Rozwiązanie
-
Krok 1: Rozwinięcie nawiasów po lewej stronie nierówności
Rozpoczynamy od uproszczenia lewej strony nierówności:
$$3 - 2(1 - 2x) \geq 2x - 17$$
$$3 - 2 + 4x \geq 2x - 17$$
$$1 + 4x \geq 2x - 17$$
-
Krok 2: Przeniesienie wyrazów z $x$ na lewą stronę
Odejmujemy $2x$ od obu stron nierówności:
$$1 + 4x - 2x \geq -17$$
$$1 + 2x \geq -17$$
-
Krok 3: Przeniesienie wyrazu wolnego na prawą stronę
Odejmujemy $1$ od obu stron nierówności:
$$2x \geq -17 - 1$$
$$2x \geq -18$$
-
Krok 4: Wyznaczenie wartości $x$
Dzielimy obie strony przez $2$ (liczba dodatnia, więc znak nierówności nie zmienia się):
$$x \geq \frac{-18}{2}$$
$$x \geq -9$$
-
Krok 5: Zapis rozwiązania jako przedziału
Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność to:
$$x \in [-9, +\infty)$$
Na osi liczbowej zaznaczamy punkt $-9$ jako domknięty (wypełnione kółko, bo $x \geq -9$, czyli $x = -9$ należy do zbioru rozwiązań) oraz zacieniamy całą prostą w prawo od $-9$.
Analiza odpowiedzi
-
Odpowiedź A) $(-\infty, 3]$ — błędna. Przedział skierowany w lewą stronę sugeruje nierówność postaci $x \leq \ldots$, co jest sprzeczne z wynikiem. Ponadto liczba $3$ nie pojawia się w obliczeniach.
-
Odpowiedź B) $[3, +\infty)$ — błędna. Kierunek przedziału jest właściwy (w prawo), lecz punkt brzegowy $3$ jest nieprawidłowy — nie wynika z poprawnych obliczeń.
-
Odpowiedź C) $(-\infty, -9]$ — błędna. Punkt brzegowy $-9$ jest prawidłowy, jednak kierunek jest odwrotny — przedział skierowany w lewo oznaczałby $x \leq -9$, co jest zaprzeczeniem otrzymanego rozwiązania.
-
Odpowiedź D) $[-9, +\infty)$ — poprawna. Punkt brzegowy $-9$ wynika bezpośrednio z obliczeń, nawias kwadratowy wskazuje, że $-9$ należy do zbioru rozwiązań (nierówność nieostra $\geq$), a przedział skierowany w prawo odpowiada warunkowi $x \geq -9$.
Wynik końcowy
Zbiór rozwiązań nierówności to $x \in [-9, +\infty)$, co odpowiada odpowiedzi D.
