LekcjeRazem

Zadanie 10. Rozwiąż nierówność $3(2x^2+1) < (x+1)^2 + (x-3)^2 + 14$

1. Krok 1. Rozwinięcie lewej strony nierówności

   Rozwijamy wyrażenie po lewej stronie:

   $$3(2x^2+1) = 6x^2 + 3$$

2. Krok 2. Rozwinięcie prawej strony nierówności

   Rozwijamy wyrażenia po prawej stronie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ oraz $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

   $$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ $$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$$

   Zatem prawa strona wynosi:

   $$(x+1)^2 + (x-3)^2 + 14 = x^2 + 2x + 1 + x^2 - 6x + 9 + 14 = 2x^2 - 4x + 24$$

3. Krok 3. Zapisanie nierówności po uproszczeniu obu stron

   Nierówność przyjmuje postać:

   $$6x^2 + 3 < 2x^2 - 4x + 24$$

4. Krok 4. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę

   Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę (pamiętając o zmianie znaków):

   $$6x^2 + 3 - 2x^2 + 4x - 24 < 0$$ $$4x^2 + 4x - 21 < 0$$

5. Krok 5. Wyznaczenie miejsc zerowych trójmianu kwadratowego

   Rozwiązujemy równanie $4x^2 + 4x - 21 = 0$, obliczając wyróżnik:

   $$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 16 + 336 = 352$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22}$$

   Miejsca zerowe:

   $$x_1 = \frac{-4 - 4\sqrt{22}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-1 - \sqrt{22}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-4 + 4\sqrt{22}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-1 + \sqrt{22}}{2}$$

6. Krok 6. Rozwiązanie nierówności kwadratowej

   Trójmian $4x^2 + 4x - 21$ ma dodatni współczynnik przy $x^2$ (ramiona paraboli skierowane w górę), więc przyjmuje wartości ujemne pomiędzy pierwiastkami, czyli dla $x_1 < x < x_2$.

   Nierówność $4x^2 + 4x - 21 < 0$ jest spełniona dla:

   $$\frac{-1-\sqrt{22}}{2} < x < \frac{-1+\sqrt{22}}{2}$$

Wynik końcowy: