czynnik nie daje żadnego rozwiązania rzeczywistego.
-
Krok 3: Zebranie rozwiązań
Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie dwa rozwiązania:
$$x = 0 \qquad \text{oraz} \qquad x = -3$$
-
Krok 4: Ocena odpowiedzi
- A) Poprawna. Dwa rozwiązania: $-3$ oraz $0$ — zgodne z obliczeniami.
- B) Błędna. Liczba $x = 2$ nie jest rozwiązaniem, bo $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 29 = 580 \neq 0$.
- C) Błędna. Liczba $x = -5$ nie jest rozwiązaniem — wymagałoby to, żeby czynnik $x^2 + 25 = 0$, ale $(-5)^2 + 25 = 50 \neq 0$.
- D) Błędna. Ani $x = -5$, ani $x = 5$ nie są rozwiązaniami z tego samego powodu: $(\pm 5)^2 + 25 = 50 \neq 0$.
Odpowiedź: A — równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: $x = -3$ oraz $x = 0$.