LekcjeRazem

Rozwiązanie:

1. Krok 1: Wyznaczenie ilorazu ciągu geometrycznego.

   W ciągu geometrycznym iloraz $q$ obliczamy ze wzoru:

   $$q = \frac{a_2}{a_1}$$

   Podstawiając dane wartości:

   $$q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$

2. Krok 2: Przypomnienie wzoru ogólnego ciągu geometrycznego.

   Wyrazy ciągu geometrycznego wyznaczamy ze wzoru:

   $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

3. Krok 3: Obliczenie czwartego wyrazu ciągu.

   Podstawiając $n = 4$, $a_1 = 27$ oraz $q = \dfrac{1}{3}$:

   $$a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4-1} = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$$

   Można też wyznaczyć kolejne wyrazy krok po kroku:

   $$a_3 = a_2 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$$ $$a_4 = a_3 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$$

4. Krok 4: Analiza odpowiedzi.

   • Odpowiedź A) $1$ — POPRAWNA. Jak wykazano w Kroku 3, $a_4 = 27 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = 27 \cdot \dfrac{1}{27} = 1$. Wynik jest prawidłowy.

   • Odpowiedź B) $3$ — BŁĘDNA. Wartość $3$ to trzeci wyraz ciągu ($a_3 = 3$), a nie czwarty. Błąd polega na pomyleniu indeksu wyrazu — zastosowano wzór dla $n = 3$ zamiast $n = 4$.

   • Odpowiedź C) $\dfrac{1}{3}$ — BŁĘDNA. Wartość $\dfrac{1}{3}$ to iloraz ciągu $q$, a nie czwarty wyraz. Błąd polega na utożsamieniu ilorazu z wyrazem ciągu.

   • Odpowiedź D) $729$ — BŁĘDNA. Wartość $729 = 27^2 = 3^6$ sugerowałaby ciąg rosnący, co jest sprzeczne z faktem, że $a_2 = 9 < a_1 = 27$. Błąd mógł wynikać z użycia ilorazu $q = 3$ (odwrotność właściwego ilorazu) lub z mnożenia zamiast dzielenia.

Wynik końcowy: Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $\boldsymbol{1}$.

Odpowiedź: A)