Rozwiązanie

1. Krok 1: Uproszczenie wyrażenia $\sqrt{32}$

   Rozkładamy liczbę 32 na czynniki, aby wyłączyć pełny kwadrat spod pierwiastka:

   $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$
2. Krok 2: Uproszczenie wyrażenia w nawiasie

   Podstawiamy uproszczoną postać $\sqrt{32}$:

   $$\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$
3. Krok 3: Obliczenie kwadratu wyrażenia

   Podnosimy wynik do kwadratu:

   $$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 34 — błędna. Wynik 34 mógłby powstać przez błędne zastosowanie wzoru $(a-b)^2 = a^2 + b^2$ bez członu $-2ab$, czyli $(\sqrt{32})^2 + (\sqrt{2})^2 = 32 + 2 = 34$. Jest to niepoprawne, gdyż pominięto wyraz $-2\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}$.
• Odpowiedź B) 30 — błędna. Wynik 30 mógłby powstać przez błędne obliczenie $(\sqrt{32})^2 - (\sqrt{2})^2 = 32 - 2 = 30$, co odpowiada wzorowi na różnicę kwadratów $(a-b)(a+b)$, a nie kwadratowi różnicy.
• Odpowiedź C) 18 — poprawna. Po uproszczeniu $\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$, a następnie $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
• Odpowiedź D) 16 — błędna. Wynik 16 mógłby powstać przez błędne założenie, że $\sqrt{32} - \sqrt{2} = \sqrt{32 - 2} = \sqrt{30}$, co jest nieuprawnione, gdyż pierwiastek sumy (różnicy) nie równa się sumie (różnicy) pierwiastków.

Wynik końcowy

$$(\sqrt{32} - \sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 = \mathbf{18}$$

Odpowiedź: C)

Rozwiązanie

1. Krok 1: Rozkład licznika — wyłączenie wspólnego czynnika

   W liczniku wyrażenia wyłączamy przed nawias czynnik $5^{12}$:

   $$5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12}(1 + 5^1 + 5^2) = 5^{12}(1 + 5 + 25)$$
2. Krok 2: Obliczenie sumy w nawiasie

   Sumujemy wyrazy w nawiasie:

   $$1 + 5 + 25 = 31$$

   Zatem licznik wynosi $5^{12} \cdot 31$.

3. Krok 3: Uproszczenie całego ułamka

   Podstawiamy do pierwotnego wyrażenia i skracamy:

   $$\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}} = \frac{5^{12} \cdot 31}{5^{12}} = 31$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $5^{12}$ — błędna. Błąd polegałby na nieprawidłowym dodawaniu wykładników zamiast uproszczenia ułamka.
• Odpowiedź B) $5^{27}$ — błędna. Wynikałaby z mylnego założenia, że w liczniku mnoży się potęgi zamiast je dodawać ($5^{12+13+14} \div 5^{12}$), co jest niepoprawnym zastosowaniem działań na potęgach.
• Odpowiedź C) 30 — błędna. Wynikałaby z pominięcia wyrazu $1$ przy wyłączaniu przed nawias, czyli błędnego obliczenia $5 + 25 = 30$.
• Odpowiedź D) 31 — poprawna, co wynika z powyższego rozwiązania.

Wynik końcowy:

Prawidłowa odpowiedź to D).

Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcenie wyrażenia z użyciem własności logarytmów

Korzystamy z własności logarytmów: $n \log_a b = \log_a b^n$, aby uprościć drugi składnik:

Krok 2. Zastosowanie własności odejmowania logarytmów

Korzystamy z własności: $\log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}$:

Krok 3. Obliczenie wartości logarytmu

Ponieważ $27 = 3^3$, otrzymujemy:

Analiza odpowiedzi:

1. Odpowiedź A) $\log_3 104$ — BŁĘDNA. Błąd polega na prostym odejmowaniu argumentu: $108 - 4 = 104$, co jest niedopuszczalną operacją na logarytmach. Logarytm różnicy nie jest różnicą argumentów.
2. Odpowiedź B) $2\log_3 54$ — BŁĘDNA. Wyrażenie $2\log_3 54 = \log_3 54^2 = \log_3 2916$, co jest wartością zupełnie różną od $\log_3 27 = 3$.
3. Odpowiedź C) $3$ — POPRAWNA. Jak wykazano powyżej: $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
4. Odpowiedź D) $9$ — BŁĘDNA. Mogłaby sugerować pomylenie wyniku $3$ z $3^2 = 9$, jednak obliczenia jednoznacznie dają wartość $3$, nie $9$.

Wynik końcowy:

Poprawna odpowiedź to C).

Rozwiązanie

Należy uprościć wyrażenie $(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2$, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

1. Krok 1: Rozwinięcie kwadratów metodą wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ oraz $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

   Rozwijamy pierwszy składnik:

   $$(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$$

   Rozwijamy drugi składnik:

   $$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$$
2. Krok 2: Obliczenie różnicy

   Odejmujemy drugie wyrażenie od pierwszego (uwaga na zmianę znaków po nawiasie):

   $$(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2 = (9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9)$$ $$= 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9$$
3. Krok 3: Porządkowanie wyrazów podobnych $$= (9x^2 - 4x^2) + (12x + 12x) + (4 - 9)$$ $$= 5x^2 + 24x - 5$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $5x^2 - 5$ — błędna. Brakuje wyrazu liniowego $24x$. Błąd polegałby na pominięciu wyrazów z $x$ przy odejmowaniu.
• Odpowiedź B) $5x^2 + 13$ — błędna. Brakuje wyrazu liniowego $24x$, a wyraz wolny jest nieprawidłowy ($4 + 9 = 13$ zamiast $4 - 9 = -5$). Błąd polegałby na dodaniu zamiast odjęcia drugiego kwadratu.
• Odpowiedź C) $5x^2 + 24x - 13$ — błędna. Wyraz liniowy $24x$ jest poprawny, lecz wyraz wolny jest nieprawidłowy ($-13$ zamiast $-5$). Błąd polegałby na obliczeniu wyrazu wolnego jako $4 - 9 - 8 = -13$, co wynikałoby z nieprawidłowego rozwinięcia kwadratów.
• Odpowiedź D) $5x^2 + 24x - 5$ — poprawna. Wynik zgodny z obliczeniami: $9x^2 - 4x^2 = 5x^2$, $12x + 12x = 24x$, $4 - 9 = -5$.

Wynik końcowy

$$(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2 = 5x^2 + 24x - 5$$

Odpowiedź: D

Dowód podzielności wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ przez $4$ dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$

1. Krok 1: Parametryzacja nieparzystej liczby naturalnej $n$

   Każdą nieparzystą liczbę naturalną $n$ możemy zapisać w postaci:

   $$n = 2k - 1$$

   gdzie $k \in \mathbb{N}$ (czyli $k = 1, 2, 3, \ldots$). Dzięki temu dla $k=1$ otrzymujemy $n=1$, dla $k=2$ mamy $n=3$ itd. — są to kolejne nieparzyste liczby naturalne.

2. Krok 2: Podstawienie do wyrażenia

   Wstawiamy $n = 2k-1$ do wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k-1)^2 + 2(2k-1) + 7$$

3. Krok 3: Rozwinięcie i uproszczenie

   Obliczamy kolejno:

   $$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$$

   Zatem:

   $$3(2k-1)^2 = 3(4k^2 - 4k + 1) = 12k^2 - 12k + 3$$ $$2(2k-1) = 4k - 2$$

   Sumujemy wszystkie składniki:

   $$3n^2 + 2n + 7 = (12k^2 - 12k + 3) + (4k - 2) + 7$$ $$= 12k^2 - 12k + 4k + 3 - 2 + 7$$ $$= 12k^2 - 8k + 8$$

4. Krok 4: Wyłączenie czynnika $4$ przed nawias

   Z otrzymanego wyrażenia wyłączamy $4$ przed nawias:

   $$12k^2 - 8k + 8 = 4(3k^2 - 2k + 2)$$

   Ponieważ $k \in \mathbb{N}$, wyrażenie $3k^2 - 2k + 2$ jest liczbą całkowitą.

5. Krok 5: Wniosek

   Pokazaliśmy, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n = 2k-1$ zachodzi:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 4(3k^2 - 2k + 2)$$

   Wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ jest iloczynem liczby $4$ i liczby całkowitej $3k^2 - 2k + 2$, zatem jest podzielne przez $4$.

Wynik końcowy: Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ wyrażenie $3n^2 + 2n + 7 = 4(3k^2 - 2k + 2)$, gdzie $n = 2k-1$, co dowodzi jego podzielności przez $4$. $\blacksquare$

Rozwiązanie

1. Krok 1: Rozwinięcie nawiasów po lewej stronie nierówności

   Zaczynamy od lewej strony nierówności:

   $$3 - 2(1 - 2x) = 3 - 2 + 4x = 1 + 4x$$

   Nierówność przyjmuje postać:

   $$1 + 4x \geq 2x - 17$$

2. Krok 2: Przeniesienie wyrazów z $x$ na lewą stronę

   Odejmujemy $2x$ od obu stron:

   $$1 + 4x - 2x \geq -17$$ $$1 + 2x \geq -17$$

3. Krok 3: Przeniesienie wyrazów wolnych na prawą stronę

   Odejmujemy $1$ od obu stron:

   $$2x \geq -17 - 1$$ $$2x \geq -18$$

4. Krok 4: Wyznaczenie wartości $x$

   Dzielimy obie strony przez $2$ (liczba dodatnia — znak nierówności nie zmienia się):

   $$x \geq -9$$

   Zbiór rozwiązań nierówności to przedział $\boldsymbol{[-9, +\infty)}$.

5. Krok 5: Analiza odpowiedzi

   • Odpowiedź A — $(-\infty, 3]$: Błędna. Wynik $x \geq -9$ nie ogranicza rozwiązań od góry. Ponadto liczba $3$ nie pojawia się w obliczeniach jako granica rozwiązania.

   • Odpowiedź B — $[3, +\infty)$: Błędna. Wynik wskazuje na granicę $-9$, a nie $3$. Błąd ten mógłby powstać przez niepoprawne uproszczenie wyrażenia po lewej stronie (np. pominięcie rozwinięcia nawiasu).

   • Odpowiedź C — $(-\infty, -9]$: Błędna. Granica $-9$ jest poprawna, ale znak nierówności jest odwrócony — poprawny zbiór rozwiązań to $x \geq -9$, a nie $x \leq -9$. Błąd ten mógłby powstać przez niepoprawne dzielenie przez liczbę ujemną lub błędne przeniesienie wyrazu.

   • Odpowiedź D — $[-9, +\infty)$: Poprawna. Granica $-9$ wynika bezpośrednio z obliczeń ($2x \geq -18 \Rightarrow x \geq -9$), a przedział jest domknięty od lewej (znak $\geq$) i nieograniczony od prawej.

Wynik końcowy:

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność to:

Na osi liczbowej zaznaczamy punkt $-9$ jako domknięty (wypełnione kółko) i zaciemniamy strzałkę w prawo (w kierunku $+\infty$).

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

1. Krok 1: Zastosowanie własności iloczynu

   Równanie ma postać iloczynu czynników równego zero:

   $$2x(x+3)(x^2+25) = 0$$

   Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Rozpatrujemy każdy czynnik osobno.

2. Krok 2: Analiza pierwszego czynnika $$2x = 0 \implies x = 0$$

   Pierwsze rozwiązanie: $x = 0$.

3. Krok 3: Analiza drugiego czynnika $$x + 3 = 0 \implies x = -3$$

   Drugie rozwiązanie: $x = -3$.

4. Krok 4: Analiza trzeciego czynnika $$x^2 + 25 = 0 \implies x^2 = -25$$

   Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2 \geq 0$, wyrażenie $x^2 + 25 \geq 25 > 0$. Równanie $x^2 = -25$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

5. Krok 5: Podsumowanie rozwiązań

   Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie dwa rozwiązania: $x = -3$ oraz $x = 0$.

Ocena odpowiedzi

• Odpowiedź A) — POPRAWNA. Dwa rozwiązania: $x = -3$ oraz $x = 0$, co wynika bezpośrednio z analizy powyżej.
• Odpowiedź B) — BŁĘDNA. Liczba $x = 2$ nie jest rozwiązaniem, gdyż $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 29 = 580 \neq 0$. Błąd polega na nieprawidłowym wyznaczeniu drugiego rozwiązania.
• Odpowiedź C) — BŁĘDNA. Liczba $x = -5$ nie jest rozwiązaniem, gdyż $(-5)^2 + 25 = 25 + 25 = 50 \neq 0$. Błąd polega na próbie rozwiązania $x^2 + 25 = 0$ w sposób nieuwzględniający dziedziny liczb rzeczywistych (pomylenie z $x^2 - 25 = 0$).
• Odpowiedź D) — BŁĘDNA. Ani $x = -5$, ani $x = 5$ nie są rozwiązaniami w zbiorze $\mathbb{R}$, z tego samego powodu co w odpowiedzi C. Czynnik $x^2 + 25$ jest zawsze dodatni dla $x \in \mathbb{R}$.

Odpowiedź: A

Zadanie 8 – upraszczamy dane wyrażenie algebraiczne.

1. Krok 1 – Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki.

   Licznik pierwszego ułamka:

   $$x^2 + x = x(x+1)$$

   Mianownik pierwszego ułamka (pełny kwadrat):

   $$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$

   Drugie wyrażenie pozostaje bez zmian: $\dfrac{x+2}{x}$.

   Całe wyrażenie przyjmuje postać:

   $$\frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x}$$

2. Krok 2 – Skracamy czynniki wspólne.

   W liczniku mamy $x(x+1)(x+2)$, w mianowniku $(x+2)^2 \cdot x$.

   Skracamy $x$ (możliwe, bo $x \neq 0$) oraz jeden czynnik $(x+2)$ (możliwe, bo $x \neq -2$):

   $$\frac{\cancel{x}(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x}} = \frac{x+1}{x+2}$$

3. Krok 3 – Weryfikacja i analiza odpowiedzi.

   Otrzymany wynik to $\dfrac{x+1}{x+2}$, co odpowiada odpowiedzi B.

   • Odpowiedź A) $\dfrac{2x}{x+2}$ – błędna. Taki wynik powstałby, gdyby niepoprawnie zsumowano lub przekształcono liczniki, ignorując właściwy rozkład $x^2+x = x(x+1)$.
   • Odpowiedź B) $\dfrac{x+1}{x+2}$ – poprawna. Po rozłożeniu na czynniki i skróceniu $x$ oraz $(x+2)$ dokładnie ten wynik otrzymujemy.
   • Odpowiedź C) $\dfrac{x+1}{4x+5}$ – błędna. Mianownik $4x+5$ nie pojawia się w żadnym etapie poprawnego przekształcenia; mógłby powstać wskutek błędnego dodawania mianowników.
   • Odpowiedź D) $\dfrac{x+2}{4x+4}$ – błędna. Mianownik $4x+4 = 4(x+1)$ nie wynika z poprawnego upraszczania; prawdopodobnie pochodzi z błędnego mnożenia lub dodawania mianowników.

Wynik końcowy:

Prawidłowa odpowiedź to B) $\dfrac{x+1}{x+2}$.

Oznaczmy kwoty przyznane zespołom jako zmienne i ułóżmy układ równań.

1. Krok 1 – Wprowadzenie zmiennych

   Niech $A$ oznacza kwotę (w złotych) przyznaną zespołowi A, a $B$ — kwotę przyznaną zespołowi B.

2. Krok 2 – Ułożenie układu równań

   Z treści zadania wynikają dwa warunki:

   • Łączna kwota przeznaczona dla obu zespołów wynosi $1\,200\,000$ zł:
   $$A + B = 1\,200\,000$$
   • Łączna kwota wydana w pierwszym półroczu wynosi $146\,700$ zł, przy czym zespół A wykorzystał $13\%$ swoich środków, a zespół B — $11\%$ swoich:
   $$0{,}13A + 0{,}11B = 146\,700$$
3. Krok 3 – Wyznaczenie $B$ z pierwszego równania

   Z pierwszego równania wyrażamy $B$:

   $$B = 1\,200\,000 - A$$
4. Krok 4 – Podstawienie do drugiego równania

   Podstawiamy $B = 1\,200\,000 - A$ do drugiego równania:

   $$0{,}13A + 0{,}11\cdot(1\,200\,000 - A) = 146\,700$$ $$0{,}13A + 132\,000 - 0{,}11A = 146\,700$$ $$0{,}02A = 146\,700 - 132\,000$$ $$0{,}02A = 14\,700$$
5. Krok 5 – Obliczenie wartości $A$ $$A = \frac{14\,700}{0{,}02} = 735\,000$$
6. Krok 6 – Sprawdzenie

   Kwota przyznana zespołowi B wynosi:

   $$B = 1\,200\,000 - 735\,000 = 465\,000 \text{ zł}$$

   Weryfikacja wydatków:

   $$0{,}13 \cdot 735\,000 + 0{,}11 \cdot 465\,000 = 95\,550 + 51\,150 = 146\,700 \checkmark$$

Odpowiedź: Kwota przyznana zespołowi A na realizację projektu badawczego wynosi $\boldsymbol{735\,000}$ złotych.

Rozwiązanie nierówności: $3(2x^2 + 1) < 11x$

1. Krok 1 – Rozwinięcie nawiasów i przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę

   Rozwijamy nawias po lewej stronie:

   $$6x^2 + 3 < 11x$$

   Przenosimy $11x$ na lewą stronę:

   $$6x^2 - 11x + 3 < 0$$

2. Krok 2 – Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego

   Obliczamy wyróżnik $\Delta$ dla $6x^2 - 11x + 3$:

   $$\Delta = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49$$ $$\sqrt{\Delta} = 7$$

   Pierwiastki równania $6x^2 - 11x + 3 = 0$:

   $$x_1 = \frac{11 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{11 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$

3. Krok 3 – Rozwiązanie nierówności

   Trójmian $6x^2 - 11x + 3$ ma dodatni współczynnik przy $x^2$ (wynosi $6 > 0$), więc parabola jest skierowana ramionami ku górze. Trójmian przyjmuje wartości ujemne (tj. $< 0$) dla $x$ należących do przedziału pomiędzy pierwiastkami:

   $$6x^2 - 11x + 3 < 0 \iff x_1 < x < x_2$$

Wynik końcowy:

Rozwiązanie – Zadanie 11

1. Krok 1: Wyznaczenie dziedziny funkcji $f$

   Funkcja $f$ jest zdefiniowana na trzech przedziałach:

   • $x \in [-4, -2]$ – przedział domknięty,
   • $x \in (-2, 2]$ – przedział lewostronnie otwarty,
   • $x \in (2, 4)$ – przedział obustronnie otwarty.
   Suma tych przedziałów tworzy zbiór wszystkich argumentów funkcji: $$D_f = [-4,-2] \cup (-2,2] \cup (2,4) = [-4, 4)$$ Punkt $x = -2$ należy do pierwszego przedziału (domknięty od prawej), a do drugiego nie (otwarty od lewej) – jednak $-2$ jest objęte, bo $[-4,-2]$ zawiera $-2$. Punkt $x = 4$ nie należy do żadnego przedziału.

   Dziedzina funkcji $f$ to przedział $[-4, 4)$.

2. Krok 2: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$

   Analizujemy wartości funkcji na każdym kawałku:

   • Dla $x \in [-4, -2]$: $f(x) = x + 5$.
     Funkcja liniowa rosnąca:
     – dla $x = -4$: $f(-4) = -4 + 5 = 1$,
     – dla $x = -2$: $f(-2) = -2 + 5 = 3$.
     Wartości tworzą przedział $[1, 3]$.
   • Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3$.
     Funkcja stała – przyjmuje tylko wartość $3$.
   • Dla $x \in (2, 4)$: $f(x) = -3x + 9$.
     Funkcja liniowa malejąca:
     – dla $x \to 2^+$: $f(x) \to -3 \cdot 2 + 9 = 3$ (wartość nieosiągana – przedział otwarty),
     – dla $x \to 4^-$: $f(x) \to -3 \cdot 4 + 9 = -3$ (wartość nieosiągana – przedział otwarty).
     Wartości tworzą przedział $(-3, 3)$.

   Łącząc wszystkie wartości: $$ZW_f = [1,3] \cup \{3\} \cup (-3,3) = (-3, 3]$$ Wartości z trzeciego kawałka dają $(-3,3)$, z pierwszego $[1,3]$ (które zawiera się w $(-3,3]$), a wartość $3$ jest osiągana (m.in. dla $x = -2$ i $x \in (-2,2]$).

   Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(-3, 3]$.

3. Krok 3: Zbiór argumentów, dla których $f(x) > 0$

   Szukamy, dla których $x$ zachodzi $f(x) > 0$:

   • Dla $x \in [-4,-2]$: $f(x) = x+5 > 0 \Rightarrow x > -5$.
     Ponieważ cały przedział $[-4,-2]$ spełnia $x > -5$, więc $f(x) > 0$ dla całego $[-4,-2]$.
   • Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3 > 0$ – warunek spełniony dla całego przedziału $(-2, 2]$.
   • Dla $x \in (2, 4)$: $f(x) = -3x+9 > 0 \Rightarrow -3x > -9 \Rightarrow x < 3$.
     W połączeniu z $x \in (2,4)$ otrzymujemy $x \in (2, 3)$.

   Suma tych zbiorów: $$[-4,-2] \cup (-2,2] \cup (2,3) = [-4, 3)$$

   Zbiorem wszystkich argumentów, dla których $f(x) > 0$, jest przedział $[-4, 3)$.

4. Krok 4: Zbiór rozwiązań równania $f(x) = 3$

   Szukamy wszystkich $x$ z dziedziny, dla których $f(x) = 3$:

   • Dla $x \in [-4,-2]$: $x + 5 = 3 \Rightarrow x = -2$.
     Punkt $x = -2$ należy do $[-4,-2]$ ✓.
   • Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x$ w tym przedziale.
     Zatem $x \in (-2, 2]$ ✓.
   • Dla $x \in (2, 4)$: $-3x + 9 = 3 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2$.
     Ale $x = 2 \notin (2,4)$ – punkt nie należy do dziedziny tej gałęzi ✗.

   Łącząc: $\{-2\} \cup (-2,2] = [-2, 2]$.

   Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $[-2, 2]$.

Odpowiedzi końcowe:

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{[-4,\ 4)}$.
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{(-3,\ 3]}$.
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $\boldsymbol{[-4,\ 3)}$.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $\boldsymbol{[-2,\ 2]}$.

Korzystamy z faktu, że znamy wierzchołek paraboli, więc najwygodniej zapisać wzór funkcji od razu w postaci kanonicznej.

1. Krok 1 – Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

   Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to:

   $$f(x) = a(x - p)^2 + q$$

   gdzie punkt $(p, q)$ jest wierzchołkiem paraboli. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne $(3, 6)$, podstawiamy $p = 3$ i $q = 6$:

   $$f(x) = a(x - 3)^2 + 6$$

2. Krok 2 – Wyznaczenie współczynnika $a$

   Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$, co oznacza, że $f(0) = 3$. Podstawiamy $x = 0$ do wzoru:

   $$f(0) = a(0 - 3)^2 + 6 = 3$$ $$9a + 6 = 3$$ $$9a = -3$$ $$a = -\frac{1}{3}$$

3. Krok 3 – Zapisanie wzoru funkcji

   Podstawiamy wyznaczoną wartość $a = -\dfrac{1}{3}$ do postaci kanonicznej:

   $$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$$

Wynik końcowy:

Przyjmuję, że zadanie 12 dotyczy funkcji kwadratowej określonej wzorem:

1. Krok 1: Przypomnienie wzoru na oś symetrii paraboli

   Dla funkcji kwadratowej w postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c$, oś symetrii wykresu jest pionową prostą o równaniu:

   $$x = -\frac{b}{2a}$$

   Oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową, czyli postaci $x = k$ dla pewnej liczby rzeczywistej $k$. Eliminuje to odpowiedzi C) i D), które podają proste poziome $y = \text{const}$.

2. Krok 2: Odczytanie współczynników

   Dla funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 3$ odczytujemy:

   • $a = 1$
   • $b = -6$
   • $c = 3$
3. Krok 3: Obliczenie osi symetrii

   Podstawiamy wartości do wzoru:

   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

   Oś symetrii wykresu funkcji $f$ to prosta $x = 3$.

4. Krok 4: Weryfikacja przez postać kanoniczną

   Przekształcamy $f(x)$ do postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$:

   $$f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3 = (x-3)^2 - 6$$

   Wierzchołek paraboli to punkt $W = (3,\, -6)$, więc oś symetrii przechodzi przez $x = 3$. ✓

5. Krok 5: Analiza wszystkich odpowiedzi
   • A) $x = -3$ — Błędna. Wynikałaby z pominięcia znaku minus we wzorze: $-\frac{b}{2a} = -\frac{(-6)}{2}$ daje $+3$, nie $-3$.
   • B) $x = 3$ — Poprawna. Zgodnie z obliczeniami $x = -\frac{-6}{2} = 3$. Parabola jest symetryczna względem pionowej prostej $x = 3$.
   • C) $y = -6$ — Błędna. Wartość $-6$ to rzędna wierzchołka (minimum funkcji), a nie oś symetrii. Prosta pozioma nie może być osią symetrii paraboli.
   • D) $y = 6$ — Błędna. Prosta pozioma nigdy nie jest osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej.

Odpowiedź: B) $x = 3$

Osią symetrii wykresu funkcji $f(x) = (x-3)^2 - 6$ jest prosta o równaniu $\boldsymbol{x = 3}$.

Na podstawie wcześniejszych części zadania funkcja $f$ jest określona wzorem:

1. Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji $g$

   Funkcja $g$ jest zdefiniowana jako:

   $$g(x) = f(x) - 3 = -x^2 + 6x - 5 - 3$$ $$g(x) = -x^2 + 6x - 8$$
2. Krok 2: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$

   Miejsca zerowe funkcji $g$ spełniają równanie $g(x) = 0$:

   $$-x^2 + 6x - 8 = 0$$

   Mnożymy obie strony przez $(-1)$:

   $$x^2 - 6x + 8 = 0$$
3. Krok 3: Zastosowanie wzorów Viète'a

   Dla trójmianu kwadratowego $x^2 + px + q = 0$ o pierwiastkach $x_1, x_2$ zachodzi:

   $$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q$$

   W naszym równaniu $x^2 - 6x + 8 = 0$ mamy $p = -6$, $q = 8$, zatem:

   $$x_1 + x_2 = -(-6) = 6$$
4. Krok 4: Weryfikacja (sprawdzenie przez obliczenie pierwiastków)

   Wyróżnik: $\Delta = 36 - 4 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$, więc $\sqrt{\Delta} = 2$.

   $$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

   Sprawdzenie:

   $$g(2) = -(4) + 12 - 8 = 0 \checkmark$$ $$g(4) = -(16) + 24 - 8 = 0 \checkmark$$

   Suma miejsc zerowych:

   $$x_1 + x_2 = 2 + 4 = 6$$

Odpowiedź: Suma $x_1 + x_2$ jest równa $\boldsymbol{6}$.

Rozwiązanie

Funkcja liniowa $f(x) = (3-m)x - 4$ może nie mieć miejsca zerowego tylko w szczególnym przypadku — gdy przestaje być funkcją liniową i staje się funkcją stałą.

1. Krok 1: Kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego?

   Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ posiada dokładnie jedno miejsce zerowe, gdy $a \neq 0$. Wyjątek stanowi sytuacja, gdy $a = 0$ — wtedy funkcja jest stała i:

   • nie ma miejsca zerowego, jeśli $b \neq 0$,
   • każde $x$ jest miejscem zerowym, jeśli $b = 0$.
2. Krok 2: Wyznaczenie wartości $m$, dla której współczynnik kierunkowy wynosi 0

   W naszej funkcji współczynnik kierunkowy to $(3 - m)$. Przyrównujemy go do zera:

   $$3 - m = 0 \implies m = 3$$

   Dla $m = 3$ funkcja przyjmuje postać:

   $$f(x) = 0 \cdot x - 4 = -4$$
3. Krok 3: Sprawdzenie, czy funkcja stała ma miejsce zerowe

   Dla $m = 3$ mamy $f(x) = -4$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Funkcja ta nigdy nie przyjmuje wartości $0$, ponieważ $-4 \neq 0$.

   Zatem funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m = 3$.

4. Krok 4: Weryfikacja pozostałych odpowiedzi

   Odpowiedź A) $m = 0$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 0 = 3 \neq 0$, więc $f$ jest funkcją liniową. Miejsce zerowe istnieje: $f(x) = 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$. ❌

   Odpowiedź C) $m = 4$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 4 = -1 \neq 0$, więc $f$ jest funkcją liniową. Miejsce zerowe istnieje: $f(x) = -x - 4 = 0 \Rightarrow x = -4$. ❌

   Odpowiedź D) $m = -3$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - (-3) = 6 \neq 0$, więc $f$ jest funkcją liniową. Miejsce zerowe istnieje: $f(x) = 6x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. ❌

Odpowiedź: B) $m = 3$

Dla $m = 3$ funkcja przyjmuje postać $f(x) = -4$, czyli jest funkcją stałą różną od zera — nie posiada miejsca zerowego.

Rozwiązanie:

1. Krok 1 – Wyznaczenie drugiego wyrazu ciągu.

   Korzystamy z rekurencji $a_{n+1} = 2a_n + 1$ dla $n = 1$:

   $$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$$

2. Krok 2 – Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu.

   Stosujemy rekurencję dla $n = 2$:

   $$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$$

3. Krok 3 – Analiza odpowiedzi.

   • Odpowiedź A) 11 – POPRAWNA. Zgodnie z obliczeniami $a_3 = 11$.
   • Odpowiedź B) 7 – BŁĘDNA. Wynik $7$ można by otrzymać, gdyby zastosować wzór $a_3 = 2a_1 + 1 \cdot 3 = 2 \cdot 2 + 3 = 7$, co jest niepoprawnym zastosowaniem rekurencji – należy wyznaczyć kolejne wyrazy po kolei, a nie podstawiać $a_1$ bezpośrednio do wzoru dla $a_3$.
   • Odpowiedź C) 5 – BŁĘDNA. Wartość $5$ to drugi wyraz ciągu $a_2$, nie trzeci.
   • Odpowiedź D) 4 – BŁĘDNA. Wartość $4$ to jedynie wynik działania $2 \cdot a_1 = 2 \cdot 2 = 4$, czyli pominięto dodawanie $+1$ w rekurencji przy wyznaczaniu $a_2$, a następnie nie wykonano kolejnego kroku.

Odpowiedź: A) $a_3 = 11$

Rozwiązanie zadania 14.2

Najpierw wyznaczamy kilka początkowych wyrazów ciągu, aby zbadać jego charakter.

1. Krok 1: Obliczenie początkowych wyrazów ciągu

   Korzystamy z definicji rekurencyjnej $a_{n+1} = 2a_n + 1$ przy $a_1 = 2$:

   $$a_1 = 2$$ $$a_2 = 2 \cdot a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$$ $$a_3 = 2 \cdot a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$$ $$a_4 = 2 \cdot a_3 + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23$$
2. Krok 2: Sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny

   Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnice kolejnych wyrazów są stałe, tzn. $a_{n+1} - a_n = \text{const}$.

   Obliczamy kolejne różnice:

   $$a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$$ $$a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$$ $$a_4 - a_3 = 23 - 11 = 12$$

   Różnice nie są stałe ($3 \neq 6 \neq 12$), więc ciąg nie jest arytmetyczny.

   Stwierdzenie 1: F (fałsz)

3. Krok 3: Sprawdzenie, czy ciąg jest geometryczny

   Ciąg jest geometryczny, gdy ilorazy kolejnych wyrazów są stałe, tzn. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \text{const}$.

   Obliczamy kolejne ilorazy:

   $$\frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{2} = 2{,}5$$ $$\frac{a_3}{a_2} = \frac{11}{5} = 2{,}2$$ $$\frac{a_4}{a_3} = \frac{23}{11} \approx 2{,}09$$

   Ilorazy nie są stałe ($2{,}5 \neq 2{,}2 \neq \frac{23}{11}$), więc ciąg nie jest geometryczny.

   Stwierdzenie 2: F (fałsz)

4. Krok 4: Uzasadnienie ogólne (dlaczego ciąg nie może być arytmetyczny ani geometryczny)

   Różnica między kolejnymi wyrazami wynosi:

   $$a_{n+1} - a_n = (2a_n + 1) - a_n = a_n + 1$$

   Ponieważ $a_n$ rośnie, różnica $a_n + 1$ nie jest stała — ciąg nie jest arytmetyczny.

   Iloraz kolejnych wyrazów wynosi:

   $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2a_n + 1}{a_n} = 2 + \frac{1}{a_n}$$

   Ponieważ $a_n$ rośnie, wyrażenie $2 + \dfrac{1}{a_n}$ maleje i nie jest stałe — ciąg nie jest geometryczny.

Odpowiedź końcowa:

• Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny: F
• Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny: F

Aby ciąg trzyelementowy $(a_1, a_2, a_3)$ był arytmetyczny, musi zachodzić warunek:

1. Krok 1 – Warunek ciągu arytmetycznego

   Oznaczamy wyrazy ciągu:

   $$a_1 = 2m+11, \quad a_2 = m^2+3, \quad a_3 = 5-m$$

   Stosujemy warunek $2a_2 = a_1 + a_3$:

   $$2(m^2+3) = (2m+11) + (5-m)$$ $$2m^2 + 6 = m + 16$$ $$2m^2 - m - 10 = 0$$

2. Krok 2 – Rozwiązanie równania kwadratowego

   Obliczamy wyróżnik:

   $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$ $$\sqrt{\Delta} = 9$$

   Wyznaczamy miejsca zerowe:

   $$m_1 = \frac{1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$m_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

   Kandydatami są zatem $m = -2$ oraz $m = \dfrac{5}{2}$.

3. Krok 3 – Warunek malejącości ciągu

   Ciąg arytmetyczny jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy jego różnica $r < 0$, czyli $a_3 - a_2 < 0$, co równoważnie oznacza $a_3 < a_2$.

   Sprawdzamy różnicę $r = a_3 - a_2 = (5-m) - (m^2+3) = 2 - m - m^2$.

   Dla $m = -2$:

   $$r = 2 - (-2) - (-2)^2 = 2 + 2 - 4 = 0$$

   Różnica wynosi $0$, więc ciąg jest stały (ani rosnący, ani malejący). Wartość $m = -2$ nie spełnia warunku malejącości.

   Dla $m = \dfrac{5}{2}$:

   $$r = 2 - \frac{5}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 - \frac{5}{2} - \frac{25}{4} = \frac{8}{4} - \frac{10}{4} - \frac{25}{4} = \frac{8-10-25}{4} = -\frac{27}{4}$$

   Różnica $r = -\dfrac{27}{4} < 0$, więc ciąg jest malejący. Wartość $m = \dfrac{5}{2}$ spełnia oba warunki.

4. Krok 4 – Weryfikacja

   Dla $m = \dfrac{5}{2}$ obliczamy wyrazy ciągu:

   $$a_1 = 2 \cdot \frac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$$ $$a_2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 3 = \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}$$ $$a_3 = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$$

   Sprawdzamy warunek arytmetyczności:

   $$a_2 - a_1 = \frac{37}{4} - 16 = \frac{37-64}{4} = -\frac{27}{4}$$ $$a_3 - a_2 = \frac{5}{2} - \frac{37}{4} = \frac{10-37}{4} = -\frac{27}{4}$$

   Różnice są równe i ujemne — ciąg jest arytmetyczny i malejący. ✓

Odpowiedź: Szukaną wartością jest $\boldsymbol{m = \dfrac{5}{2}}$. Odpowiadający temu ciąg to $\left(16,\ \dfrac{37}{4},\ \dfrac{5}{2}\right)$ z różnicą $r = -\dfrac{27}{4}$.