LekcjeRazem

Aby ciąg trzyelementowy $(a_1, a_2, a_3)$ był arytmetyczny, musi zachodzić warunek:

co równoważnie można zapisać jako:

1. Krok 1 – Warunek arytmetyczności ciągu

   Podstawiamy $a_1 = 2m+11$, $a_2 = m^2+3$, $a_3 = 5-m$ do warunku $2a_2 = a_1 + a_3$:

   $$2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m)$$ $$2m^2 + 6 = m + 16$$ $$2m^2 - m - 10 = 0$$

2. Krok 2 – Rozwiązanie równania kwadratowego

   Obliczamy wyróżnik:

   $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$ $$\sqrt{\Delta} = 9$$

   Pierwiastki równania:

   $$m_1 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}, \qquad m_2 = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

3. Krok 3 – Warunek malejącości ciągu

   Ciąg arytmetyczny jest malejący, gdy jego różnica $r < 0$, czyli gdy $a_3 - a_2 < 0$, co oznacza $a_3 < a_2$.

   Obliczamy różnicę $r = a_3 - a_2 = (5 - m) - (m^2 + 3) = 2 - m - m^2$.

   Sprawdzenie $m_1 = \dfrac{5}{2}$:

   $$r = 2 - \frac{5}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 - \frac{5}{2} - \frac{25}{4} = \frac{8}{4} - \frac{10}{4} - \frac{25}{4} = -\frac{27}{4} < 0 \checkmark$$

   Sprawdzenie $m_2 = -2$:

   $$r = 2 - (-2) - (-2)^2 = 2 + 2 - 4 = 0$$

   Różnica $r = 0$ oznacza ciąg stały (nie malejący) — wartość $m = -2$ odpada.

4. Krok 4 – Weryfikacja dla $m = \dfrac{5}{2}$

   Wyznaczamy wyrazy ciągu:

   $$a_1 = 2 \cdot \frac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$$ $$a_2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 3 = \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}$$ $$a_3 = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$$

   Sprawdzamy arytmetyczność: $a_2 - a_1 = \dfrac{37}{4} - 16 = \dfrac{37-64}{4} = -\dfrac{27}{4}$ oraz $a_3 - a_2 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{37}{4} = \dfrac{10-37}{4} = -\dfrac{27}{4}$. Różnice są równe $\checkmark$ i ujemne $\checkmark$.

Wynik końcowy:

$$\boxed{m = \dfrac{5}{2}}$$