Rozwiązanie
-
Krok 1: Przekształcenie wyrażenia $2\log_3 2$
Korzystamy z własności logarytmów: $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$
$$2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$$
-
Krok 2: Zastosowanie własności odejmowania logarytmów
Korzystamy z własności: $\log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}$
$$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 108 - \log_3 4 = \log_3 \frac{108}{4} = \log_3 27$$
-
Krok 3: Obliczenie wartości $\log_3 27$
Ponieważ $27 = 3^3$, otrzymujemy:
$$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$
Wynik końcowy:
$$\log_3 108 - 2\log_3 2 = 3$$
Analiza odpowiedzi
-
Odpowiedź A) 3 — POPRAWNA ✓
Jak wykazano powyżej, $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = 3$, ponieważ $3^3 = 27$.
-
Odpowiedź B) 9 — BŁĘDNA ✗
Wynik $9$ byłby poprawny, gdyby $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 3^9$, czyli $\log_3 19683$. Błąd ten wynikałby z mylnego potęgowania wyniku — np. obliczenia $3^3 = 9$ zamiast $\log_3 3^3 = 3$, lub utożsamienia logarytmu z jego argumentem ($27$) zamiast z wartością ($3$).
-
Odpowiedź C) $\log_3 104$ — BŁĘDNA ✗
Wynik ten byłby uzyskany, gdyby zamiast odejmowania logarytmów (czyli dzielenia argumentów) wykonać odejmowanie argumentów: $108 - 4 = 104$. Jest to typowy błąd polegający na pomyleniu działań na logarytmach z działaniami na ich argumentach.
-
Odpowiedź D) $2\log_3 54$ — BŁĘDNA ✗
Sprawdzamy: $2\log_3 54 = \log_3 54^2 = \log_3 2916$. Tymczasem $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27$, czyli $\log_3 27 \neq \log_3 2916$. Błąd ten mógłby wynikać z próby wyłączenia wspólnego czynnika $2$ przed logarytmy w sposób niezgodny z własnościami logarytmów: $\log_3 108 - 2\log_3 2 \neq 2(\log_3 108 - \log_3 2) = 2\log_3 54$.
Prawidłowa odpowiedź: A)