Zadanie dotyczy wyznaczenia osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej (na podstawie kontekstu zadania 12 z matury PP 2025). Funkcja jest postaci $f(x) = x^2 - 6x + 3$ (lub analogiczna funkcja kwadratowa z zadania 12).
-
Krok 1 – Przypomnienie wzoru na oś symetrii paraboli
Dla funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$ oś symetrii wykresu (paraboli) jest pionową prostą o równaniu:
$$x = -\frac{b}{2a}$$
Oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową, czyli postaci $x = p$ dla pewnej liczby rzeczywistej $p$.
-
Krok 2 – Identyfikacja współczynników funkcji
Dla funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 3$ mamy:
$$a = 1, \quad b = -6, \quad c = 3$$
-
Krok 3 – Obliczenie osi symetrii
Podstawiamy do wzoru:
$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$
Oś symetrii wykresu funkcji $f$ to prosta o równaniu $x = 3$.
-
Krok 4 – Weryfikacja przez postać kanoniczną (opcjonalnie)
Można też przekształcić funkcję do postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie $p$ to odcięta wierzchołka (czyli oś symetrii):
$$f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3 = (x-3)^2 - 6$$
Wierzchołek paraboli to punkt $W = (3,\, -6)$, więc oś symetrii to $x = 3$. ✓
-
Krok 5 – Analiza wszystkich odpowiedzi
A) $x = 3$ — POPRAWNA. Obliczona oś symetrii wynosi dokładnie $x = 3$, co potwierdzają oba sposoby (wzór oraz postać kanoniczna).
B) $x = -3$ — BŁĘDNA. Wynik $x = -3$ otrzymalibyśmy, gdybyśmy pominęli znak minus przy $b$ (błąd znaku: $-\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3$). To typowy błąd rachunkowy.
C) $y = 6$ — BŁĘDNA. Prosta $y = 6$ jest prostą poziomą, a oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową. Liczba $6$ pojawia się tutaj jako $|b|$, co nie ma związku z osią symetrii.
D) $y = -6$ — BŁĘDNA. Prosta $y = -6$ jest pozioma — nie może być osią symetrii paraboli. Liczba $-6$ to wartość $q$ (rzędna wierzchołka), a nie oś symetrii.
Wynik końcowy:
Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = 3$.
$$\boxed{x = 3}$$
Odpowiedź: A