Rozwiązanie
-
Krok 1: Rozbicie ułamka na sumę
Korzystamy z własności ułamków — dzielimy każdy składnik licznika przez mianownik osobno:
$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{13}}{5^{12}}+\frac{5^{14}}{5^{12}}$$
-
Krok 2: Uproszczenie każdego składnika
Korzystamy z prawa działań na potęgach: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$$\frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{13}}{5^{12}}+\frac{5^{14}}{5^{12}} = 5^{0}+5^{1}+5^{2}$$
-
Krok 3: Obliczenie wyniku
Obliczamy wartości kolejnych potęg:
$$5^{0}+5^{1}+5^{2} = 1 + 5 + 25 = \mathbf{31}$$
Analiza odpowiedzi
- Odpowiedź A) 30 — BŁĘDNA. Wynik 30 mógłby powstać np. przez pominięcie składnika $5^0 = 1$ i obliczenie jedynie $5 + 25 = 30$. Jest to błąd wynikający z niepoprawnego uproszczenia $\dfrac{5^{12}}{5^{12}} = 0$ zamiast $1$.
- Odpowiedź B) 31 — POPRAWNA. Po rozbiciu ułamka i uproszczeniu każdego składnika otrzymujemy $5^0 + 5^1 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31$.
- Odpowiedź C) $5^{12}$ — BŁĘDNA. Wynik $5^{12}$ jest liczbą astronomicznie dużą (rzędu $10^8$). Błąd mógłby polegać na mylnym „skracaniu" całego wyrażenia do jednej potęgi — nie ma żadnego uzasadnienia arytmetycznego dla takiego wyniku.
- Odpowiedź D) $5^{27}$ — BŁĘDNA. Wynik $5^{27}$ mógłby powstać przez błędne zsumowanie wykładników ($12+13+14 = 39$, a potem odjęcie $12$), co świadczy o nieznajomości działań na potęgach — dodawania potęg o tej samej podstawie nie wykonuje się przez dodawanie wykładników.
Wynik końcowy
$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = 1+5+25 = \boxed{31}$$
Prawidłowa odpowiedź: B)